1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Эти коэффициенты находят подстановкой х(!) в систему (1). Теорема 2 гарантирует их определение. Пример 6. Решить методом неопределенных коэффициентов систему уравнений ( х=2х+р, р = 4у — х. !' 2 1Л гз Собственным значением матрицы системы ~ 4у! является Лг = Лз = 3. Будем искать решение системы в виде вектор-функции где см сг~ йм нз — неопределенные коэффнцненты. Их нахОдим подстановкой х(!), р(8) в систему, После подстановки находим, что Ы! = см Аэ = сг + се.
В силу этого, все решения системы задаются формулой где Сг и Сэ — произвольные постояяные. Нетрудно заметить, что множество всех решений линейной однородной системы (1) образует линейное комплексное пространство. Из формулы (5) следует, что всякое решение системы (1) однозначно записывается в виде х(1) = С1*,(1) +" + С х (!), где СО..,,ф— постоянные, а вектор-функции хт(г),...,х„(!) строятся с помощью собственных значений и жордановых серий матрицы А.
Это значит, что х1(!),...,х„(!) образуют базис в линейном пространстве решений системы (1) и что это пространство является тьмерным. Замечание. Нетрудно проверить, что линейная система Эйлера !х(г) = Ах(!), ! ) О, где А — числовая квадратная матрица порядка и, заменой ! = е' сводится к линейной однородной системе х(т) = Ах(т). К этой же линейной системе сводится и линейная система о '(!) ° х(!) = Ах(г), 88 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений где скалярная функция а(й) > О и непрерывна на промежутке Т оси Вгй, если сделать замену по формуле т = ) а(й)Ф (здесь интеграл означает фиксированную первообразную).
8 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами Рассмотрим нормальную линейную неоднородную систему х(й) = Ах(й) + /(й), где й — аргумент, изменяющийся в некотором промежутке Т оси В', х(й) — неизвестная вектор-функция с и компонентами, А — заданная числовая квадратная матрица порядка и, й(й) — заданная непрерывная на Т вектор-функция с и компоневтамн. Покажем, что если известно какое-либо решение хо(й) неоднородной системы (1), то замена х(й) = у(й)+хо(й) приводит решение (1) к решению однородной системы у(й) = у(й).
(2) Действительно, подставляя х(й) = у(й) + хо(й) в (1), получаем у+ 8 = Ау+ Ахо+ й'(й). 'Так как хо(й) — решение (1), то хо = Ахо+ г'(й). Следовательно, у(й) удовлетворяет системе (2). Так как формула общего решеняя однородной системы (2) уже нам известна, то замена позволяет написать формулу всех решений системы (1). Именно, если уй(й),...,у„(й) — базис линейного пространства решений однородной системы (2), то формула х(й) = Сйуй(й) + ' ' ' + Саун(й) + хо(й) (3) где См...,ф— произвольные постоянные, дает все решения (1), Функция х(й) вида (3) называется общим решением линейной неоднородной системы (1). Следующее утверждение называкгт принципом суперпозиции для линейных систем (1). лемма 1. если/(й) = гй(й)+уг(й) и хй(й) — решение системы (1) при й"(й) а уй(й), а хг(й) — решение системи (1) при г(й) ш уг(й), то х(й) = хг(й) + хг(й) лоллепгсл решением системы (1).
О По условию леммы хй(й) = Ахг(й) + уй(й), хг(й) = Ахг(й) + Яй). Тогда х(й) = хй(й) + хг(й) = Ахй(й) + Ахг(й) + йй(й) + йг(й) = Ах(й) + 1(й). Ф 88 г 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы Олределеиие. Вектор-квазнмногочлеиом называется вектор-функция 1(г) = е"'Р,„(1), где,и — заданное комплексное число, Р!н(г) — вектормногочлен степени т, коэффициентами которого служат и-мерные векторы.
Из теоремы 2 3 1 ясно, что всякое решение линейной однородной системы (2) представляет собой конечную сумму вектор-квгзимногочленов. Покажем, что в том случае, когда Д1) — вектор-квазимногочлен, всегда существует некоторое решение неоднородной системы, тоже являющееся некоторым вектор-квазимиогочленом. Зная такое решение (1), по формуле (3) можно найти общее решение (1). Сначала рассмотрим частный случай. Пусть Л вЂ” некоторое собственное значение А н пусть Лг,...,Лк — некоторая жорданова цепочка для Л из жорданового базиса Я".
Теорема 1. Если в системе (1) у(1) = "[Р(г)(г)Л, +" +Р1к1(г)Лк~, где г!ь (г),...,Р,„(г) — многочлены степени не выше т, то дел сиспгеф~) (к) мы (1) суигесп!вуегл и едино!лесина решение вида е »! О (г), »Фл, ге"' Ям+к-к(г), » = Л, где Ом(г) и ф„+к !(1) — многочлены соответственно степени и! и (т + Л вЂ” Ц. О Ищем решение (1) в виде к *(г) = ~~у(г)Лгн Подставляя в систему (1) и используя определение жордановой цепочки, получаем, что ~ ~1(г)Лу = ~ ~!е(г)АЛг+ е"'~ РД~1(г)Лу = г=! г=! г=! = Л(г(г)Л! + ~~! !г(г)[ЛЛ! + Лу-!) + е" ~ Р~~~(Ф)Л!.. 90 Глава 3, Ма!оды решения систем линейных Лнфферекцизльмых уравнений Отсюда в силу линейной независимости Ьг,...,Ь» следует, что (! Ль! + »2+ е' Рп (~)~ ! =Л»» »+»»+е"гР~ ((), ~» = Л!,» + е"'Р( )(г). Ищем частные решения уравнений этой системы снизу вверх.
Тогда при (г ~ Л существуют и единственны частные решения е"гф„(!),...,ь! = е"'(стй (г), где (д,п (!),...,Щ (г) — миогочлены, среди которых хотя бы один степени т. Подставляя»г,..., ~» в формулу х(г), находим, что прн (г ф. Л х(г) = ев! Е(г(!)(()Ь, = е!'г(г, (г), где Я,„(Π— вектор-многочлен степени т. Прн )! = Л существуют и единственны частные решения !,» = е"гиЯ(г), »» ! = е"ггя(" !)((),...,с! = ее!и >~ ~~» »((), где (ст ((),..., (Е» »(г) — многочлены соответственно степени пг,..., (») (!) (т+Ь вЂ” 1). Подставляя ь»,,ь» в формулу к(!), находим, что при (г = Л » (() ( и! ~~, ' (з(з) (~)Ь о! з=! где (д .ь» г(() — вектор-многочлен степени (гп+ й — 1), Ф Теперь рассмотрим общий случай.
Теорема 2. Если е сисгпеме (Ц з(() = е"'Р (!), где Р (() — вектормногочлен степени т, то длл сиспгемы (1) всегда существует решение вида х(() = е" (е ~»(г), (4) где () в»(!) — вектор-многочлен степени (т + Ь), причем Ь = О, если (»в не собственное значение А, и lс не превосходит наибольшей длины жордановой цепочки длл (г, если (г — собственное значение А, а козфугициентами ф„+»(() служа!а и-мерные числовые векторы, О Пусть жордаиов базис Вп состоит из Я жордановых цепочек Ь,,...,Ь' для собственных значений Л! преобразования А (среди Л могут быть одинаковые), у = 1,3. Разложим вектор-многочлен Р,(() по жордановому базису: Р (() = ~ [Р!')(()Ь(!)+" +Р(!)(()Ь(У)1. ! )3' з=! 91 $ 3. Общее решение нормальной линейной неоднородной системы Среди всех многочленов Р~~(т),... Р„~~(Г), у = 1, о, имеется хотя бы один 3 степени гл.
Иэ принципа суперпозиции следует, что частное решение системы (1) имеет вид х(8) = ~ ~х (Г), 1=1 где х;(1) — частное решение системы х',(Г) = А,(Г) + сю ~РП'(1)Ь"'+... + РО1(Г)ЬП)1 у = ГЬ. (5) Пусть Лм..., Ле (1 < д < и) — все собственные значения А. Если р Э1 Л;, ЧУ = 1,4, то все неоднородные системы (5) в силу теоремы 1 имеют частные решения вида хз(1) = е"'ф (8), где флм(1) — многочлен степени гл и, следовательно, в этом случае для системы (1) получаем частное решение вида (4) при Ь = О. Если же, например, и = Л„то согласно теореме 1 часть неоднородных систем (5), для которых Ь,,..., Ь, — жорданова цепочка для Лы имеет частные решения вида хз(Г) = се"~ф,,„+ь 1(1), где 1Дь +ь 1(1) — многочлены степени (т + й — 1).
Другая же часть неоднородных систем (5), в которых Ь~),...,Ь~~~ — жорданова цепочка для Лы..., Л, согласно теореме 1 имеет частные решения вида х (1) ел'ф,,„(Г), где ф м(г) — многочлены степени гл. Отсюда и из принципа суперпозиции следует, что система (1) имеет частное решение вида (4).
Ф Замечания. 1) Практически частное решение (4) ищут методом неопределенных коэффициентов. Если наибольшая длина Ь жордановой цепочки для д неизнестна, то вместо числа Ь в формуле (4) берут число г— кратность собственного значения л. 2) Если в системе (1) у (г) представляет собой конечную сумму вектор-квезимногочленов, то для получения частною решения (1) используются принцип суперпознцин и теорема 2. 3) Наконец, если в системе (1) Г'(С) — произвольнвл непрерывнал вектор-функция, то частное решение (1) находят, как правило, методом вариации постоянных, о чем будет речь в главе 5.
Пример 1. Решить систему уравнений х = 4х+ Зу — Зх, у = — Зх — 2у+ Зл, х — Зх + Зу — 2х + 2е 92 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с1 Собственные значения л1атрицы системы А= -3 -2 3 имеют вид Л1 = — 2, Лз = Лз = 1. Для Л1 собственным вектором, например, является Ь| = — 1 Ранг матрицы (А-Лзв) равен едияице и поэтому эта матрица имеет два линейно независимых собственных вектора. Такими векторами, например, являются Ьз = О , Ьз = 1 Векторы Ьы Ьз, Ьз образуют базис 11з. Следовательно, общее решение линейной однородной системы, соответствующей заданной системе, имеет вид у1з) = С1е з' -1 + Сзе' О + Сзе' 1 где С„Сз, Сз — произвольные постоянные. В силу теоремы 2 частное решение исходной неоднородной системы следует искать в виде вектор-функции Подстановка ее в исходную систему дает а = 3, Ь = -3, с = 2. Значит, общее действительное решение исходной системы звдаегся формулой у(ь) =С|с и — 1 +Сзе О +Сзе~ 1 +е ' — 3 где Сы Сз, Сз — произвольные действительные постоянные.
и Пример 2. Решить систему уравнений х = — 5х+у — 2г+сбс, у = — з — у+ 2вЛ1+ сЬ1, в = бх — 2у+ 2» — 2 ей Ь 1 3, Общее решв!ие нормальной линейной неоднородной системы !1 Для матрицы системы находим, что ее собственными значениями являются Л! = — 2, Лиэ = — 1ш!1 Соответствующими им собственными векторами будут, например, Ь! 1 ~ Ь2 ! ЬЗ Поскольку по формуле Эйлера сов 1 / в!п1 е(-"й!Ь2 - е-' $!п1 + Ве-' сов ! — 2 сов ! -2ьйп1 то общее (действительное) решение линейной однородной системы, соответствующей исходной системе, имеет вид у(1) =С!е и 1 +Сзе ' — в1п! +Сзе ' сов! где С!, Сш Сз — произвольные действительные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
