1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 19
Текст из файла (страница 19)
При Кер > Ь характеристический многочлен Цр) -,~ 0 и уравнение (8) однозначно разрешимо. Отсюда р'(р) + м(р) У(р) =, Ке р > б, и остается по У(р) восстановить его оригинал, что на практике делается по таблицам с использованием свойства единственности оригинала. Заметим, что если начальные угловия (7) не заданы, то операционный метод дает общее решение уравнения (6), так как в М(р) числа Ую Ум - Ун-~ — пРоизвольные постоанные.
ПРимеР1 Решить задачу Коши для уравнения у"(1)-бу'(1)+4У(1) — 4, 1 > О, при начальнмх условиях у(+0) = О, у'(+0) = 2. Ь Будем считать, что правая часть уравнения и решение у(1) уравнения при г < О равны нулю. Характеристический многочлен Ь(р) = э 5. Преобразование Лапласа и его применение для решения уравиеиий 10Т рз — 5р+4 имеет корни р~ = 1, рз = 4. Пусть у($) зе У(р) при Ве р > 4.
Применив при Кер > 4 к задаииому на всей оси Я( уравнению преобрэзоввиие Лапласа, получаем для У(р) алгебраическое уравнение ( з — 5р+4)У( ) 4+2. Р Отсюда, разлагая дробь иа сумму простых дробей, имеем У(р)- 2р+4 1 2 1 — + р(рэ — 5р+ 4) р р — 1 р — 4 Переходя к оригиналам, используя формулу (5) и свойство единственности оригинала, получаем искомое решеиие задачи Коши у(1) = 1 — 2е'+ е~'.
ж Операционный метод с успехом применяется и для решения задачи Коши для лииейвых систем с постоянными коэффициентами (9) й(1) = Ах(1) + /(1), 1 > О, х(+0) = хэ, где А — числовая квадратиая матрица порядка и, У'(1) — заданная вектор- функция с и компонентами, которые все являются оригиналами, хэ— заданный числовой и-мерный вектор. Продолжим у(1) нулем для 1 < О.
Пусть Д1) ги Е(р), Вер > а, и пусть рм..., р, 1 < ш < и, — все собственные значения матрицы А. Используя формулу (б) Э 4, можно доказать, что тогда х(1), х(1) являются оригиналами, если их считать равными нулю при 1 < О, и их преобразования Лапласа всегда существуют при Кер > 6 = шах(п, Кери..., Керш). Например, это ясно, когда у(Ф) представляет собой конечную сумму векторквэзимногочленов, так как в этом случае при 1 > 0 всякое решение системы (9) также является конечяой суммой вектор-квазимногочлеиов.
Пусть х($) =' Х(р), Вер > а. Применяя к линейной системе (9) преобразование Лапласа, получаем алгебраическую линейную сисгему уравнений рХ(р) — хэ = АХ(р) + Е(р). При Кер > а бее(рŠ— А) ~ 0 (Š— эдию~чная матрица) и, значит, определена обратная матрица (рŠ— А) '. Отсюда Х(р) =(рŠ— А) '[хс+Р'(р)), Вер>бь Находя по известному Х(р) оригипал х(1), получим искомое решение задачи Коши. Пример 2.
Решить задачу Коши при 1 > 0 для системы < х = — х+29, у = — х — 4у, при качальном условии х(+0) = у(+0) = 1. 108 Глава 3. Методы решения систем линейных диф4мренцнапьных уравнений Ь Положим х(1) еа р(1) ш О для всех Г ( О. Ообственнымн значениями л~атрицы системы являются р1 = — 3, рз = -2. Тогда х(1), р(Г)— оригиналы, для которь1х определены преобразования Лапласа при Пер ) — 2.
Пусть х(1) = Х(р), р(1) зк У(р). Применяя к заданной системе преобразование Лапласе„получаем линейную систему для нахождения Х(р), У(р): < (р+ 1)Х(р) — 2У(р) = 1, Х(р) +(р+4)У(р) = 1, Вер > — 2. Разлагая выражения для Х(р), У(р) на элементарные дроби, нахо- дим, что 4 3 Х ) рз+ бр+ б р (р) — „, р+г р+3' 2 3 + р+2 р+3 Отсюда получаем решение задачи Коши: х(1) = 4е н — Зе з', у(1) = Зе з' — 2е тг. 36, Методы решения произвольных линейных систем с постоянными коэффициентами Линейную систему и уравнений с постоянными коэффициентами и с и неизвестными функциями можно записать в следующем виде Аех(~1(С)+ А1х(~ О(1)+- -+ А 1х'(1)+ А х(1) = ~(С), (1') 1(Р) = АеР +А|Р 1+".+А -1Р+А где 1 — аргумент, х(1) — неизвестная вектор-функция с и компонентамн, Ае,..., А,„— задапные числовые квадратные матрицы порядка и, причем Ае — ненулевая матрица, ДГ) — заданная вектор-функция с и кол~понентами.
Будем считать в дальнейшем, что Г изменяется на всей числовой оси Л1, а у(1) — задапнан на Л1 вектор-функция, имеющая достаточное число непрерывных производных. Если порядок системы (1') относительно компоненты х (1), 1 = 1,п, неизвестной вектор-функции х(Ф) обозначить через гл, у = 1,п, то порядок М линейной системы определяется формулой М = гл1+ . +те. В случае невырожденной матрицы Ас М = глп, так как каждое гп = т, н М ( гпп в случае вырожденной Ае.
используя оператор дифференцирования Р (см. 3 1 главы 2), введем в рассмотрение матричный дифференциальный многочлен степени т вида 1ой 3 б. Методы решения произвольных линейных систем заданный па множестве вектор-функций с и компонентами, имеющими тп непрерывных производных на Всс, формулой С(Р)х(С) = Аех(' !(С) + Асх! ')(С) + ° + А,х(С). Тогда система (1') примет вид С(Р)х(С) = У(С). в Ссу(Р)х (С) = Л(С), ! = 1,п, !'=1 (2) где матрица 1(Р) = )Ц(Р)!), з,у = 1,п, Обозначим через 1!!(Р) — алгебраические дополнения элементов СО(Р) матрицы 1(Р) и положим Р(Р) = !Се!1(Р).
Пусть С!! — степень ЦР). Ясно, что !!' < М. Если х = !о(С) — решение системы (1) на В!с, то имеем тождества '!~~!О(Р)ру(С) ш,(с(С), ! = 1,п. э=! (3) В силу условяй на с(с) решение х = !с(с) — достаточное число раз непрерывно дифференцируемая вектор-фуикцил на Нс!. Метод исключения применяется в том случае, когда Р(Р) ~ О, Это, например, всегда так в случае невырожденной матрицы Ас. В этом случае С!! = М. Действуя в точности так же, как и в случае нормальной линейной сис!чмы (см.
теорему 3 1), получаем из (3), что (4) Итак, каждая компонента решения системы (1) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению порядка Ф (4). Однако не всякий набор решений ~р!(С),...,!р„(С) системы (4) определяет решение линейной системы (1). Поэтому на практике в случае ЦР) ф сопя! после того, как найдены общие решения уравнений (4), содержание вместе пс4 произвольных постоянных, подставляют общие решения (4) в исходную систему (1) и определяют связь между найденными постоянными. В результате получаем решение (1), зависящее от Ф произвольных постоянных.
Пример 1. Решить систему уравнений < х+Зу — с =О, х+Зу — 2р = О. Произвольную линейную систему (1), как и нормальную линейную систе- му, можно решать методом исключения неизвестных. В скалярном виде система (1) записывается так: 110 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений Ь В атом случае Характеристический многочлен ЦЛ) для дифференциального много. члена 5(Р) имеет вид ЦЛ) = 2 — 5Л вЂ” 2Лз.
Он имеет корни Л~ — — -2, Лз = я~. Следовательно, ищем решение системы в виде 1~ зс аг х(Ф) = С~е ы+ Стет', у(с) = Сзе з'+ Сает', где связь между постоянными Сг, Сг, Сз, С» находим подстановкой х(1), у(С) в систему. Подстановка дает С~ = — 4Сз, Сз = С4. Значит, решение исходной системы имеет еид х(г) = — 4Сзе ~'+Сает', у(с) =Сзе ~'+Сает', где Сз, С4 — произвольные постоянные, А Заметим, что в случае Ц.Р) ш сопас ф 0 решекия уравнений (4) не содержат произвольных постоянных и их подстановка в исходную систему (1) приводит к некоторому условию разрешимости системы (1).
Это условие на 1($) н ее производные. Другой метод решения системы (1) применяется в том случае, когда ЦР) р) сопзс. Это условие, например, выполнено в случае невырожденности матрицы Ао. Ограничимся случаем линейной однородной системы (десАо Ф 0): 1(Р)х(С) ш Аох( 1(1) + А~х( О(С) + + А„,х(С) = О. (5) Очевидно, система (5) имеет тривиальное решение х(С) ы О. Будем искать нетривиальные решения (5) в виде х(1) = еы 6, где 6 ~ Π— и-мерный числовой вектор. Подстановка х(1) в систему (5), приводит к алгебраической системе 1(Л)6= — (Л™Аз+ Л 'А)+" +ЛА ~+А )6=0. (6) Матричный пучок ЦЛ) = Л Ао+ Л~ ~А + +ЛАш-г+А называется характеристическим пучком системы (5), а уравнение степени бг Ь(Л) = бес((Л) ш г(ес(Л'"Ао+Л ~А~ + + А,„) называется характеристическим для уравнения (6).
Его корни называются собственными значениями пучка 1(Л), а соответствующие им решения 6 ф О уравнения 1(Л)6 = О называются собственными векторамн пучка 1(Л). Ясно, что для степени Ф многочлепа 5(Л) имеем 1 < Ю ( М. Таким образом, чтобы система (5) допускала решения в виде х(С) = ем 6, 6 Ф О, необходимо и достаточно, чтобы Л было собственным значением, а 6 — собственным вектором матричного пучка 1(Л). З б. Методы решения произвольных линейных систем Пусть матричный пучок 1(Л) имеет попарно различные собствеияые значения Лм Лз,...,Ли и пусть 14„14з,,ли — соответствующие им собственные векторы.
Методом математической индукции можно установить, что 64,Лз,...,йл — линейно независимые векторы в и-мерном линейном пространстве, т.е. оии образуют базис этого пространства. Следовательно, в этом случае все решения системы (5) задаются формулой х(1) = С4гх" Ь~ + + Сиел"' lгм, где Сы..., Си — произвольные цостояиные. Пусть теперь Ле — ке-кратный корень уравнения ЦЛ) = О.
Тогда изложенный метод может не привести к цели, так как в общем случае линейно независимых собственных векторов, соответствующих Ле, оказывается меньше йр. Тем не менее, из уравнения (4) следует, что решения, относящиеся к Ло, имеют вид х(4) = ехм. Рь 4(4), где Рр„,(4)— вектор-многочлен степени (йе — 1). Эти решения можно найти методом неопределенных коэффициентов. Пример 2. Решить систему уравнений < х — 2у+2х=О, Зх+ у — 8у = О. Ь В нашем случае характеристический пучок (» +м -2А ) Его собственные значения Л4 = 2, Лз = — 2, Лз = 24, Л4 = — 21 и ь=(,'), .=(',), .=(,').,=(",) — соответствующие им линейно независимые собственные векторы пучка 1(Л). Тогда ясе комплексные решения системы имеют вид (*~4) =с,." (~) ° с,.-" (') с,."'( ') ~г„- (~'), где См Сз, Сз, С4,— произвольные комплексные постоянные.
Отсюда все действительные решения можно получить тем же методом, что и для нормальных линейных систем (см. з 2). В результате находим, что все действительные решения системы задаются формулой (44) г „(Я)~г „(г) г (м ш~) г (-~. 11) где См Съ Сз, С4 — произвольные действительные постоянные. А л'пражиеиин к главе 3 1, Может ли нормальная линейная однородная система второго порядка с постоянными коэффициентами иметь решение ('") -"("") 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
