1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если выполнены условии теоремы 2, то выполняются условия теоремы 1 для задачи Коши (10), (11). Следовательно, для задачи Коши (10), (11) справедливы утверждения теоремы 1, В силу эквивалеитиости задач Коши (10), (11) и (8), (9) отсюда получаем утверждение теоремы 2. ° 4. Обсуждение доказанных теорем 1) Значение доказанных теорем прежде всего в том, что оии дают ииформацию о решении задачи Коши в тех случаях, когда иормэльиая система (1) или уравнение (8) ие интегрируются в квадратурах. Пример такой ситуации дает уравнение Риккати.
'1Ъгда для их решения приходится применять численные илк асимптотические методы, а для возможности их применения необходимо быть уверенным в том, что решение задачи Коши существует и единственно. 124 Глава 4. Исследование задачи Коши 2) Примененный при доказательстве теоремы 1 метод последовательных приближений Пикара поставляет формулы приближенных решений, а в некоторых случелх и формулы точного решения задачи Коши.
При этом нетрудно указать оценку погрешности при замене решения у = ~р(х) задачи Коши (1), (2) его и-м приближеиием уп(х). Именно, из оцепки (7) следует, что пп пп (~р(х) — уп(х)( < ~ (уьы(х) — у,(х)( < М~ Ь' < Ф=п Гпп ( ) чп( ) б бй ( ) <Мб, ~,, — Мб е з=о Пример 1. Методом последовательных приближений найти решение задачи Коши: у' = у, у(О) = уе. Ь Имеем: уе(х) = уо уч(т) = ус+ / уоб~ = уе(1+и), е хе~ п~ )-и+/пс ° Ск-п(~+ ° —,) о Методом математической индукции получаем, что чл Е 1ч х ха~ уь(х) = уе (1 + — + ° + р~ .
При й -+ оо и чх Е В~. выполняется уь(х) -4 у(х) = усе*. Эта сходимость равномерная по х на каждом отрезке ( — а,а), а > О. Итак, искомое решение у = усе*. А 3) При условиях теоремы 1 существование решения задачи Коши доказано иа (хо-б, хе+б(, где б = ш)п (р, Я7). Этот отрезок зависит от всех исходных данных задачи Коши: у, С, хе, ус. Отрезок тем меньше, чем ближе точка (хс,уе) к границе области С и чем больше рост (7(х,у)(. Доказанная теорема существования косит существенно локальный характер: существование решения задачи Коши гарантируется лишь в некоторой малой б-окрестности точки хе. Этот принципиальный момент подтверждается примерами.
Пример 2. Решением задачи Каши у' = 1+уз, у(О) = О, служит функция у = сдх, (х( < $. Здесь б < з, хотя правая часть уравнения — бесконечио диффереицируемая функция для Чу Е Я~~. Возникает вопрос о необходимости условий иа 7"(х,у), наложенных в теореме 1, для получения существования решения задачи Коши.
Ответ здесь таков. $2. Существование н единственность решения задачи Коши 125 Другим методом, отличным от метода последовательных приближений, для задачи Коши (1), (2) можно доказать теорему существования решения лишь при одном условии непрерывности 1(х,у) в С н при (хо,уо) Е С (теорема Пеано) (см., например, [35], [41[). Теорему существования можно доказывать и другими методами — методом ломаных Эйлера или методом сжатых отображений (см. [35], [43] [45]).
4) Доказанная теорема единственности решения зэдачи Коши носит глобэльный характер: она верна не только в окрестности точки хо, а на всем том промежутке Х(хо б Х), где определено решение. В отличие от теоремы существования решения задачи Кошя, для единственности решения задачи Коши, как правило, одной только непрерывности 1(х,у) в области С недостаточно, нужны дополнительные условия. Пример 3. Рассмотрим задачу Коши: у' = ~уз, у(0) = О.
Здесь правая часть уравнения не удовлетворяет условиям теоремы 1, так как она непрерывна на всей плоскости В( „р но не удовлетворяет условию 2 Липшица в окрестности у = О. Покажем, что задача Коши имеет бесконечное множество решений. Действительно, ее решениями служат у = О, у = хз и, например, любая функция вида (хо > О) О, х < хо у = 1о(х, хо) = (х — хо)з, х > хо. Часто для получения единственности решения задачи Коши вместо условия Липшица требуют в С существования непрерывных Вл~г,уь, зоа) ооз Чтобы в этом случае можно было воспользоваться теоремой 1, необходимо установить следующую лемму.
Лемма. Если вектор-функция Дх,у) е С„(С) имеет непрерывные частные производные — х ', г',у = 1,п, е области С, то она удовлетворяет ву,пьы Ь условию Лившица по у равномерно по х на каждом компалте Х области С. О Рассуждаем от противного. Пусть утверждение леммы неверно. ЧЪгда найдутся компакт Ло С С и последовательности (Еп]п 1, Еп >О, МпеМ, ((х„,у~ ~)( С Ко, ((хп,у121)~ С Ко 126 Глава 4. Исследование задачи Коши такие, что „( )) 2,( „(а>)( > ~ (у(1> у(а)> Поскольку Ко — компакт, то из последовательностей точек (х„, у„) и (1) (х„,у„) можно выбрать сходящиеся последовательности (2> (х«1 У«1) + (хо~уо ) б коз (х«му«1) + (хо Уо ) б ко " + оо.
Рассмотрим вектор-функцию , у(П „(2)) П*У~ ~)-У(* У()) „(1) ~ (2) у(1) у(2) в достаточно малой окрестности точки (хо,уо(,уо( ). Она ограничена в (1) (г) этой окрестности. Это следует из непрерывности Дх,у) в случае У,1 ф О> (2) (1) (2) уо( и нз леммы 2 3 1 настоящей главы в случае уо( = уо( . Но ограниченность Р(х,у(~>,у(~>) противоречит нашему предположению о компакте Ко при больших пы Это доказывает утверждение леммы. Из этой леммы следует, что утверждения теоремы 1, в частности, верные, если ((х,у) и ее частные производные по у непрерывны в области С. Непрерывность же у(х,у) и ее частных производных по у иа практике проверить легче, чем условие Липшица по у равномерно по х для >(х,у). 5) Если расширено понятие решения системы (1), то можно устан1» вить теорему существования таких ообобщенныхэ решений задачи Коши и для вектор-функций у(х, у), не обязательно непрерывных в С (см.
[38), (43)). Однако н условие Липшица и условие непрерывности частных производных от ) (х,у) по у1,..., У„не являются необходимым условием единственности решения задачи Коши. Замечание 1. Будем называть решение системы (1) особым, если каждая точка (хо,уо) интегральной кривой этого решения является точкой неединственности решения задачи Коши (1), (2). Из теоремы 1 следует, что точки неединственности решения задачи Коши могут быть только среди тех точек С, в окрестности которых не выполнено условие Липшица по у.
Так, например, в примере 3 решение у = Π— особое. Более подробно об особых решениях см. в 3 6 настоящей главы. 1гт З 3. Непродолжимое решение задачи Коши Замечание 2. Важным частным случаем нормальной свстемы (1) явля- ется нормэльяая линейная система дифференциальных уравнений у'(х) = А(х)у(х) + 1(х), где А(х) — заданная непрерывная на промежутке Х С В~.
квадратная матрица порядка и, а /(х) — заданная вектор-функция с и непрерывными компонентами на Х. В следующей главе 5 будет показало, что теорему 1 для таких систем можно уточнить. Именно будет доказано, что решение задачи Коши для нормальной линейной системы существует и единственно на всем промежутке Х. Аналогичный результат в главе б будет установлен и для задачи Коши для линейного дифференциального уравнения порядка и у(") + а1(х)у(" 1) + + а»(х)у = У(х) с непрерывными аг(х),...,а»(х),Дх) на промежутке Х Замечание 3. Система дифференциальных уравнений вида (1»1) у т (»и — 1) (1»» — 1) 1 У1 (х) = Л ~ х Уыу11 . У1 ° ° У»А~ У» (м ) ( р (вп — 1) р (»» 1)~ У» (х) )»1х У!~У1~ 1У1 ~ У» У»~ У» ) 1 называется канонической системой порядка п1 = г»1 + + ги„.
Заменой вида уз = узо~ Уу = У11 У. = Улт,-1, 3 = 1,п, каноническая система порядка п1 сводится к эквивалентной нормальной системе порядка пг. Таким образом, изучение разрешимости задачи Коши для канонической системы сводится к изучению эквивалентной задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Для канонической системы начальные условия задаются условиямн вида (9) для каждой из функций у)(х) .,У»(х), причем для у1(х) задается п11 условий,..., для у„(х) задается гл» условий.
З 3. Непродолжимое решение задачи Коши пусть для нормальной системы (1) из з 2 заданы два решения: у = (г1(х) на промежутке Х1 и у = у~(х) на промежутке Хз. Если Х1 С Хз и (»1(х) = (Рз(х) для всех х е Х1, то говорят, что решение у = (гз(х) является продолжением решения у = ~р1(х) с промежутка Х1 на промежуток Хз илн что решение у = ~р1(х) является сужением решения у = Ч~(х) с промежутка Хз на промежуток Х1. 128 Глава 4. Исследование задачи Коше Если существует промежуток Х =Х4СХз такой, что 1о1(х) = 1оз(х) для всех х б Х, то в этом случае решения у = ре(х) и у = рз(х) системы (1) являются продолжениями одно другого, а вектор-функция (~р~(х), х б Хм 'рз(х), х и Хз> является решением системы (1) для всех х б Х~ СХз.
В частном случае, когда Х вырождается в точку, происходит стыковка решений у = 1о~(х), у = <рз(х). Стыковка решений также представляет решение системы (1) иа Х~ СХз. Определение. Решение у = 1о(х) на промежутке Х системы (1) З 2 называется нспродолжимым, если не существует никакого другого решения системы (1), являющегося его продолжением. Из этого определения следует, что промежуток Х непродолжимого решения у = 1о(х) является максимальным в том смысле, что для всякого другого решения системы (1) у = Ф(х) на промежутке Хы совпадающего с у = Ф(х) там, где ~о(х) и Ф(х) определены одновременно, Х~ является частью Х. При выполнении условий теоремы 1 З 2 баню доказано существование решения задачи коши (1), (2) из з 2 на отрезке [хо — б, хо+ 6), где б = ппп(р,зяб).
Следующая теорема показывает, что полученное решение задачи Коши может быть продолжено единственным образом до непродолжимого решения. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 1 З 2. Тогда для любой точки (хо,уо) б С задача Коши (1), (2) из З 2 имеет единственное непродолхсимое решение у = Ф(х), определенное на некотором максимальном интервале (о,)3). При етом, если х ~ о+ О или х -+ )з — О, соответствующая точка М (х, Ф(х)) интезральной кривой покидает любой компакт К с С и либо М -+ оо (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
