1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Теорема 6, Пустпь е областпи С вектор-функция Дх, у) непрерывна и удо- елетпеорягт условию Липшица по у равномерно по х. Тогда задача Коши (16) яеляется хорректппос, причем если Г У(х,у) — 1(х,у)~ < б, ~ха — хо) < б, )ус — уа! <б, то соответствующие решения у = Эт(х), у = ут(х) задачи Коши (15) па некстпаром (а,Л] удовлетворяют оценке (хс,хе е [а,Д)т 95.)-т(.31 т~(1.М,.-). ~т-.~- ), 11 ь 11 Т/ б)' где Ь вЂ” постоянная Липшица е С и Мт > Π— игяаторос число. 144 Глава 4.
Исследование задачи Коюв О Решение у = р(х) задачи Коши (16) существует и единственно при [х — хо! < бм где б~ = ппл [р, ~у), М = шак[Дх,у)], Ы(х,у) е Све с С (см. теорему 1 $2). Аналогично, решение у = у(х) задачи Коши р' = Пх, р), р(хо) = ро, по той же теореме существует, единственно при ]х = х! < бм где б~ = ппп [р, дм), М = шах ~Дх, у)~, Ч(х, у) и без С О. При достаточно близких (хо,уо) и (Уо, ро), т. е. при [хо — хе! < б [во — ро! < б, где б > О достаточно мало, существует [п,)у] = [хо-б„хо+ЧО[хо — б,, хо+б] такой, что хо,хо Е [п,ф Тогда для всех х Е [п,Д имеем, что р(х) = — ро+/ УЫ ю(С)] К ~о 'р(х) взуо+~Пс ФИФК во Отсюда, считая для определенности хо < хе, получаем, что 9(х) — Ч(*)! < [уо-ус[+ [У[С дЫ)]! К+ в во + ~ ~У [6 жЮ] — У [С ю(С)! ~ К < [уо — уе ! + / [У [Ы, е (О] ! И(' + Уо хв + / [Ы ~(0! — УЫ 'р(0]~41+ / ~УЫ,з (~)] — Х Ы ю(0]~ К ва те Если М~ = айвах(М,М) и Ь > 0 — постоянная Лившица в области О, то из последней оценки находим, что при [1(х,у) — Дх,у)[ < б: [Ф( ) — ч( )! < [уо — ио[+Мйхо — хо[+1 / [Ч(0 — ЮИ)[Ж+б[х — хо! ео По усиленной теореме Гронуолла (см.
лемму 4 з 1) тогда тх е [о,Д ь «-а [~р(х) х(х)! < ([уо ко[ + М1[хо — хо!) е1Ф-ай+ — $ еЦ*-ам 1~! < ь~ б < (б+ М,б)с~У-'"~ -à — (ес(З вЂ” ) 1) — б 1.с М, Ч ! с(В- ) за Разрешимость задачи Коши для уравнения первого порядка Замечание. Сведением уравнения порядка и к нормальной системе можно показать, что при условиях теоремы 2 З 2 задача Коши для уравнения порядка и тоже корректна. При неисполнении условий теоремы 5 задача Коши (15) может оказаться некорректной. Если взять задачу Коши для бесконечной системы уравнений уп(х) = пуп(х)т уп(0) = уот и Е ттт то она не будет корректной, поскольку у„(х) = уее -+ оо при и — т со для х Е [О,д), как бы мало ни было число б > О.
З 6. Разрешимость задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка,не разрешенного относительно производной. Особые решения Рассмотрим уравнение Р(х,у,у) = О, где Р(х,у,р) — заданная яепрерывная функция в некоторой области (* зл)' Для уравнения (1) задача коши ставится следующим образом (см. з 3 главы 1). Задача Коши для (1). Задана точка (хд,уо,ро) Е С, для которой Р(хо,уо,ро) = О. Требуется найти такое решение уравнения (1), которое удовлетворяет начальным условиям у(хо) = уо, у'(хо) ~ ро. (2) Следующая теорема дает достаточные условия существования н единственности решения задачи Коши (1), (2). Теорема.
Пустпь е области С функция Р(х, у, р) непрерывно ди44еренцируема и пустпь — ~фь — '- ф О. Тоеда найдептсл тпакое число б > О, чпю ттри олт»,. „ [х — хо( ( б решение задачи Коши (1), (2) сутдестпеует и единстпеенно. О Перейдем к системе с у'( ) =р, Р(х,у,р = О).
Поскольку (хо,уо,ро) Е С, Р(хо,уо,ро) = О, ~~(~фй'-) ~ О и Р— непрерывно дифференцируемая функция в области С, то в некоторой окрест- Глава 4. Исследование задачи Коши 146 ности У(хе,рэ,ро) е С выполиены все условия теоремы существования и едииствеяиости неявной функции р = 1(х,р), определяемой уравненяем Р(х, у,р) = О.
Согласно атой теореме найдутся такие окрестности У(хо~уз) и У(ре), что для Ч(х,у) Е У(хо ро) существует единственное решение р = у(х,р) е У(ро) уравнения Р(х,р,р) = О. Это решение р = Дх,у) является непрерывно дифференцируемой функцией в окрестности У(хо,ра) и ро = у(хо ро). Рассмотрим задачу Коши и' = Их, р), у( о) = йш (3) в некотором прямоугольнике к = ((х, р) Е У(хо, рэ): !х — хо) < о Ь вЂ” ро1 < Ь) С У(хс,уэ), где числа а и Ь положительные. В прямоугольнике выполнеиы все условия теоремы 1 3 2, поскольку в области )Г функция Г'(х,р) непрерывна и удовлетвориет угловию Липшица по у равномерно по х.
Последнее вытекает из леммы 2 З 1, так как 1г — выпуклая по у область и -4 ~~ — непрерывная ограниченная функция в < в области 1'. Согласно теореме 1 з 2 найдется такое Б > О, что при )х — хе! < б, 6 = ппп(а, тг), М = шахУ"(х,Р)), (х,у) Е 1', Решение У = Р(х) задачи Коши (3) существует и единственно. Это решение является искомым решением задачи Коши (1), (2). Действительно, р = ~р(х) удовлетворяет уравнению (1), так как Г[х,у,/(х,р)) си О, ч(х у) е У(хо,рв) и у = ~о(х)— решение уравнения у' = /(х, р) при (х — хе! < б. Кроме того, х(хе) = рв, у'(ха) = У (хе, Ю(хо)] = У(хо ро) = ро.
Доказанная теорема геометрически означает, что через точку (хв,рэ) в некоторой окрестности У(хо,уо) при выполнении условий теоремы проходит единственная интегральная кривая уравнения (1) с заданным в этой точке угловым коэффициентом касательной ро. В этом случае говорят, что в точке (хо,уо) имеется локальная единственность решения задача Коши (1), (2). Точка (хо,уо,ро) называется особой точкой уравнения (1), если либо (хо,ре,ро) к У, либо (ха,уе,ре) Е 6', но в окрестности точки (хо,уо) решение задачи Коши (1), (2) или не существует или пе единственно. Определение. Решение уравнения (1) р = $(х), х Е Т, называется особым решением, если каждая точка (хо,ф(хв)), хо Е Х, его интегральной кривой является точкой локальной неедииствеиносги решения задачи Коши (1), (2). Особое решение у = 4(х), х Е 2, уравиевия (1) геометрически означает, что интегральная кривая для у = 4(х) в каждой своей точке касается некоторой другой интегральной кривой уравнения (1) и не совпадает с ией в некоторой окрестности этой точки.
147 Зб. Разрешимость задачи Коши для уравнения первого порядка Если в калгдой точке области С выполнены условия вышедоказанной теоремы, то в С уравнение (1) не имеет особых решений. Для существования особых решений необходимо, чтобы в С нарушались условия этой теоремы. Будем предполагать в дальнейшем, что Р(х,у,р) является непрерывно дифференцируемой в С функцией, но что может обращаться в нуль в некоторых точках С. Тогда, если точка (*о,уо,ро) б с и через точку (хо,уо) б Я~(,„) проходит интегральная кривая особого решения (1) с направлением касательной ро, то необхо- димо г(хо уваре) = О др(хо уо Ро) др (4) Исключая из системы (4) Ро, находим связь между хо,уо: Ф(хо уо) = б Определение. Множество точек (х, у) б В( И (кривая на плоскости В(з „1), определяемое уравнением Ф(х,у) = О, называется дискриминант- ным множеством точек (дискримннантной кривой) уравнения (1).
Таким образом, интегралькая кривая особого решения уравнения (1) необходимо является днскриминантной кривой (1). Обратное не всегда верно. Дискримннантиая кривая не обязана быть гладкой кривой, не обязана определять решение уравнения (1) и, значит, не обязана давать особое решение (1). Например, прямая у = 2х является дискриминантной кривой уравнения у" - (2. + у) у'+ 2ху = б, р(х С) = гР(х), др(х, С) дх = гР'(х). но не дает его решения.
Из всего сказанного следует, что для нахождения особых решений уравнения (1) требуется: 1) найти все решения (1), 2) найти дискриминантпые кривые (1), 3) отобрать те яз решений (1), которые дают дискриминантные кривые (1), 4) для отобранных решений проверить выполнение определения особого решения (1). Пусть у = р(х, С), х б Т, семейство решений уравнения (1), зависящее от параметра С, и у = ф(х), х б Т, — кандидат в особые решения (Ц. Для выполнения определения особого решения необходимо, чтобы для 'гх б Т 148 Глава 4.
Исследование задачи Коши Получилась переопределенная система уравнений для нахождения С = С(х), х б Х. Если для каждого х б Х существует хотя бы адно решение С = С(х) этой системы, то решение р = ф(х), х б Х, является особым решением уравнения (1). Пример 1, Найти все решения, исследовать особые решения и нарисовать интегральные кривые уравнения р + 4ху' = 5рз + 99. Ь Решения уравнения находим методом введения параметра. Перейдем к эквивалентной системе < Ф=рдх, рз + 4хр = 5хз + 99.
Находя 9ду из второго уравнения и подставляя в первое уравнение, получаем 9р дх = 2р Ир + 4(роя + х Ыр) — 10х дх. Отсюда (р+ 2х)(2г!р — 5Их) = О. Если р+ 2х = О, то из второго уравнения системы находим решение у = — х . з Если же ар — 5~Ь = О, то 2р = 5(х — С), где С вЂ” произвольная постоянная. Из второго уравнения системы тогда получаем семейство решений у = -(х — С) — -С .
5 г 4 9 Дискримннаитные кривые находим из системы уравнений < рз + 4хр 5хз + 99 2р+4х = О. Исключая р из этой системы, получаем, что у = — х — дискрими- 2 нантная кривая. Так как у = — хз — решение, то это единственный кандидат в особые решения. Проверим выполнение определенна особого решения. Для эх б Я,' должна выполняться система уравнений: (х С)з э Сз — з 4 5 2 -(х — С) = -2х. 14О З 6.
Разрешимость задачи Коши для уравнения первого порядка Эта система совместна при С = ф, следовательно, у = — х явля- 2 ется особым решением уравнения. Картина поведения интегральных кривых уравнения показана иа рис. 2. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
