1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Решения уу(х), 1' = 1, й, лтгейной однородной сисгнемм (1) линейно зависимы на [сг, Д тогда и только тогда когда для Ухо б [о, Д линейно зависимы числовые векторы уу(хо), 1 = 1,1. 2. Фундаментальные системы решений линейной однородной системы (1) * Определение. Любая система и линейно независимых решений (1) рг(х),..., 1ап(х) на [а, Д называется фундаментальной системой решений (1). Теорема 2. Для сисглеми (1) существует бесконечное множество Фунда- ментальных систем решений. О Фиксируем хс б [о, Д и и произвольных линейно независимых числовых векторов у~,...,у„с и компонентами.
Обозначим через ггг(х) рв<е) (а) $ 2. Линейные однородные системы 1В1 шение (1), удовлетворяющее начальному условию уу(хо) = у, у = 1,п. По теореме из 3 1 каждое такое решение !о (х), у = 1,п, существует и единственно на всем [и,(1]. Система решений !оу(х), ! = 1,п, образует фундаментальную систему решений (1), так как если бы она была линейно зависимой системой на [а>)3], то и числовые векторы у, у = г,п, 1о) были бы линейно зависимы. Точку хо Е [а,)3] и линейно независимые (О) векторы у, У = 1,п, можно задавать бесконечным числом способов. йе ! Теорема 3.
Если ьг1(х),..., !рв(х) — фундаментальнал сиспгема ре!лений (1), шо каждое решение у(х) линейной однородной сиспгемы (1) предсшаеьмо единственным образом о оидс У(Х) = С!т'г(Х) + Сг!22(Х) + . + Сван(Х), где с!, сг,..., с„— числа. О Пусть у(х) — какое-либо решение (1). Фиксируем хо и [о,)1] и рассмотрим у(хо). По теореме 1 числовые векторы 22г(хо),...,!о„(хо) — линейно независимы и, следовательно, найдутся числа с!,...,с такие, что у(хо) = с! р!(хо) + .. + сокро(хо) Вектор-функция г(х) = с2!о!(х) +... + с„угь(х) является решением (1) и г(хо) = у(хо).
По теореме единственности имеел! г(х) ш у(х), Ух б [а,(1]. Если бы нашлись другие числа с2,...,с„такие, что у(х) = с!!о!(х) +... + с„!о„(х), то разность решений дает равенство (с! с!)Р!(х) + + (сн — сн)У2„(х) = О, Чх б [а,()]. Так как ьг!(х),..., !о„(х) — фундаментальная система решений (1), то с! = с2,..., с„= с„. Ф Нетрудно убедиться, что множество всех решений (1) образует линейное пространство Теорема 3 означает, что фундаментвльнал система решений (1) !о!(х),...,у„(х) служит базисом этого пространства. Следовательно, пространство решений (1) является п мерным линейным пространством. Рассмотрим начальное условие для (1); у(хо) = уо, хо б [сг,)3], (2) где уо — заданный числовой п-мерный вектор.
Решение у(х) каждой задачи Коши (1), (2) однозначно определяется с помощью функции у = сг!р!(х) + + с 22 (х), (3) где с!,...,с„— произвольные параметры. Действительно, по доказанной в 3 1 теореме для каждого начального условия (2) решение задачи Коши (1), (2) единственным образом определено на [а,)3], а по теореме 3 162 Глава 5, Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами это решение у(х) единственным образом представимо в виде (3). В силу этого формулу (3) называют общим решением (1). Т1рнмер 3. Пусть в (1) А — числовая матрица и пусть ес собственные векторм Ьм..., Ь„образуют базис 11".
Если Лм..., ˄— соответствующие им собственные значения А, то система е"'* лн...,сл"а л„ образует фундаментальную систему решений (1), а функция /~1 ~ ° ° + где сы...,с„— произвольные постоянные, является общим решением, Этот факт уже известен из главы 3. 3. Фундаментальнаа матрица линейной однородной системы (1) Определение. Матрица Ф(х) у которой столбцы образуют фундаментальную систему решений (1) ы~(х),...,чь,(х), называется фундаментальной матрицей системы (1). Таким образом Ф(х) = Цкч (х),..., у„(х) Ц.
Очевидно, что Ф(х) — непрерывно днфференцируемая матрица на [о,р]. Из теоремы 2 следует, что дяя (1) существует бесконечно много фундаментальных матриц. Из определения фундаментальной системы решений получаем, что Ф(х) — невырождеиная матрица на [а,Д[. Из теоремы 3 получаем самое важное свойство Ф(х). Именно, если Ф(х) — фундаментальная матрица (1), то общее решение системы (1) записывается в простом виде у(х) = Ф(х) с, где с — произвольный числовой н-мерный вектор, Рассмотрим при х Е [а,Д матричное дифференциальное уравнение У'(х) = А(х)У(х) (4) с неизвестной квадратной порядка и матрнцей У(х). Пусть ш(х),..,,у„(х) — столбцы матрицы У(х). Тогда У'(х) = Цу',(х),..., у„'(х)Ц = ЦА(х)у1(х),, А(х)р„(х) Ц = А(х)1'(х).
Отсюда следует, что матрица У(х) тогда и только тогда решение (4), ко- гда ее столбцы р~(х),...,у„(х) — решения системы (1). Это значит, что фундаментальная матрица Ф(х) — решение уравнения (4) и что общее ре. шенне (4) имеет вид У(х) = Ф(х)С, где С вЂ” произвольная числовая матрица порядка и. Тогда ясно, что Ф(х) = Ф(х).С1 где С1 — произвольная невырожденная числовая матрица, з 2, Линейные одвородвые системы представляет собой общий вид фундаментальной матрицы (1).
По эадаииой фувдамеитальиой матрице Ф(х), х б [а,р] система (1) однозначно определяется. В саыом деле, так как Ф(х) — иевырождена ва [а,)У], то па [а,р] существует Ф 1(х). Действуя иа тождество Ф'(х) ш А(х)Ф(х), х б [а,)3], справа матрицей Ф 1(х), получаем, что А(х) = Ф'(х) .
Ф '(х). Решение системы (1) сводится к нахождению фукдамеитальиой матрицы системы (1). Если в системе (1) А — числовая матрица, то Ф(х) = е*" и, зиа чит, все решения (1) задакесл формулой у(х) = е™ с, где с — произвольный числовой и-мерный вектор. Эта формула уже была получена в главе 3. Тот факт, что есл — фуидамевтвльиая матрица (1), следует из того, что бесе*~ -„о 0 и что е*~ удовлетворяет матричному уравнению У'(х) = А У(х).
Если матрица А(х) перестаиовочиа иа [а, б] со своей первообразиой, т.е. А(х) / А(~)ш", = / А(()И~ А(х), Чх б [а,)У], то Ф(х) = ехр[1'А(()~Ц вЂ” фундаментальная матрица (1). о Действительно, в этом случае Ф(х) удовлетворяет (4) (см. З 1). Условие (5), например, выполиеио, если А(х) — диагональная с непрерывными а~(х),...,а„(х) по диаговвли, либо если А(х) — жордаиова клетка с в~ прерывиой функцией а(х) по диагонали. В заключение отметим, что решение задачи Коши (1), (2) через фупдамеитвльиую матрипу Ф(х) системы (1) записывается весьма просто..
у(х) = Ф(х) - Ф 1(хо) уо. Решение (4) с начальным условием У(хо) = Е называется матрицаитом системы (1). Ясно, что матрица К(х,хо) = Ф(х) . Ф '(хо) является матрицаитом системы (1). 4. Определитель Вронского и формула Лиувилли — Остроградского Пусть у1 (х),..., у„(х) — система вектор-функций с и компонентами иа Определение.
Определителем Вронского (или сокращеиио вроискяа иом) системы у1(х),...,у„(х) называется определитель гу(х) ш гу[у~(х),..., у„(х)] = бес[]у1(х),...,у„(х)]]. 164 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами Если у~(х),...,уп(х) — решения линейной однородной системы (1), то кз теоремы 1 вьггекает следующая связь между линейной зависимостью уг(х),...,уп(х) на [сг,)1] и обращением в нуль их определителя Вронского Иг(х). уг(х) = ( ) уг(х) = ( ) . Они линейно независимы на всей оси В~, но их определитель Вронского Иг(х) ш О на В~~.
Теорема 4. Пусть Иг(х) — вронсягган решений уг(х),..., у„(х) системы (1) и пусть хо 6 [о,(1]. Тогда длл гх 6 [сг,Я имеет место формула Лиувилля — Остроградского Х гол(дгс И"(х) = И'(хо)е*г гдс эрА(6) = ам(6) + ° ° + апп(~) называетсл следом матрицы А(~).
(6) О Покажем, что Иг(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению Иг'(х) = зрА(х) Иг(х), х 6 [а,)г]. Пусть уу(х), 1 = 1,п компоненты решения уг(х), г = 1,п. Тогда Иг(х) является функцией всех этих компонент: Иг(х) = И'[уы(х),угг(х),,у„„(х)]. По формуле производной сложной функции получаем, что дИ'(х) И' (х) = ~ у (х). гл=г Если Иж(х) — алгебраическое дополнение ур,(т) в Иг(х), то разложение И'(х) по р-й строке дает п Иг(х) =- 2 Уж(х) И'г„(х). г=! а) Решения (1) уг(х),...,уп(х) — линейно зависимы на [о,)г], тогда и только тогда, когда Иг(уы...,у„) ш О на [гг,)г].
6) Решения (1) уг(х),...,у„(х) — линейно независимы на [а,)3] тогда и только тогда, когда И'(уы..., у„) р О, гх 6 [а, Д. Отсюда получаем, что не существуют такие хыхг 6 [а,19], х~ ф хг, что Иг(х~) = О, Иг(хг) зь О. Свойства а) и б) на практике используются для проверки линейной зависимости или независимости и решений системы (1) на [а,)3]. Для произвольных вектор-функций у~(х),.,уп(х) на [о,(3] свойства а), 6) не обязаны выполняться. В этом молсно убедиться на примере вектор- фуикций 165 1 2. Линейные однородные системы Отсюда находим, что дИ'(х) д„ Каждая вектор-функция рз(х) удовлетворяет системе (1), т.е. р(х) = А(х)ув(х), Ч = 1, и, х е [а„д].
Отсюда находим, что в Урс(Х) = ~~1 ар,(Х)угч(Х), г=1 где ар,(х) — элементы матрицы А(х). Подставляя найденные выражения зии"(-*) и ~у (х) в формулу И~'(х), ггг получаем, что и и о И"(х) = ) И'рг(х) ~ ~вр,(х)Шч(х) = ~ ~ор,(х) 1 'зьд(х)Игр,(х). рл=1 г=1 р,г=1 д=! Но из курса алгебры известно, что р в(х)Я (х) = И (х) бгр, где б р — символ Кронекера. Тогда в в Иг'(х) = Иг(х) ) а,(х)б, = И'(х) ) о„(х) = Иг(х) зрА(х). р,г=1 р=1 Интегрирование этою линейною однородного уравнения первого порядка и дает требуемую формулу (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
