1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Если 1(х) = (г(х) + Ях) и у,(х) — решение уравнения (1) при 1(х) ги Цх) на [а,Я, г = 1,2, то функция у(х) = уг(х) + уг(х) является решением уравнения (1). Следствие. Если у1(х), уг(х) — решения линейного однородного уравнения и с„сг — произвольные числа, то линейная колгбинаиия у = сгуг(х) + агут(х) танисе является решением линейного однородного уравнения.
Лемма 1 и ее следствие характерны именно для линейных дифференциальных уравнений н линейных систем дифференциальных уравнений и облегчают их изучение. Решение уравнения (1) всегда можно свести к решению лияейной системы дифференциальных уравнений порядка и следующего вида: у'(х) = А(х)у(х) +1(х), (2) 1Т2 Глава б.
Лкяейиые уравнения порядка п с переменными коэффициентами где уг(х) у(х) = ' , А(х)— уя(х) О 1 О ... О О О 1 ... О О О О ... 1 -а„(х) -а„г(х) -ая-г(х) ... -аг(х) Лемма 2, Уравнение (1) зквивазенгпно системе (2). где хо Е [о,1г] и Уг, °,Уя — заданные числа. [о) (о1 Теорема. Пусгпь все функции а (х), у = 1,п, и 1(х) — непрерывны на [сг,Д и пусть хо Е [о,13]. Тогда при произвольных начальньсс значениях у,,...,У„решение задачи Коши (1), (3) существует и единственно на 1о) <о> всем [о,Д. О Сделав замену уг(х) = у(х), сведем уравнение (1) к мут вид уг(х) = у'(х), ..., У„(х) =у1" П(х), системе (2), При этом начальные усповия при- у(хэ) У(0) (4) где УОΠ— вектор с компопентамн у~,...,у„.
В силу леммы 2 задача Коши (1), (3) эквивалентна задаче Коши (2), (4). В силу условий теоремы А(х) и г"(х) — непрерывны на [гг,1г]. Следовательно, для задачи Коши (2), (4) выполнены все условия теоремы из 3 1 главы 5. Согласно этой теореме решение задачи Коши (2), (4) существует и единственно на [а,Д. Значит, и решение задачи Коши (1), (3) существует и единственно на [о„9]. О Пусть у = гз(х) — решение (1). Положим уг(х) = ~с(х), уз(х) ~р'(х),..., У„(х) = у<я О(х). Тогда вектор-функция с компоненшми у(х),у'(х),...,~р<Я О(х) удовлетворяет системе (2).
Пэоборот, если вектор-функция с компонентами р(х), ~з'(х),..., эг" О(х) — решение системы (1), то, исключив из (2) переменные уг,..., У„получаем, что уг = ~р(х) — решение уравнения (1). Лемма 2 позволяет перенести все результаты для линейных систем нз главы 5 на случай уравнений (1). Рассмотрим для уравнения (1) начальные условия у(хо) = Уг, У (хо) = Уз, ..., У(" )(хо) = Уя1, (3) г 1.
Общие свойсгва 173 Следствие. Задача Коши у(») + а (х)у(»-1) + +а (х)у О, у(хо) = у (хо) ы ... = у (хо) = О, где а (х), у = 1,п, непрерывны на [а,Я и хо б [а,)3], имеет гдинсгпвенное решение у(х) ж О на [сг,77]. О Действительно, у(х) гл Π— решение задачи Коши (5) и оно единственно в силу доказанной теоремы.
Заметим, что в главе 4 было доказано, что в некоторой окрестности хо существует и единственно решение уравнения У' ' =7'(* У,у,.",У( ') (б) при начальных условиях (3), если только выполнены некоторые требования на функцию 1(х) и начальные данные. Уравнение (1) — частный случай уравнения (6) н при условиях теоремы выполнены все требования, наложенные иа уравнение (6) в главе 4.
Следовательно, из результатов главы 4 получаем локальное существование решения задачи Коши (1), (3) в некоторой окрестности хо. Доказанная теорема уточняет этот результат и дает более сильное утверждение. Она гарантирует существование и единственность решения задачи Коши (1), (3) глобально, т.е. на всем том [а,))], где определено уравнение (1), причем при произвольных начальных значениях У1,..., у» 1о) 1о) При условиях доказанной теоремы можно установить корректность задачи Коши (1), (3).
Если рассмотреть задачу Коши для линейного уравнения порядка и с параметром Л У1") + а1(х, Л)У1" 1) + + а„(х, Л)у = 1(х, Л), У[»=ее = У1 ~ У 1»=»е = Уз У [*=*а = У» где аг(х,Л), у = 1,п, и 1(х, Л) — непрерывны при х б [а,)1], [Л вЂ” Ло[ < г, то ее решение у = у(х, Л) являегся непрерывной функцией при всех х б [а,)3], )Л вЂ” Ло[ < г. Если же ау(х, Л), 7 (х, Л) — непрерывно днфференцируемы по Л, то и решение у = )о(х, Л) — непрерывно дифференцируемо по Л при [Л вЂ” Ло[ < т Все эти результаты получаются сведением уравнения (7) к линейной системе. В случае, когда не все функции а (х), у = ),п, 7(х) непрерывны на [а,)3], может не существовать решение задачи Коши (1), (3). В таком случае расширяют понятие решения задачи Коши (1), (3), и тогда можно установить су1цествоваиие и единственность такого решения задачи Коши (1), (3) при условиях, что аг(х), у = 1,п и у(х) измеримы и локально суммируемы на некотором промежутке Х чисяовой оси Я~ (см.
[31]). Если ввести понятие обобщенной задачи Коши (1), (2) (см. [13]), то и эти условия можно существенно ослабить. 174 Глава 6, Линейные уравнения порядка п с переменными коэффициентами $ 2. Линейные однородные уравнения порядка и Рассмотрим линейное однородное уравнение порядка гг 1и) + ( ) (и- )) + + где а)(х), у = 1,п, заданные непрерывные функции иа [а,)2]. Определение. Решеиия у1(х),...,уь(х) уравнения (1) иэзывэются ли- р иейио зависимыми иа [а,)г], если существуют числа сы...,сг, одиовре. мелко ие равные нулю и такие, что с)уг(х) +" +сьуг(х) шО, эха [а,1)]. В противном случае решения у1(х),...,уг(х) называются линейно иезависимыми па [а,)3]. Рассмотрим линейную одпородиую систему, которая эквивалеитка уравнению (1) (см.
21): у'(х) = А(х)у(х), О 1 О ... О уг(х) О О 1 ... О у(х) = : , А(х) = ...............,............. . (2) „и(,) О О О -о — аи г — аиз ... — аг Лемма 1. Решения уг(х),...,уг(х) уравмемия (1) линейно зависимы на [а,)У] тогда и только гпоеда, когда соответствуюи)ие им решения уг(х),...,уь(х) системы (2) линеШю зависимы на [а,)1] (здесь у (х)— вектор-4ункция с компоненп1ами у.(х),у'(х),..., у (х), 1 = 1, Й). О Пусть решения у1(х),...,уь(х) уравнения (1) линейно зависимы иэ [а,)2]. Тогда найдутся такие числа сы.,,,сы [с1]+. + [сь[ > О, что сгу1(х) + +серь ы О, Чх е [а,)у]. Дифференцируя цоследовательво это тождество (и — 1) рэз, получаем то.
ждество иа [а,))] для решений системы (2): с1у)(х) +. +серь(х) ш О, т.е. решеиия у1(х),...,уь(х) системы (2) линейно зависимы иа [а,)2]. Обратно, если выполнено последнее тогкдество иа [а,)3] с некоторыми, одновременно ие равными нулю, числами см...,сг, то первая компоиевта этого векторного тождества означает линейную зависимость решеиий уг(х),...,уь(х) уравнения (1). Следствие.
Решения уэ(х),..., уа(х) уравнения (1) лимейно независимы на [а,)1] гпогда и только пгогда, когда решенил уг(х),..., уь(х) системы (2) линейно независимы ма [а,)г]. Э 2. Линейные однородные уравнения порядка и Определение. Совокупность произвольных п линейно независимых решений юг(х),...,эгп(х) уравнении (1) называется фундаментальной системой решений уравнения (1).
Из леммы 1 в качестве следствия получаем следующее утверждение. Лемма 2. Решения ен(х),..., юп(х) уравнения (1) образуютп 4ундаменгпальную систему решений уравнения (1) в том и только в том случае, когда векпюр-4ункиии Фг(х) с компонентами 1о (х),~о'(х),...,~р~" ~(х), у = 1,п, образуют 4ундаментальную систему решений линейной однородной системы (2). С помощью леммы 2 все утверждения о фундаментальных системах решений линейной однородной системы переносятся на фундаментальные системы решений линейных однородных уравнений порядка п. Теорема 1. Для уравнения (1) существует бесконечное мнохсество 4ун- даментальннх систем решений.
О Уравнение (1) эквивалентно системе (2), для которой справедлив аналог теоремы 1 (см. З 2 главы 5). В силу леммы 2 тогда справедлива и теорема 1. Теорема 2. Если сгг(х),..., у„(х) — 4ундаментальная система решений уравнения (1), то каждое решение у(х) уравнения (1) предстпавимо единственним образом в виде у(х) = с1юг(х) + .. + спмв(х), еде сг,, с„— постоянные. О По лемме 2 вектор-функции Фу(х) с компонентами ~р (х),чг'(х),..., ~р" ~(х), 4 = 1,п, образуют фундаментальную систему решений системы (2), эквивапентной уравнению (1). По теореме 3 З 2 главы 5 любое решение у(х) системы (2) единственным образом представимо в виде у(х) = с Фг(х) + " + с„Ф„(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
