1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Тогда общее решение у = с1 соя(хч' — Л) + сз э1п(х~/ — Л) и подстановка в граничные условия дает с1 = О, сз э1п(ЬI — Л) = О. Если р ~ О, то сз ~ 0 и, следовательно, э!п(1чг-Л) = О. Отсюда получаем формулу всех собственных значений: ~,з г Ль = — —, й = х1,х2,... 1г Им соответствуют собственные функции Ьгх уь(х) = сьэ1п —, где се — произвольные постоянныс ф О, й = х1,х2,.... Замечание. Если в уравнении (1) а1(х), оз(х), у(х) не все являются непрерывнымн функциями на [О,!], то решений граничной задачи (1), (2) может не существовать.
В таком случае вводят понятие обобщенного решения граничной задачи (1), (2) и исследуют его существование. Подробнее об этом см. в [16], [30]. 15. Теорема Штурма В 5. Теорема Штурма Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка у« + «(х)у' + Ь(х)у = О, где а(х) н Ь(х) — заданные действительные функции на некотором промежутке Х числовой оси й~~, причем а(х) — непрерывно днфференцируема и Ь(х) — непрерывна на Х. В етом параграфе будем рассматривать толысо действительные решения уравнения (1). Решение (1) у(х) ф О на Х называется нетривиальным решением уравнения (1), а точку хе Е Х, для которой у(хе) = О, называют нулем нетривиального решения (1).
Нас будет интересовать вопрос о множестве нулей нетривиальных решений (1). Этот вопрос имеет важное значение в ряде прикладных задач теории колебаний. Решение (1), имеющее на Т более одного нуля, называется колеблющимся г. Заменой неизвестной функции у(х) уравнение (1) всегда можно свести к двучленному уравнению х~~ + у(х)х = О, (2) где е(х) — непрерывная функция на Х. В самом деле, положим у(х) = и(х)в(х) н подберем и(х) так, чтобы уничтожить член с х' в уравнении для х(х).
Имеем: у'=и'х+иь', у =и'х+2иг'+ив", иве+ (2и'+ аи)х'+ (и" + а«'+ Ьи)х = О. В качестве и(х) возьмем какое-либо нетривиальное решение уравнения 2и'+аи = О, например, -Ь1 1ояс и(х)=е *е, хеба. При таком выборе и(х) имеем, что 1/ и = — -(а и + аи ) = — — ~а — -а ( и. 2 21 2 / Подставив в (1) найденные значения и, и', и" и сократив на и(х) ф О, для «(х) получаем уравнение (2), в котором у(х) = Ь(х) — -а (х) — -а (х), 2 1 / 4 2 причем д(х) — непрерывна на Х. нм 194 Глава б.
Линейные ураввенкя порядка и с переменными коэффициентами Замечание. Если д(х) ш сове« либо у(х) = с(х — а) г при х > о, то уравнение (2), а, значит, и уравнение (1), интегрируется в квадратурах. Поскольку пули у(х) и «(х) совцадают на промежутке Х, то в дальнейшем рассматриваются лишь двучленпые уравнения (2). Лемма 1. Вслкиб нуль хо б Т каждого и«тривиального решеиил (2) «(х) леллетсл просгпьг«\ т.
е «(хо) = О~ «(хе) ф О. О Если хо б Х вЂ” кратный нуль «(х), то «(хо) = «'(хе) = О. По теореме единственности решения задачи Коши «(х) ве О на Х, что противоречит условию леммы 1. Лемма 2. Нули каждого негприеиалышго решения (2) «(х) ме имеют ко- мечноп предельноа пигчки ма Х. «(хо) = 1пп «(хг) = О, ь-ко «(хг) — «(хо) «(хо) = !пп «гы«о хг — хо По теореме единственности решения задачи Коши «(х) ы О на Х, что противоречит условию леммы 2. Следствие. Любое нетривиальное решение (2) «(х) иггеет иа каждом [г«,В] С Т лишь конечное число «улей. О Если бы это было ие так и 3(хя)~„м х„б [а,В], Чп 6 И, такая, что «(х„) = О, Уп б Дг, то в силу теоремы Больцаио — Вейерпггргсса Э(хь„)~~ ы хщ б [а„6], хь„— > хо б [а, В] при й -г со, что противоречат лемме 2. Теперь сравним количества пулей нетривиальных решений двух урав. пений вида (2). Пусть згдавы два уравнения: у + д(х)у = О, «о + Я(х)« = О, где д(х) и сг(х) — заданные непрерывные функции на промежутке Х.
(4) О Рассуждаем от противного. Пусть й(хг)г „ха б 2, 'г)с б Н и хг -г хо б 2, причем «(хг) = О, гя 6 Ф. Тогда в силу непрерывной диффе- ревцируемости «(х) Хеб $5. Теорема Штурма Теорема Штурма. Пусть о(х) < Я(х), гх Е Х, и пусть у(х) — какое-либо нетривиальное решение уравнения (3), а «(х) — какое-либо нетривиалы2ое решение уравнения (4). Если хп хг Е Х последова2пгльнме нули у(х), то найдв2пся хогля бм одна точка хо Е (хмхг), в которой «(хо) = О, либо «(х2) = «(хг) = О. О Имеем у(хг) = у(хг) = О.
Будем считать для определенности, что у(х) > О прн всех х Е (хыхг), иначе вместо у(х) можно было бы взять [ — у(х)]. Тогда у'(х2) = 1пп > О, У(х) 2-2. 2.Ю Х вЂ” Хг у'(хг) = 1!т — < О. у(х) «"222-0 х — хг В селу леммы 1 равенство нулю у'(«2) и у'(хг) невозможно и по«тому у'(«2) > О, у'(хг) < О. Умножая (3) на «(х), а (4) на у(х) и вычитая, для решений у(х) и «(х) получаем тождество на Х ув — ву = (я — у) у . Это тождество можно так записать: (у' -"у)'=(Е-у)у' Интегрируя его на отрезке [хмхг] н учитывая, что у(хг) = у(хг) = О, получаем тождество 22 у'(хг)«(хг) — у'(«2)«(«2) = / [2г«2(х) — д(х)] у(х)«(х)дх. (5) Будем считать, что «(х) > О на (хмхг), так как в случае «(х) < О на (хпхг) вместо «(х) можно брать [ — «(х)].
Допустим теперь, что теорема Штурма неверна. Тогда могут быть следующие три возможности: а) «(х) > О, Ух Е [хпхг], б) «(х) > О, ьх Е [хп хг), «(хг) = О, в) «(х) > О, Чх Е (хы хг], «(хг) = О. Во всех случаях а), б), в) левая часть тождества (5) отрицательна, в то время как правая часть (5) неотрнцательна. Противоречие. Ф Замечание. Если «(х2) = «(хг) = О и «(х) ов О на (хмхг), то необходимо на [хмхг], д(х) ж Я(х) и у(х) = с«(х), где с — постоянная. Если же зх е (хпхг), что й(й) < Я(х), то всегда «хо е (хг хг) для которого «(хо) = О 19В Глава б.
Линейные уравнения порядка и с переменными коэффициентами Графячески утверждения теоремы Штурма могут быть проиллюстрированы следующим образом. г(х) г)*) Рис. 1 Это значит, что нули х(х) идут не реже, чем нули у(х). Теорему Штурма иллюстрирует пара функций в!птах и вшМх при 0 < т < М, поскольку у = в)птх — решение уравнения у' +тгу= О, г = вшМх — решение ео + Мве — О Из теоремы Штурма для уравнения (3) получаются валсные следствия. Следствие 1.
Если в уравнении (3) о(х) < О, Ых б Х, то всякое нетривиальное решение (3) имеет на Х не более одного нуля. О Если бы решение у(х) ~ О имело на Х два нуля хг н хг, го по теореме Штурма всякое нетривиальное решение уравнения хо+ О в(х) = О обрюцалось бы в нуль на (хыхг) или при х = хг и х = хг. Это опровергается примером г(х) си 1. Следствие 2. Пусть уг(х), уг(х) — два линейно независимых решения уравнения (3).
Если хм хе — последовательные нули уг(х), то уг(х) имеет на (хм хе) в точности один нуль, т. е. нули уг(х) и уг(х) перемелсаготся. О По теореме Штурма, примененной к (3) (здесь д(х) ю сг(х)), уг(х) имеет на [хмхг) хотя бы один нуль хо. Общих нулей уг(х) и уг(х) не могут иметь, так как если, например, уг(х)) = уг(хг) = О, то И'(хг) = О и решения уг(х), уг(х) — линейно зависимы на Х. Итак, хе й (хмхг). Докажем, что хо — единственный нуль уг(х) на (хыхг). Допустим противное, что Зх Р' хе, х б (хмхг), такой, что уг(У) = О. Тогда по теореме 1йу $5. Теорема Штурма Штурма„предположив для определенности Ю > ха, на (хо,х) существует котя бы один нуль уг(х), что противоречит тому, что х) н хг — последовательные нули у~(х).
Ф Графически утверждение следствия 2 иллюстрируется на рнс. 2. вм») юг< ) Рмс. 2 Из следствия 2 очевидно получаем следующий результат. Следствие 3. Если некоторое нетривиальное решение уравнения (3) и мееш на Х бесконечное число нулей, яго и каждое нетривиальное решение (3) имее»1 на Х бесконечное число нулей. Пара функций юпх и совх, являющихся линейно независимыми решениями уравнения у»+ у = О, иллюстрирует следствия 2 и 3.
Пример 1. Пусть в уравнении (3) О < пг < о(х) < М < +со, гп < М, для всех х б Х. 'Гогда расстояние между соседними нулями каждого нетривиального решения (3) не меньше -~»- н не больше »-. ~ум' Ь Рассмотрим уравнение го+ пгх = О. Из формулы его общего решения х(х) = Ав)п(ч/тйх + гг) следует, что если хг н хг — соседние нули х(х), то хг = х1+ -»-. Если х1 и хг — последовательные нули у(х) на (хмхг), то по теореме Штурма хг < хг < хг < хг.
Тогда йг < хг = хг + — 7 < хг + -~~-, т.е. йг — хг < — »ч-. Рассмотрев уравнение г~ +Ме =О, аналогичными рассуждениями получаем, что хг — хг > Д~. ж Пример 2. Оценить расстояние Ы между двумя последовательными нулями любого нетривиального решения у„(х) уравнения Бесселя хгу'~+ху~+ (хг — о~)у =О, х > О, ой В.
й Замена уч/х = е(х) приводит к уравнению „г~ 4 )г () хг хс > )(~ — 1 в случае 1 <г и эх>хе Возьмем некоторое хе > 0 в случае р < 4 н 2 1 1 м! рг > 1. Пусть 4(х) = 1+ а,у-. 'Гогда при рг ! р2 1 < е(х) < 1 + а при и > — и эх > хс 1 2 1 О < 1 — , ' < й(х) < 1. хо Отсюда, используя пример 1, получаем, что ! 1+ 4 г <41<1„ р2 14 ! т<!1<я 1 — 4 р2 2'э и <— г 1 4' 1 > —.
4 В частности, 4( = я при " — 4 Из этих оценок следует, что при имеет бесконечное множество нулей, седннми нулями стремится к я при ИЗ ОЦЕНОК ПРи хэ -1+со. х > 0 каждое решение р„> 0 причем расстояние между со- х -1 +оо. Последнее вытекает А Пример 3. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения !! 1 + 4(хг+1)" имеет лишь конечное число нулей.
4.'1 Поскольку при х > 0 1 1 4(хг+ 1) 4хг' то в силу теоремы Штурма достаточно усгановить, что каждое пе- тривиэльяое решение уравнения гэ+ — =О, х>0, 4х имеет лишь конечное число нулей. Но зто уравнение — уравнение Эйлера и можно найти его общее решение з = ргх(с1 !пх + сг), где с! и сг — произвольные постоянные. Из этой формулы видно, что каждое з(х) ~ 0 имеет конечное число нулей при х > О. я! 198 Глава 6, Линейные уравнения порядка и с переменными коэффициентами 199 )а Решение линейных уравнений с помощью степеинмх рядов.
9 6. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Уравнение Бесселя Решения линейных дифференциальных уравнений с перемеииыми коэффициеитами в редких случаях находятся в квадратурах. Но даже решеиие их в квадратурах приводит к появлекию новых, пе элементарных фуикций. Например, решением уравнения первого порядка Ф у = — е ~/2я является функция 1 Г Р Ф(х) = — / е тй, ~/2яя с играющая важную роль в теории вероятностей. Лииейпые дифференциальные уравиеиия второго порядка порождшот в качестве решений так называемые специальные функции, часто используемые в математической физике, квантовой механике и т.д При этом свойства этих функций изучаются с помощью порождающих их дифференциальиых уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
