1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Рассмотрим липейиое дифференциальное уравнение второго порядка у'+ а~(х)у +аз(х)у = О, Сначала дадим представление о том, как находить фундаментальную систему решений уравиеиия (1) в том случае, когда коэффициенты а1(х) и аэ(х) являются действительными аиэлитическими фувкциями х в точке хе Е Л~~, т.е. а1(х) и аз(х) представимы степенными рядами по степеням (х — хс) с радиусом сходимости В > О. Для нахождения в этом случае решения (1) применяется метод неопределенных коэффициентов, т.е. ищут решение у(х) (1) тоже в виде степенного ряда по степеням (х — хо). Подставляя формально степенные ряды для у(х), у'(х), у"(х), а1(х) и аэ(х) в уравиепие (1) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени (х — хе), в результате получают уравиеиия для определеиия коэффициеитов степенного ряда для у(х).
Когда же коэффициенты определены, необходимо обосновать, что полученный степеияой ряд для у(х) сходится и дейсгвительио дает решение (1). В общем виде этот метод обосиовывветсл в так называемой аналитической теории дифференциальиых уравпеиий (см. [1]). Мы же применим метод неопределенных коэффициентов для так называемого уравиепия Эйри (2) у +ху=О, которое ие решается в квадратурах. 200 Глава б. Линейные уравнения порядка и с переменными коэффициентами Будем искать решение (2) в виде ряда по степеням х р(х) = ~сэх, ь=е ~й(й — 1)сь х~ э+~се хь+' =О.
Отсюда (й+2)(й+1)се+эх" +~ сь 1 х = О. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, находим, что 1 сг=О, сь+г= — ( ) ) сь й > 1. Следовательно, ( — 1) сэ Зт(Зт — 1)... 3 2' ( — 1) с1 (Зт+1)Зт °...4 3' сз +э =О, где коэффициенты сс и с| остаются неопределенными. Полагая се = 1, с1 = О, что равносильно начальным условиям р(о) =1, р'(о) = о, найдем ряд 1)м .Зм р (х) = 7 -' Зт(Зт — 1)... 3 2 (3) Полагая со = О, с1 = 1, что равносильно начальным условиям р(о) = о, р'(о) = 1, получим ряд ( 1)»1 .3»1+1 ~~-~ (Зт+1)Зт...4 3' (4) По признаку Даламбера ряды (3), (4) сходятси при всех х б ( — оо,+со) и ик можно почленпо дифференцировать на ( — оо,+оо).
Подставляя ряды (3), (4) в уравнение (2), убеждаемся в том, что рг(х) и рг(х) — решения (2) в силу определения коэффициентов рядов (3), (4), о скодимости которого заранее ничего не известно. Формально (т.е. без обоснования) дважды продифференцируем по. членио степенной ряд и подставим ряды для р(х) н р'(х) в уравнение (2).
Получим 201 3 б. Решение линейных уравнений с помощью степенных рядов Решения уг(х) и уг(х) — линейно независимы на ( — сю, +оо), так как нх определитель Вронского Иг(0) = 1. Следовательно, у = с1у1(х) + сгуг(х), где с1 и сг — произвольные постоянные, является общим решением урав- нения Эйри (2). Замечание. Если в линейном неоднородном уравнении у" + аг(х)у + аг(х)у = 1(х) функция а1(х), аг(х), 1(х) — действительные аналитические функции в точке хо б Лх, то его общее решение тоже находится методом неопределенных коэффициентов аналогично тому, как это проделано для уравнения (2).
Точка хо б В.', в которой функции аг(х) и аг(х) аналитичны, называется обыкновенной точкой уравнения (1). В противном случае точка хо нэзывается особой точкой уравненяя (1). Для уравнения Эйлера х у" +оглу'+ агу = 0 х = 0 — особая точка (здесь аг и аг — числа, не равные нулю одновременно). Уравнение (1) может иметь несколько особых точек. Например, для уравнения Лелшцлра (1 — хг) у" — 2ху' + Ау = О, где А — параметр, точки х = х1 — особые. Прн исследоваяии особых точек уравнения (1) необходимо учитывать и точку х = оо. Именно, если после замены х = —, точка 1 = 0 явля- 1 ется особой точкой преобразованного уравнения (1), то х = оо назывэ ется особой точкой уравненяя (1). Например, х = оо — особая точка для уравнения Эйлера.
Наиболее простым типом особой точки уравнения (1) является так называемая регулярная особая точка. Рассмотрим уравнение (х — хо)~у» + (х — хо)рг(х)у' + рг(х)у = О, где хо б В», рг(х) и рг(х) — аналитяческие в точке хо функции, т.е. они разлагаются в сходящиеся в некоторой окрестности хо степенные ряды р1(х) = ~~,а»(х — хо)» рг(х) = ~ Ь»(х — хо)» Точка хо называется регулярной особой точкой уравнения (5), если отличен от нуля хоти бы один из коэффициентов ао, Ьо, 6н 202 Глава 6. Линейные уравнения порядка и с переменными коэффяциекгамв Например, хо = Π— регулярная особая точка уравнения Эйлера. Оказывается, что в случае регулярной особой точки хо уравнение (5) имеет хотя бы одно решение, представимое в виде обобщенного степенного ряда у(х) = (х — хо) ~ ~с«(х — хо)», со ~ О, который сходится в некагорой окрестности хо, Убедимся в этом на примере уравнения Бесселя хзу" + ху'+ (х — и~)у = О, (б) у =х" ~ с«х", софО.
(7) Поставим формально этот ряд в (6), найдем его коэффициенты и число а, а затем проверим, что найденный ряд определяет решение (6). Подставив ряд (7) в уравнение (6), получаем с»(й+ а)(й+ а — 1)хк" + ~с«(й+ а)х«+'*+ «=о «=о -К (хз — из) ~с»х»+ = О. Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем бесконечную систему уравнений: (аз — из)со = О [(, +цз й] [(а+ 2)з — й] [(а+ 3)з — из] ск =О, от+со = О, со+с« =О, [(а + й)з — из] с» + с» о = О, ИЗ первого уравнения а = хи, так как со гк О. Для определенности в дальнейшем будем считать и > О и рассмотрим сначала случай а = и > О.
где и — действительный параметр. Гочка х = О является для уравнения Бесселя регулярной особой точкой. Всякое нетривиальное решение уравнения (6) называетсн цилиндрической функцией. В общем случае решения (б) нс являются элементарными функциями. Уравнение Бесселя встречается в различных вопросах математической и теоретической физики. Здесь будет получена формула общего решения уравнения Бесселя.
Будем искать решение уравнения Бесселя в виде 16. Решение линейных уравнений с помощью степенных рядов 203 Из второго уравнения тогда с2 = О и, следовательно, озр 1 = О, Чр = 1,2,..., а (-1)все 22в(и+ 1)(и+ 2) .. (и+р)р1' коэффипиент со — произвольный, но с целью упрощения формулы с2 1 Р принято брать со = йгп(,-.;,), где Г(и+ 1) — гамма-функция Эйлера. Используя тот факт, что Г(р+ 1) = р!, Г(и + р+ 1) = (и+ 1)(м+ 2)... (и+ р)Г(и+ 1), получаем, что (-1)в Сзг— 22в+" Г(р + 1) Г(и + р + 1) ' р=1,2,...
С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд (7) с найденными коэффициентами сзр 1 = О и оь, сходится при и > О на всей оси Яв н, следовательно, даат решение уравнения (6). Это решение называется функцией Бесселя первого рода порядка и и обозначается ) (2) 7 (х) Е Г(р + ЦГ( + 1)' (8) в=о Если а = — и ( О и не целое, то аналогичным образом можно построить еще одно решение (6). Оно получается заменой числа и на ( — м) в формуле (8), так как уравнение (6) не меняется при замене и на ( — и): в=о Функция .7 „(х) называетси функцией Бесселя первого ровд порядка (-и).
Если и > О и ие целое, то решения,7„(х) и,7 „(х) линейно независимы, так как их разложения в ряды начинаются с различных степеней х и, значит, тождество при х б Вв с2,7 (х) + с2,7 „(х) ш О возможно лишь при с1 = сз = О. Таким образом, прн нецелом и > О функции,7„(х),,7 „(х) образуют фундаментальную систему решений (6) и функпия Ых) =с2|.(х)+с27-.(х) является общим решением уравнения Бесселя. При целом и = и формула (9) уже непригодна, так как знаменатель может обратиться в бесконечность. Но можно в (9) осуществить предельный переход ь -ь и, так как 1 =О, р=б,и — 1. Г(-и+ р+ 1) 204 Глава б. Линейные уравнения порядка и с переменными коэффициентами При таком предельном переходе первые и членов разложения (9) обра- тятся в нуль н тогда для каждого фиксированного х ( — ЦР Гя ! 2р-ь ( ) ( ) Г( )1( Ц рьв Положив р = и+ пл, отсюда находим, что Это значит, что функции .7„(х) и,У „(х) при целых и являютсв линейно зависимыми и поэтому в этом случае нельзя с их помощью построить общее решение (6).
При целом и второе, линейно пезавясимое решение (б) называется функцией Бесселя второю рода порядка и (или функцией Неймана по- рядка и) н обозначается У„(х), Функцию У„(х) можно найти, например, с помощью формулы Лиувилля — Остроградского. Не останавливаясь де- тально на этом, отметим лишь, что при х -! +О функция Ув(х) обладает следующей асимптотической оценкой: ) свх "(1+ О(1)), и е /!/, 1 со1пх(1+ О(1)], и = О. Отсюда видно, что У„(х) неограиичена в окрестности х = О. Таким образом при целом и общее решение (6) имеет вид Уи(Х) = С! /и(Х) + С21 ь(Х).
В заключенно покажелл, что уравнение Бесселя (6) имеет решения р!я(Х), у2„(Х) таКИЕ, ЧтО Прн Х -4 +Ос соэх / 1 э!их / 1 у4„(х) = — + О ~ — ), уз„(х) = — +О ~ — ) . (10) ,/х ~,/хаз) " — х (,,/хз) В самолл Деле, после замены Рь/х = х пРи х > 0 УРавнспие (6) пРимет виД 4 2=0 Перепишем это уравнение в виде 4 2 ! в+ = —,"щу.(*). Методом варнищи постоянных находим, что х(х) = с!соэх+ сзэ!пх — / э1п(х — () ' /м(~) ' х(~)И~.
Ь 7. Лииейиые уравиеиия с малым параметром при старшей производной 205 Тогда [з(х) — с» созх — сгз»пх! = / з1п(х — () ~„(()з(()Й( < '~"! (()! х Покажем, что з(х) ограничена в окрестности х = +со. Если х > 0 и х б [а,Ь], то существует конечное значение М(Ь) = шах [з(х)!. ее (а,»! Покажем, что М(Ь) ограничено прн Ь -» +оо. Имеем на [а,Ь], что [з(х)! < !с»[+ [от[+~[У~(()! [з(()]~(( < а /1 11 < !с»)+ [сг[+ М(Ь)с ~- — -у» < с < [с»! + [сг! + М(Ь) ' о Выбрав а стапь большим, чтобы -' < «», отсюда получаем, что [з(х)! < [с»! + [сг[+ -М(Ь) 1 нля М(Ь) < 2([с»[+ [сг!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
