1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 39
Текст из файла (страница 39)
г1У з 1. Общие свойства О Рассуждаем от противного. Пусть существует замкнутая траектория у системы (1) в Й. Так как поле скоростей потенциально, то Щх),Их) = О 7 (выбрано направление обхода против часовой стрелки). С другой стороны, при х б у скалярное произведение (Дх),((х)) > О н в силу (1) ~Ь = 1 [у(8)]Ж, где х = <р(1) — периодическое с периодом Т > О решение (1), определяющее траекторию у. Поэтому т )' 0(х),Ах) = / (у [л(с)],~[к(1)]) пс > О. о Получим противоречие. Например, для линейной на плоскости В~ системы Оп лм х = Ах векторное поле Дх) = Ах является потенциальным, если матрица А симметричная.
Значит, линейная система с симметричной матрнцей А не имеет на плоскости замкнутых траекторий. Если изучать структуру фазовых траекторий системы (1) лишь локально, т.е. в некоторой окрестности точки хв б Й, то локальная структура Фазовых траекторий в окрестности каждой обыкновеияой точки системы (1) качественно одинакова. Как сейчас будет доказано, в окрестности таких точек с помощью некоторой замены переменнык фвзовые траектории (1) можно распрямить. Пусть задано отображеяне х = д(у) некоторой области Й евклидова пространства 11,", с прямоугольной декартовой системой координат дм...,д„в область Й евклидова пространства Л" с прямоугольной декартовой системой координат хм...,х„.
Определение, Отображение х = д(д) будем называть гладкой обратимой заменой переменных в области Й, если: 1) х = д(д) взаимно однозначно отображает Й на Й, 2) вектор-функция х = д(д), д б Й, и обратнан к ней вектор-функция у = д '(х), х б Й, являются непрерывно днфференцируемыми соответственно в областя Й и Й, 3) якобиап Д,'-'-'--'-'~~л~ ~ О для клждого д б Й. Заметим, что если х = д(д) — гладкая обратимая замена переменных в области Й, то и д = д ~(х) — гладкая обратимая замена переменных в области Й. Кроме того, ясно, что композяцня гладких обратимых замен переменных также является гладкой обратимой заменой переменных. 218 Глава 7 Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений Следующая теорема называется теоремой го выпрямлении траекторий». Теорема 5. Пугать У(х) — непрерыено ди44ере»щируемая вектор-4ункиия е области й и пусгпь точка а Е й яеляегпся обыкновенной елочкой системы (1).
Тогда найдутся окрестностпь йл точки а и такая гладкая обратимая замена переменных е й„, что е окрестпности йг сисплема (1) примет еид у,=О, »=1,и —— 1 , у„=1, а траектории системы (1) е окрестности Й„перейдут о отрезки прямых у; = ген г = 1, п — 1, у„= 1+ с„, где сы..., с„— постоянные. О Так как а Е й является обыкновенной точкой (1), то у(а) 4 О. Будем считать в дальнейшем, что уп(а) 4 О. Рассмотрим фиксированньгй вектор с с компонентами сн,б„ы а„, где а„— последняя компонента вектора а, из окрестности точки а к й. Возьмем начальное условие х(0) = С рг(О,О=Со '=1,и-1, р (0,0=оп, — = бан дг»г д~ г=о, л=а г =1,и, у =1,и — 1, где б;.— символ Кронекера. Поскольку х = ~р(1,С) — решение (1), то д~р,(0, а) дг Следовательно, якобиан д(~р! 14п) дК "<-1) = ~=о По теореме существования и единственности решения задачи Коши найдется такое е1 > О, что при )г( < ег решение х = уг(г,() системы (1) при этом начальном условии существует и единственно, причем ~р(О,ь) = С Из теоремы о дифференцнруемости решения задачи Коши по начальным данным следует, что х = уг(1,~) — непрерывно дифференциру.
емая функция 1, ~ при (г( < ем (~ — а( < ет, ег > О, ег > О. Покажем, что х = ~р(г,~) определяет искомую гладкую обратимуго за мену переменных в некоторой окрестности 1= 0, ~ = а. С этой целью покажем, что в окрестности 1 = О, с = а применима теорема существования и единственности системы неявных функций. В самом деле, х = ~р(1,~)— непрерывно дифференцируема в окрестности г = О, с = а. Так как з 1. Общие свойства 219 По теореме о системе неявных функций получаем тогда, что существуют и единственны непрерывно дифференцируемые функции в неко. торой окрестности Йь точки а ~; = и,(х), 1 = 1, н — 1, 1 = в(х), которые дают обратное отображение для х = фй~). Введем в окрестно- сти Йь новые переменные у; = щ(х), 1 = 1,п — 1, у„= о(х).
Это гладкая обратимая замена переменных в Й,. При каждом фиксированном ~ при такой замене траектория (1) из Йь перейдет в отрезок прямой у;=~,, 1=1,н — 1, у„=й Меняя ~ б Й, получим семейство параллельных оси у„отрезков. Систе- ма (1) при указанной замене переменны~ примет вид у,=О, 1=То — 1, у„=1. Как будет установлено в следующем параграфе, подобная теорема для положений равновесия автономной системы не имеет места. Поведение фазовых траекторий в окрестности положения равновесия (1) существенно зависит ст типа положения равновесия. Качественную картину поведения фазовых траекторий системь| (1), геометрически изображенную в области Й, называют фазовым портретом системы (1).
Важным для приложений является класс автономных систем (1), для которых величина так называемого фазового объема (определение см. ниже) не меняется при перемещении точек объема по траекториям системы (1). Например, таким свойством обладают линейный осциллятор х+мзх=О, ы>О, и нелинейный осциллятор х+з!пх = О. Если же взять линейный осциллятор с трением й + 2бх .~- х = О, б > О, то для него величина фазового обьема уже зависит от времени.
Докажем теорему Лиувилля, дающую достаточные условия сохранения величины (меры) фазового объема. Пусть х = ч(с,сс,хо) — непродолжимое на всей оси В,' решение задачи Коши (1), (2) и пусть начальные положения хе заполняют при 1 = 8с некоторое измеримое по Жордаиу множество (объем) Ъс с Й с мерой 220 Глава 7.
Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений (величиной) объема )гУо. Обозначим через Уг измеримый по Жордану объем Уг С П с мерой объема дУ» полученный из У> сдвигом за время Ф вдоль фазовых траекторий (1), задаваемых решениями х = ьс((,(е,хо). Множества Уо и У> называют фазовыми объемами. Определение. Задача Коши (1), (2) называется допустимой, если х = (о((,(о,хо) является гладкой обратимой заменой переменных из Уо в У» Теорема 6 (Лиувнлля). Если задача Коши (1), (2) является допустимой и в обласгли й д!ту'(х) = ~ ~— = О, " д~.(х) дх; то на траекториях (1) сохраняется величина фазового обеема, т.е.
>гУО НЪ> дяя всех а О В кратном интеграле сделаем замену переменных х = Эг((,(о, хэ). Это законно, так как по усло- вию задача Коши (1), (2) допустима. Тогда /' /',)д(1 )(дх(о> д (о> где якобиан >(1 ) о((о~ ° 'Р~) хо д( (о) (о) При ( = (с р = хо и поэтому д((о,хо) = 1. Покажем, что 3(ь,хо) = 1. С этой целью найдем Я. По правилу дифференцирования определителей имеем, что д,7 где д, — определитель, полученный из д заменой г-й строки на производ- ную по 1 этой строки: з а з в. и' ~Ь'''%'Ду — г-я строка.
221 3 1. Общие свойства В силу того, что х = щ(с,ге,хо) — решение системы (1), то Жс = ).,и д( ' дх(о) дх(о1 ' дх(о1 ' ~ дх~ дх(о1 ь ы! хь Умножая,у-е (~ зь () строки 7, на в-, просуммкровав их и вычитая из вь 1-й строки, получим .7, = — Х д7, дх, Следовательно, из условия теоремы тогда имеем, что — — '~,7 = 7 О1ч Дх) = О.
ат 7" дЛ1 д( ( дх ~ Значит, ,7((,хо) ш,7((о,хе) = 1 1Ж = /...~( дх,' ...Ах„шило. Г (о~ (> Замечание, Условие йч7(х) = О в области й из теоремы б означает, что векторное поле 7(х) в й является солепоидальным. Если /(х) = Ах, где А — числовая матрица, то йтДх) равна следу матрицы А.
Для гамильтоновой системы уравнений дН(х, р), дН(х, р) х;= др, дх; рч = в фазовом пространстве Яф„~ задача Коши допустима и / д дН д дН~ Жч7(х) = ~~ ~ — — — — — 7( = О. , '(,д, др, др, ' д*,7' = Следовательно, величина фазового объема не меняется при перемещении точек объема по траекториям гамильтоновой системы уравнений. В заключение этого параграфа отметим, что не всегда разумно считать фазовым пространством автономной системы (1) ту область Й евклидова пространства 7~, где определена система (1).
Так, например, при и = 1 для уравнения х = 7(х), 222 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений я+ вшх = О. Таким образом, в качестве фазового пространства системы (Ц может выступать ие только область В,"„но и некоторые многообразия размер- ности 1 < к ( и пространства В". 2 2. Классификация положений равновесия линейной однородной системы второго порядка Рассмотрим линейную однородную систему уравнений х1 =аых1+аггхг, хг = амхг +аггхы (Ц где аы, анм агы агг — заданные действительные числа, 1 б В,.
Очевидно, 1 система (Ц является автояомной. Введем матрицу (аы а1г) аы агг Определение. Линейная автономная система (Ц называется простой, если матрица А — невырожденна. В противном случае система (Ц на- зывается сложной. где Дх) — непрерывно дифференцируемая и перяодическая с периодом 2я на всей оси В,' функция, фазовым пространством удобно считать не В~„а единичную окружность К с направлением движения против часовой стрелки. В этом случае на В1 иег однозначного описания, а на окружности К имеется однозначность описания фазовых состояний системы (Ц. Особенно важно требовать взаимно однозначное соответствие между состояниями системы и точками фазового пространства для автономных систем (Ц, описывающих реальные физические процессы. Пусть теперь и = 2 и вектор-функция 1(хмхг) определена на всей плоскости Вг,, Если г (хг, хг) является по обеим переменным хмхг периодической функцией периода 2к, то целесообразно считать фазовым пространством (Ц не Вг(, Н, а поверхность тора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
