1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Известно, что решения системы (4) определены для всех г б Л»'. Возьмем начальное условие х(О) = хр, (5) где хр — произвольный числовой и-мерный вектор. Обозначим через х(Ф,хр) решение задачи Коши (4), (5), а через Лм...,Л„„1 < т < и,— собственные значения матрицы А. Теорема 1. Если ВеЛэ < 0 дяя всех х = 1,т, то положение равновесия х = 0 системы (4) асими»патически устойчиво. О Если ЕеЛь < 0 для всех к = 1,»п, то Вр > 0 такое, что КеЛь < -2д < О.
Решение задачи Коши (4), (5) имеет вид (см. главу 3): х(М, хр) = еье хр. Покажем, что ЗМ > О такое, что норма матричной экспоненты ))е")) <Ме- ' Ут>0. 244 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных урээненкй Каждый элемент а!.(1) матрицы е!" является конечной суммой квазимногочленов: а (С) ~, Р)ч!)(г)схь! ь=! где Р (г) — многочлены.
Всегда найдется такое число су > О, что для ( д) всех а = 1,гн )РК'"~(г)е"ь!) < с, е "', !гг > О. Тогда ь (х(г,хэ)) < ()егл)! -)хе) = )хэ) ~ ~)а; (г))э < ),г=! < (хе! ° е Я! гп ~ )с )Э вЂ” Мс Яг, )хе! 14=! Из этой оценки видно, что х(г,хе) -э О при г -+ +со Кроме того, х = О— устойчивое по Ляпунову положение равновесия (4), так как при !)г > О, взяв б(с) = ~у, из полученной выше оценки при ~хэ) < б получаем, что )х(г,хо)) < Мб = с. Теорема 2, Если ВеЛэ < О для всех )с = 1,т и для каждого гобои!венного значения А с ВеЛ = О число линейно независимых собственных векторов равно кратности Л, то х = Π— устойчивое по Ляпунову положение равновесия (4).
О Прн условиях теоремы каждое решение задачи Коши (4), (5) задается формулой х(г,хо) = е' хо где элементы ап(г) матрицы сгл имеют вид аб(г) = ~ Рз(ш)(1)е"'+ ~ сье"'. не э<о игл=э В этой запяси: Р ' (1) — многочлепы г, суммирование в первой сумме ве!га) дется по всем Л с ВеЛ < О, с! — числа, выражающиеся через компоненты хэ, суммирование во второй сумме ведется по всем Л с ВеЛ = О.
Учитывая это обстоятельство и действуя как при доказательстве теоремы 1, получаем оценку при всех ь' > О: (х(г, хэ)( < ()егл() . (хо! < М (ха!. Из этой оценки следует устойчивость по Ляпунову х = О, Ф Теорема 3. Если суи)ествует хотя бм одно собственное значение Л матрицы А с ВеЛ > О или если все собстпвсннмс значения Л матрицы А имеют Вс А < О и хотя бы для одного А с Вл Л = О число линейно независимых 245 з 4. Усюйчнвость по Ляпунову положений равновесия собстпвенных вектлоров меньше нратлностли Л, пю х = 0 являстпся неустпоя- чивым полостсением равновесия систпемы (4). О Пусть существует Л = д+ ти с КеЛ = и > О.
Тогда решения (4), (5) х(т,хо) = от т(Ит совм+ Иззшттс), Ит = хо, где И = Ит + тИз — собственный вектор для Л, при $ = ть и в1пиоь = О, получаем, что (х(гь),хо)( = с""(хо( -т +оо, оь -о +со, хотя прн т = 0 и малом (хо) зто решение близко к х = О. Копи же ВеЛ = О, то при условиях теоремы существует решение (4), (5) вида оь-1 *О,.о> = "м (Ь вЂ” .
+ " +,), Ь = *,. 11 (И вЂ” 1)! где Ит,..., Ьь — жорданова цепочка длины И для Л, причем И > 2. Отсюда ясно, что (х(о,хо)( -о +оо прн 1 -т +со, хотя при 1 = 0 и малых (хо( это решение близко к х = О. Ф Теоремы 1 — 3 полностью исчерпывают описание типов устойчивости для системы (4), Из них, в частности, следуют все ранее полученные результаты об устойчивости х = 0 лля системы (4) в случае и = 2. Из доказанных теорем следует корректность здцачи Коши (3), (4) прн 1 > 0 в том случае, когда х = 0 — устойчивое по Ляпунову положение равновесия, и ее некорректность при 1 > О, если х = 0 — неустойчивое положение равновесия. Пусть система (1) является нелинейной и пусть х = О является ее положением равновесия.
Разложим 1(х) в окрестности х = 0 по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано; У(х) = Аа + о()х!), где матрица А= — '~~, т,у =1,п, оЩ) -+О, ф = хз+ +хз -+0. д 5(0) П дху ~~ 1 и Теорема 4 (теорема Ляпунова). Если все собстпвснныс значенил матприцы А имеют отрицательные дейстпвитпельные части, тпо х = 0 являетпся асимптпотпичсски усптойчивым положением равновесия нелиттепной системы (1). О В окрестности х = О систему (1) можно записать в виде х(С) = Ах(1) + т(х), 246 Глава 7.
Нормальные автономные системы лифференциалькых ураввеяяй где т(х) = о(]х[) при ]х[ -+ О. Решение задачи коши (1), (2) в силу предположения в некоторой окрестности х = О определено при )сс > О. Его можно записать в виде х(с) = ес'с хс + / с(с ~)4 . с [х(т)] с)т. а Из доказательства теоремы 1 при условиях теоремы 4 следует, что найдутся такие числа М > О, и > О, что прн всех с > О норма ][е'4[] < Ме "'. Так как т(х) = о([х[) при [х] — с О, то для )сг > О Зб = д(е) > О такое, что из [х] < б слелует [т(х)] < с]х[. Тогда при всех С > О с х(1)[ < ]ес4 ' хо] + Яе(с т)4 ' т [х(т)][с1т < о с < []е'"]] - [хо] + / [[есс ')4[] .
[т [х(т)][6т < о < Мс "' ° [хо[+ сМ / е "О ')(х(т)[с(т. о Если положить и(1) = е"с[х(1)], то отсюда находим, что с и(1) < М]ха[+ еМ ~и(т)с1т. о Функция «(1) удовлетворяет условиям леммы Гронуолла Из леммы Гронуолла следует, что при всех 1 > О и(1) < М[хс[е™ Заменяя и(С) на е"с]х(С)[, получаем для Чс > 0 оценку ] .(1)[ < М] [ -(л- м)с Из полученной оценки следует, что при достаточно малых е > О х(1) -с О, 1-++оо, если фиксировать е > О, положив, например, е = Ду. Кроме того, по выбранному с = уф, взяв б = б(е) = )ес, из оценки получаем, что [х(1)[ < е пря ]хо[ < б для всех 1> О. Замечание.
Если ЕеЛ > О хотя бы для одного собственного значения Л матрицы А, то можно доказать, что х = О является неустойчивым положением равновесия автономной системы (1). Э 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия Определение. Автономная линейная система (4) с матрицей А !~-'й-' ф-' ~! называется лниеаризацией нелинейной системы (1) в точке *1 х = О. Из теоремы Ляпунова и замечания к ней следует, что в том случае, когда все собственные значения Л матрицы А имеют ЕеЛ < 0 или когда существует Л с ВеЛ > О, тип устойчивости х = 0 для системы (1) определяется типом устойчивости х = 0 для линеарнзации (1) в этой точке.
В этом случае х = 0 называют грубым цаложением равновесия. Открытым остается случай иегрубого положения равновесия х = 0 для (1), когда все Л имеют ВеЛ < О, причем хотя бы одно Л имеет РлЛ = О. Примеры в этом случае показывают, что метод линеаризацни теряет свою силу, так как на тип устойчивости х = 0 для системы (1) существенно влияют последующие нелинейные члены разложения 1(х) по формуле Тейлора в окрестности х = О. Таким примером может служить пример 2 из предыдущего параграфа, в котором х = 0 является центром для лииеарнзацни, в то время как х = 0 является фокусом для нелинейной системы.
Случаи негрубого положения равновесия системы (1) исследуются так называемым вторым методом Ляпунова. Этот мегод создан А.М.Ляпуновым и основан на применении так называемой функции Ляпунова. Преимуще. ство этого метода в том, что он не использует явной формулы траекторий системы (1). Определение 1.
Пусть 1г(х) — непрерывно дифференцнруемая функция в области П. Производной уг(х) в силу автономной системы (1) называ.- ется скалярное произведение (ягаг1)г(х),1(х)) и обозначается через У(х): гг(х) = (бгад г (х), Х(х)), х е Й. Пусть х = 0 — положение равновесия автономной системы (1) и пусть У вЂ” некоторая окрестность х = О, У С й. Определение 2. Функция )г(х), непрерывно диффереицируемая в окрестности У, называетсн функцией Ляпунова системы (1), если И(х) > 0 для всех х Е У)(0), )г(0) = О, и ее производная в силу системы (1) У(х) < 0 для всех х Е У.
Замечание. При выполнении условий определения 2 говоряц что в окрестности У функция 1г(х) является положительно определенной, а функция у(х) является неположительной. Лемма. Пусть х Е У, — некоторой окрестностли х = 0 и пусть У1 С У. Тогда )х! -г 0 а том и только том случае, когда 1г(х) -г О.
248 Глава 7. Нормальные автономные системы лнфферевцлвльных уравнений О Если [х[-г О, то из определения функции Ляпунова сразу следует, что У(х) -+ О. Теперь наоборот, пусть У(х) -+ О. Покажем, что [х[-+ О. Предположим, что зто неверно. Тогда найдутся последовательность хл й У~ н число 6 > 0 такие, что [хе[ > б. Фиксируем такое а > О, что шар [х[ < а принадлежит Уы Положим Уе = 1пГУ(х) прн б < [х~ < а. 'Гак как множество тех х б Ум для которых б < [х[ < а, компактно, то найдется такой х б Ум 6 < [х[ < а, что У(й) = Ус. Следовательно, ие > 0 и У(хл) > Уе > О.
Это противоречит выбору последовательности хы ° Теорема $. Если в некоторой окрестности У полаженил равновесия х = 0 системы (1) сущесглвует функция Ляпунова У(х), тло х = О является услюйчивмм по Ляпунову по ьохсением равновесия автономной системы (1). О Зададимся таким е > О, чтобы шар [х[ < е лежал в окрестности У. Положим У, = 1п1 У(х). йбкл Так как У(х) — положительно определенная, то У, > О. Кроме того, найдется 0 < 6 < такое, что У(х) < У, для всех х, у которых ~х[ < б.
Рассмотрим любое решение х(1,хе) системы (1) при [хо[ < б и покажем, что ~х(1, хе)[ < е для всех г > О, т. е. что х = 0 — устойчиво по ляпунову. Рассуждаем от противного. Пусть зто не так. Тогда найдется такое Т > О, что [х(Г,хе)[ = е и [х(е,хс)[ < е при 0 < С < Т. Так как У(х) < О для всех х й У, то У[х(г,хс)) является невозрастающей функцией 1 к [О,Т[. Поскольку У(хо) < У„то тем более У [х(Т,хо)) < У(хе) < Уо Это противоречит выбору Т > 0 н Ъ;.
Такам образом, предположение неверно и х = 0 устойчиво по Ляпунову, Замечание. В частности, теорема 5 имеет место, если У(х) = 0 в окрестности У. Это означает, что функция Ляпунова У(х) имеет прл х = 0 строгий минимум. Теорема й. Если в некотлорой окрестности У положения равновесия х = 0 системы (1) суи1ествует такая функция Ляпунова У(х), что У(х) < 0 для всех х й У[(0) (т. е.
У(х) — отрицательно определенная функция в У), то х = 0 является аси.мптлотически усгпойчивмм положением равновесия авглономной системы (1). О Поскольку выполнены условия теоремы 5, то х = 0 — устойчивое по Ляпунову положение равновесия (1). Следовательно, Че > 0 найдется 6 = 6(е) > 0 такое, что если только [хе[ < б, то для каждого решения х(1,хе) системы (1) нри всех 1 > 0 [х(цхе)( < е. 249 44. Усгойчимкть по Ляпунову положений равновесия Убедимся, что 1пп х(С,хе) = О. В силу леммы достаточно показать, что неравенство )хэ[ < б влечет за собой У [х(С,хе)] -э 0 нри С -э+оо. Так как У(х) < 0 в 11, то У[х(С,хе)) — строго убывающан функция С.
Пусть 1пп У,'х(С,хе)) = А. Покажем, что А = О. Предположим А > О. Так как ьч+се У[х(С,хо)] > О, то в силу леммы найдется такое еС > О, что при С > 0 сс < ]х(С,хэ)) < сг < г. Пусть — Сп( ( — У(х)). я! 91Х1йм Тогда Уг > 0 и, так как У(х) < — Ум то, интегрируя это неравенство вдоль траектории от С = 0 до С, получаем У [х(С, хе)] — У(хо) < — Ус с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
