1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Отсюда следует, что У[с(С,хо)] -е -оо при С э +со. А это противоречит тому, что У[х(С,хэ)) > О. Полученное противоречие доказывает теорему, Недостаток второго метода Ляпунова и том, что не существует общего конструктивного способа построении функции Ляпунова У(х) для проязвольиой автономной системы (1). Тем не менее для ряда важных классов систем (1) такое построение возможно. В простейших случаях функцию У(х) можно искать в виде линейной комбинации с положительными коэффициентами четных степеней хихг, .,х„, в частности, в инде положительно определенной квадратичной формы. Пример 1. Исследовать устойчивость положения равновесия (0,0) для системы хс = -хг — х„ < з Х2 = ХС вЂ” Х2. С1 Для линеаризации этой системы в начале координат получаем, что (0,0) — центр.
Следовательно, применить теорему 4 нельзя к заданной системе. На для этой системы в качестве функции Ляпунова можно взять У(хмхг) = хс +хг, 2 2 поскольку при ]х[ > 0 У(хмхг) > О, У(хмхг) = — 2х~с — 2хг ~< 0 и У(0,0) = У(0,0) = О.
Поэтому, по теореме 6 начало коордииат— асимптотически устойчивое положение равновесия заданной автономной системы. А 2ЬО Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений Пример 2. Исследовать устойчивость положения равновесия (О,О) для системы < хг = — хг, з хз = -х, (хг + ~йхз) . с1 Матрица лииеаризации этой системы в начале координат является нулевой и поэтому теорему 4 применить нельзя. Если же в качестве функции Ляпунова взять функцию У(хг,хз) = хз + 2хвзи то У(хг,хз) = — 2хг(хг+ха) < О. Следовательно, начало координат для заданной системы являетгл устойчивым по Ляпунову положением равновесия. дг Переходим к рассмотрению достаточных условий неустойчивости положения равновесия х = О для системы (1) Теорема т. Пусть в окрестности У положения равновесия х = 0 системы (1) существует гпакая непрермвгго диффсреггг4ирусмоя функг4ия У(х), чгпо У(0) = 0 и У(х) — полоокигпельно определенная функция.
Если существует число А > 0 и токае подобласть Уа окрестности У, что У(х) > А для всех х е Уа, то х = 0 является неустойчивым полоогсением равновесия. О Вудем рассматривать решения х(е,хо) системы (1) с иачальиым значением хо й Уо. Если предположить, что х = 0 — устойчивое по Ляпунову положение равновесия, то для Че > 0 Вб = б(е) > 0 такое, что при всех Е > 0 )х(с,хо)) < е, если только )ха) < б. Возьмем хо а Уе такое, что У(хе) = А. Так как У(х) > 0 для х уе О, то У[х(е,хо)) > А для достаточно малых 1 > О.
Убедимся„что У[к(г,ха)] > А для всех г > О. Допустим противное, что Вег > О такое, что У [к(гг,хе)] = А. Тогда, с одной стороны, У[х(сг,хо)) — У(хо) =О, а с другой сттгроны, по теореме о среднем Ы к (0,1г), что У[х(анхо)) — У(хо) = 1' [х(Х,хе)] 1г > Вег > 0 для некоторого В > 0 в силу положительиой определенности У(х). Противоречие приводит к выводу, что У [я(егхс)) > А для всех 1 > О.
Но тогда для всех Е > 0 У [х(1, хо)) — У(хо) = У [х(1", хам 1 > Ва Отсюда следует, что У(х(г,хо)) -е +ос при 1 — г +оо. это противоречит ограиичепиости У [к(е,хс)), которая получается из предяоложеиия об устойчивости по Ляпунову х = О. Ф 251 'з Ь. Первые интегралы Пример 3.
Исследовать устойчивость начала координат для системы < х~ =х, +хз, з хз = — х1+ хе з Ь Так как в качестве функции У(хпхз) можно взять У(хмхз) = х~1 + хэ~, поскольку 1г(хмхз) = 2(х4+ хэ~) > 0 при [х~ > О, то (0,0)— неусгойчивое положение равновесия системы. Отметим, что к заданной системе нельзя применить замечание к теореме 4. А Замечание.
Для неавтономных систем надлежащим образом можно модифицировать определение функции Ляпунова и доказать аналоги теорем 5-7, З5. Первые интегралы Пусть в области П < В„" задана автономная система х(1) = у(х), где 1 Е В(, у(х) — заданная действительная непрерывно дифференцируемая в области й вектор-функция с п компонентами Л[х), >1в(х). Пусть х = ~р(1) — решение системы (1) при 1 Е Х, где Х вЂ” промежуток осн Аг~.
Определение. Непрерывно дифференцируемая в области П функция и(х) называется первым интегралом автономной системы (1), если и[у(Г)) е сопэс для каждого решения х = у(1), 1 Е Х, системы (1). Постоянная в этом определении зависит от решения (1) и ее нетрудно найти. если решение х = ~р(1) определяется начальнымн данными (О,хс), т. е. 1с(0) = хе Е й, то, очевидно, и [1э(1)) ш и [1р(0)) = и(хс).
Таким образом, значение и[1э(Г)] зависит лишь от выбора траектории системы (1) н не зависит от переменной й Тривиальным примером первого интеграла системы (1) служит функция и(х) = сопэн Для получения нетривиальных примеров первых интегралов (1) необходимо иметь критерий первого интеграла (1). Чтобы его сформулировать, напомним понятие производной функции и(х) в силу системы (1), которое уже было введено в з 4. Определение. Пусть н(х) — непрерывно дифференцнруемая функция в области й. Производной и(х) в салу автономной системы (или производ- 252 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнения ной и(х) по направлению векторного поля Дх)) называется скалярное произведение (~(х),йгЫи(х)) н обозначается через и(х): ч и(х) = Щх),яга11и(х)) = ~ Д(х) у=! Замечание. Производная О(х) является обобщением понятия производной функции и(х) по постоянному направлению 1, [1[ = 1, на случай переменного векторного поля Дх) и характеризует монотонность измене.
пня и(х) вдоль феновой траектории (1). Теорема 1. Непрерывно дифферениируеягая в й функц«я и(х) явяяегпся первым интегралом сисглемм (1) в !лом и только в тояг случае, когда и(х) = О дяя всех х б Й. О пусть х = 22(г), 1 б х, некоторое решение (1) и пусть «(с) = и[1р(Ф)), 2 б Х.
Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получаем, что для всех 1 б Х «(1) = ~~~ ° фг(2) = ~~~ Л(х) = и(х). ди [22(С)) " ди(х) дху 3 1 дху Если и(х) — первый интеграл (1), то по определению «(!) ш сопя! для ка ждой траектория х = !о(г) в й. В силу предыдущего равенства тождество «(г) ж сопзг эквивалентно условию, что и(х) = О для каждого х = 22(1), 2 б Х в й. Так как по теореме существования и единственности решеяяя задачи Коши для (1) через каж,аую точку х б Й проходит некоторая траектория (1), то и(т) = О, Чх б Й. Наоборот, если и(х) = О в Й, то «(2) = О и, значит, и(х) — первый интеграл (1).
Пример 1. Найти первый интеграл системы Х! =Хз, Хг = — Х!+Х . з 4.'2 Перемножив крест накрест уравнения системы, получим ( — х1+ х!)х! = х2х2. з . Отек!да '(! 2 1 4 2! — ~х — -х1 + х у! = О де~ 2 (= 2 ! 4 2 х1 — -х! + хг — — с.
2 В силу теоремы 1 и(х1,хз) = хз — 21хе+х2 2являегся первым интегралом заданной автономной системы, так как и(х1,хг) = О. й 253 1 б. Первые интегралы Самое простое применение первого интеграла и(х) системы (1) основано на связи, существующей между поверхностями уровня и(х) (поверхности уровня функции и(х) определяются уравнениями п(х) = сопзс) и траекториями системы (1). Нз определения первого интеграла следует, что каждая яз траекторий х = 1с($) системы (1) в области Й расположена на одной из поверхностей уровня первого интеграла и(х). В случае п = 2 вместо поверхностей уровня речь идет о линник уровня первого интеграла и(х) системы (1). Для практических приложений важен обратный вопрос, будет ли всякая линия уровня первого интеграла (1) при и = 2 траекторией (1) или ее частью. Нетрудно видеть, что ответ иа этот вопрос в общем случае отрицательный.
В самом деле, линия уровня может быть не гладкой кривой, может распадаться на несколько отдельных не связных между собой кривых, может содержать в себе положения равновесия (1). Все это невозможно для траектории (1). Однако, если кривая у — гладкая, не содержит в себе положений равновесия и является частью или всей линией уровня первого интеграла и(х) системы (1) при п = 2, то т — траектория или ее часть системы (1). Действительно, если кривая т задается уравнением Г(хмхз) = О, то кгас~Р'(хмхз) ~ О для точек г. Так как п(хмхз) — первый интеграл (1), то и(хмхз) = О. Значит, вектор 1(хыхз) Л йгаби(хыхз). Поскольку на у нет положений равновесия, то ((хмхз) ф О в точках у. Значит, 1(хмхз) является касательным вектором к т.
А это и означает, что т является либо траекторией, либо ее частью. Таким образом, с помощью линий уровня первого интеграла системы (1) прн и = 2 в ряде случаев можно получить глобальный фазовый портрет системы (1). Например, это можно сделать для системы примера 1, для линеаризации которой начало координат является центром. Рассмотрение первых интегралов — это один из основных методов нахождения фазового портрета автономяой нелинейной системы (1) при и = 2 в том случае, когда ее линеаризация имеет центр или является сложной системой.
Заметим теперь, что при гладкой обратимой замене переменных х = д(у) в области Й автономная система (1) перейдет в автономную в области Й систему вида у(1) = Л (р) ж [д'(у)3 (д(р)) (2) где д'(у) = [)4Ф ~, 1,1 = 1,п,— матрица Якоби. -ю Система уравнений (2) следует из системы уравнений х ж д'(р) . р = У (д(р)) которую можно разрешить относительно у, поскольку для гладкой замены якобиан беСд(у) = ФО, убй. д(ум..., рв) 254 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений Теперь посмотрим, как связаны первые интегралы систем (1) и (2), Теорема 2. Непрерывно дифференцируемая в области Й функция и(х) является первы и интегралом систаемы (1) тогда и только тогда, когда функция У(у) = и [д(у)] — первый интеграл системы (2) в обласгаи Й. 0 Достаточно установить, что при гладкой обратимой замене х = д(у) проязводнвя в силу системы инвариантна, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
