1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Проверим дая системы (7) выполнение условий теоремы о системе неявных функций. Все функции в системе (7) непрерывно дифференцируемы в окрестности У. Осталось показать, что якобиан д(и[,. ", иа-[, д) д(х[,..., ха) мо Рассуждаем от противного. Пусть якобиан равея нулю. Так как первые (и — 1) строк якобиана линейно независимы, то в гаком случае последняя его строка линейно зависит от его первых (и — 1) строк. Следовательно, найдутся числа с[, 1 =1,п — 1, одновременно не равные нулю, такие, что дд(м.) "=.' а,(м,) дхз [ ахз' Поэтому в силу того, что щ(х), 1 = 1,п — 1 — первые иптегравы (4). ~(ма) =, '1(ма) „ дд(ма) з=[ з=[ аи,(М,) [=1 з=! дх. у аз(Ма) ~ ~с[— дщ(ма) дхз «-1 = ~с[и[(ма) = О з 1. Линейные однородные уравнения с другой стороны, у(мс) 14 О, тик как по условию теоремы мс е 7 не является карактеристнческой точкой (1).
Противоречие, Поэтому в окрестности )г выполнены все условия теоремы о системе неявных функций и система уравнений (7) допускает в окрестности У единственное непрерывно дифференцируемое решение х = ы(им...,и 1). Для всех х Е у С 'г функция у(х) = у[ы(им .,и г)] ш Ф(иы...,и„-1) является известной непрерывно дифференцируемой функцией им..., и„п По построению отсюда следует, что и(х) = Ф[и~(х),...,и„1(х)] является искомым единственным решением задачи Коши (1), (5) в окрестности У, так как и(х) — первый интеграл (4) и удовлетворяет яачальному условию (6). Пример 1. При х > О найти обшее решение уравнения х — +(х + х) — + (х +у) — = О 2 и 2 дх ду дг и решить задачу Коши при начальном условии и[ =1=у 2 2 Ь Характеристическая система для заданного уравнения х=х, у =х~+х, и =хе+у, при х > О имеет два независимых в каждой точке первых интеграла.
Найдем ик. Возьмем первое уравнение системы и уравнение, полученное вычитанием из второго уравнения третьего уравнения: < х=х, у х=л у. Перемножая крест-накрест эти уравнения н отбрасывая <й, получаем уравнение вида (з — у)дх = х4(у — л). Это уравнение дает решения х(г — у) = с1 и, следовательно, функция и1 (х, у, х) = х(х — у) 268 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частиык производных является первым интегралом. Еще один первый интеграл найдем, если возьмем первые два уравнения характеристической системы, где х = у+ ы. Имеем < х=х, у= у+х + -~'. Перемножив крест-накрест эти два уравнения и отбрасывая от, получаем линейное уравнение первого порядка относительно у: с11 х Ыу = (у + х~ + — ) «(х.
Его решения задакттся формулой т с! у = сзх+х 2х Подставляя вместо с~ выражение х(з — у), находим отсюда еще одяи первый интеграл характеристической системы у+ х — 2х г из(х, у, х) = 2х Нетрудно проверить по определеняю, что и1(х,у,в), ит(х,у,х)-независимые первые интегралы в каждой точке при х > О. Следовв. тельно, общее решение заданного уравнения в окрестности каждой точки полупростраиства х > О имеет вид у+ х 2хг) и(х,у,х) = Р' х(з — у), 2х где Р(~м ~з) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Для решения задачи Коши составляем систему уравнений х(х — у) = им и+~-2~ х=1, и выражаем начальное значение (у — зз) через им ит. Из втой системы находим, что х — у~ = 2и1(из+1). Следовательно, решением задачи Коши будет и(х,у,х) = (у — «)(у+ я+2х — 2хз). Следующий пример показывает, что при невыполнении условий теоремы 2 решение задачи Коши (Ц, (6) может не существовать или быть не единственным. 269 з 1. Линейные однородные уравнения Пример 2.
Решить задачу Коши ди ди — + — = О, и(Х,у)[ си = ср(Х). дх ду Ь Характеристическая система дает первый интеграл ис(х,у) = х — у и, следовательно, и(х,у) = Дх — у), где Р((') -произвольная непрерывно дифференцируемая функция, есть общее решение заданного уравнения. Так как у = х — характеристика, то условия теоремы 2 не выполняютси. Из начального условия находим, что Р(0) = 1о(х). Следовательно, при ос(х) ы сопят множество решений задачи Коши задается функцией и(х, у) = Р(х — у), где Р(0) = сопзц т.е. решение существует, но не единственно. Если же ср(х) Ю сопзц то иет решений задачи Коши. 1 Заметим также, что если задать начальное условие не иа характеристике, например, взяв и(х,у) = ср(х) при у = *-, где функция Оо(х) является только непрерывной, то такая задача Коши не имеет решений, поскольку решение задачи Коши задается функцией и(х,у) = ср(2х — 2у), которую нельзя дифференцировать.
Замечания. 1) Решение задачи Коши (5), (6) в окрестности нехарактеристической точки Мо й у дается формулой с и[с)с(С,х)] = ср(х) + / 1с[ср(г,х)]с(т, о где сСс(1,х) — го решение характеристической системы (4), которое удо- влетворяет начальному условию Ф(О,х) = х 6 у. Эта формула получается заменой переменных вида уу = сс,(х), где и.(х), у = 1,п — 1, независимые первые интегралы системы (4), в окрестности Мо 6 у. 2) Для задачи Коши (1), (6) люжно ввести понятие,корректности задачи Коши аналогично тому, как зто делается для задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При 22О Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных условиях теоремы 2 можно установить, что задача Коши (1), (6) является корректной.
В частности, решение задачи Коши (1), (6) непрерывно зависит ог начальных данных. Коли же рассматривать уравнение (1) с комплекснозначиыми коэффициентами ау(х), у' = 1,о, то непрерывной зависимости решения задачи Коши (1), (6) от начальных данных может уже и не быть. В этом можно убедиться на следующем примере. Пример 3. Рассмотрим задачу Коши дн ,ди мв — + а — = О, и!а=а = — ег"*, д$ дх ' и где и Е гт, а — мнимая единица.
Нетрудно убедиться, что единственным решением этой задачи является алг па ип(х, Г) = — еалг . епг. га Следовательно, при и -а оо )ил(х,г)( -+ со при Г Ф О, несмотря на то, что (и„(х,О)) — а О. Начальное условие (6) не является единственно возможным условием, определяющим конкретное решение уравнения (1). Как н для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнения (1) можно задавать граничные условия и изучать соответствующие граничные задачи.
Решение таких задач уже не опирается на формулу общего решения (1) и исследуется другими методами. Приведем пример. Пример 4. Найти решение уравнения ди ди — + а — = О, а Ф О, х Е ( — аг, аг), у 6 (О, 1), дх ду удовлетворяющее условиям в~в=-в = ~4*=в н(тно = уа(х) где р,. — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция на (-т,т), для которой Еа( — аг) = Еа(т), еа'( — аг) = ар'(т). гз В отличие от предыпущего в этом примере удобно считать и(х,у) — комплекспозначной функцией. Из условий на р(х) следует, что ее ряд Фурье +во 1 Г р„е'"', р„= — / еа(х)е а"*4х, и = О, т1, ~2,... 2т / л=-оа Ь 2. Квазнлвиейиые уравнения и почленно проднфференцированный ряд равномерно на [ — я,я) сходятся соответственно к ~р(х) и ~р'(х). Будем искать решение поставленной задачи в виде и(х,у) = ~ и„(у)е' Формальная подстановка этого ряда в заданные уравнение н допол- нительные условия дает, что (у) = у е °, п = О, Ы, ~2,.
Используя свойства коэффициентов Фурье 1а„функции у(х), можно установить, что сумма ряда +со ~в(» — ~) «=-оо в является непрерывно дифференцируемой функцией н дает решение рассматриваемой граничной задачи. м Е 2. Квазилинейные уравнения Пусть С вЂ” область пространства В"~~~1 с прямоугольнымн декартовыми координатами х = (хм...,х„), и, где и > 2.
В области С рассмотрим квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка а (х,и) — = Ь(х,и), а (х) у=! дху аз(х,и) и'О, Ч(х,и) б ГУ. 1=1 (2) Если ввести вектор-функцию а(х,и) с компонентами а1(х,и),...,а„(х,и), то с помощью скалярного произведения уравнение (1) сокращенно записывается так: (а(х,и),ятей и(х)) = Ь(х,и). (3) Определение.
Автономная система < х(г) = а(х,и), б(8) = Ь(х,и), (4) где ау(х,и), у = 1,п, Ь(х,и) — заданные непрерывно дифференцируемые функции в области С, для которых йтг Глава 8. Дифференциальные уравнения э частных производных называется характеристической системой уравнения (1), а траектории си- стемы (4) называются характеристиками уравнении (1). Условие (2) ознюгает, что область С не содержит положений равновесия системы (4), Кроме того, в области С выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы (4).
На примере уравнения (1) с двумя независимыми переменными укажем связь между характеристиками и интегральной поверхностью уравнения (1). Напомним, что интегральнаи поверхность уравнения (1) — это график решения уравнения (1). Рассмотрим уравнение ди ди а(х, у, и) — + Ь(х, у, и) — = с(х, у, и), дх ' ' ду (5) где а(х,у,и), Ь(х,у,и), с(х,у,и) — заданные непрерывно дифференцируемые функции ~Ь некоторой области С С гг( „.
В каждой точке М й С уравнение (5) задает векторное поле 1(М) = (а(М),Ь(М),с(М)). Пусть интегральная поверхность уравнения (5) задаегся уравнением и = и(х,у]. Если точка М лежит на интегральной поверхности, то вектор п(М) = ~-йА-м-'— -у-,— 5»-, — 1) направлен по нормали к поверхности в точке М. ВекЕЫМ1 ЕЫМ1 торы 1(М) и п(М) ортогональны, так как уравнение (5) означает, что (1(М),п(М)) = О, 'эМ б С. Таким образом, вектор 1(М) лежит в касательной плоскости в точке М интегральной поверхности уравнения (5). Очевидно, что верно и обратное утверждение.
Если непрерывно днффереицируемая поверхность и = и(х,у) в каждой своей точке М касается вектора 1(М), то эта по. верхность является интегральной для уравнения (5). Следовательно, и характеристика, и интегральная поверхность, проходящие через точку М, касаются вектора 1(М). Геометрически это значит, что всякая интегральная поверхность уравнения (5) есоткана» из характеристик уравнения (5). Более точно справедливо следующее утвержде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
