1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Найти интегральную поверхность уравнения ди ди — — = 4и, дх ду проходящую через кривую, заданную уравнениями х=О, у=т, и=т, тбЯт, ! причем р(т) д(т) = 4и(т), и(т) = р(т)х(т) + д(т) . у(т). Ь Из условий на р(т) и д(т) находим, что р= 4т, Характеристическая система имеет вид х(1) = д, у(1) = р, р(1) = 4р, д(з) = 4д, и(1) = 2рд. Ее решением будет и сг ы д = сге, х = — е + сз, 4 сзсг зс и = е + сз. 4 р= сге с1,н у= — е +сз 4 Используя начальные условия х(~-о = О у!з=о = т, иЬ=о = т рЬ=о = 4т, 4 6=о = 1, находим, что сз = 4т, сг = 1, сз = -„-, сз = сз = О. Тогда х(з,т) = 1сн — 1, у(з,т) = тезо, и(з,т) = тезз, р(с,т) = 4теи, д(г,т) = е4~. Отсюда находим решение в явном виде и = (4х + 1)у. Определение. Уравнение Ф(х,у,и,а,6) = О, где Ф вЂ” заданная непрерыв.
но дифференцнруемая функцив своих переменных, а н 6 — независимые произвольные постоянные, определяюгцее неявно решение и = и(х, у,а,6) уравнения (1), называется полным интегралом нелинейного уравне. ння (1). Лагранж показал, что все решения уравнения (1) могут быль Если условия теоремы не выполнены, то решение задачи Козин (1), (5) может либо не сущесгвоватьч либо быть не единственным. Об этом свидетельствуег пример 4 из предыдущего параграфа. Отметим, что при условии дважды непрерывно днфференцируемостн Р в теореме доказано существование дважды непрерывно дифференцируемого решения задачи Коши (Ц, (5). Это по существу дела. Если функция Р только непрерывно дифференцнруема, то даже для аналитических начальных данных пе всегда существует решение задачи Коши (1), (5), являющееся непрерывно днффсренцируемой функцией.
Другой метод решения задачи Коши (1), (5) основан на понятии полного интеграла уравнения (1). 13. Нелинейные уравнения получены нз полного интеграла (1) путем вариации постоянных а н Ь (см. [41]). Для нахождения полного интеграла уравнения (1) чаще всего применяется метод Лагранжа — Шарпи (об этом см. [4Ц). Перечислим некоторые простые случаи уравнения (1), когда нахождение полного интеграла (1) не вызывает затруднений.
1) Если Г ьн Р(р,е), то полный интеграл (1) имеет вид и = ах + ср(а)у + Ь. 2) Если Е ж Р(и,р,4), то полный интеграл (1) имеет вид и = Ф(ах + у) а, Ь). 3) Пусть в уравнении (1) переменные разделяются, т.е. «(х) у и Р)Ч) = Л(х)Р) 12(у ч). Тогда, если р = Зэ1(х,а) и 4 = З)з(у,а) — соответственно решения у~(х,р) = уз(у,у) = а, где а — произвольная постоянная, полный интеграл (1) имеет вид и = / у)1(х,а)дх+ ~у)з(у,а)ду+Ь. 4) Если г' гв и — рх — йу — ((р,д), то его полным интегралом является и = ах + Ьу + у (а, Ь). Зная полный интеграл (1), можно найти характеристические полосы (1), т.е. решить характеристическую систему (2), (3). Упражнения к главе 8 1. Найти общее решение и решить задачу Коши: ди ди ди а) (у — «) — + (х — ») — + (у — х) — = О, дх ду д« и=2(х — у) при х — «=2у (у>О). ,ди,ди ди б) хе' — — 2уе' — + (2у — х) — = О, и = -вт при у = — х (х >О).
дх ду д» 2. Найти интегральную поверхность уравнения д« д« х — +у — = « — ху, дх ду проходящую через кривую х = 2, « = 1+ уз. 3. Найти интегральную поверхность уравнения д« д» (х — у) — + (х + у) — = », дх ду проходящую через крипую х = сов д у = э1п 1, « = й аве Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных 4. Решить задачу Коши: ди ди ди а) х+ у — = — —, и = х при у = О. ду дх ду' /ди'~ ди б) ~ — ( +у — =О, и=х при у=1. ~д*( ду 5. Решить уравнение ди ди — =о —, дх ду' используя замену переменных х~ = х, у~ = и, и1 = у, Глава 9 Основы вариационного исчисления ч Введение Известно, какое важное значение для развития классического анализа функций одной или нескольких переменных имели задачи на отыскание экстремумов диффереицируемых функцяй.
Однако еще с давних времен известны задачи на экстремум, которые нельзя отнести к задачам конечномерного математического анализа. Древнейшей такой задачей считается классическая изопериметрическая задача: среди плоских гладких замкнутых кривых заданной длины найтк кривую, ограничиваюшую наибольшую площадь.
Над этой проблемой размышляли греческие философы еще в Ъ'-1У вв. до н.э., в том числе и знаменитый греческий философ Аркстогель. Им было известно, что такой кривой является окружность. В качестве другой задачи на экстремум, не относящейся к классическому математическому анализу, слеэуег назвать задачу о брахистохропе — линии быстрейшего ската, которую в 1696 г. поставил известный математик Иоганн Бернулли, В этой задаче требуется найти гладкую линию, соединяющую две заданные точки А и В вертикальной плоскости, не лежащие на вертикальной прямой, по которой под действием силы тяжести материальная точка скатится из А в В в кратчайшее время 1см.
рис. 1). Ряс. 1 Оказалось, что линией быстрейшего ската не будет отрезок прямой, соединяющей точки А и В, как это могло показаться, а такой линией будет дуга циклонды (см. З 1). С 1696 года началось систематическое развитие классического вариационного исчисления.
Общие методы решения задач вариационного исчи- 290 Глава 9. Основы вариэционного исчисления слеиия разработаны Л. Эйлером, Ж. Лагранжем, К, Якоби, А. Лежандром, К.Вейерштрассом, У. Гамильтоном, Д,Гильбергом и др. Чтобы определить предмет вариациониого исчисления, рассмотрим действительное линейное пормироваппое пространство г с нормой [[у[! элементов у Е 'г. Тогда функции р(х у) = [[у — х[! определяет расстояние межлу элементами у,г Е г, т.е. пространство )' является метрическим пространствам с метрикой р(х,у).
Например, в линейном нормированном пространстве С[а,Ь] всех действительных непрерывных па [а,Ь] функций норма [М(х)[[С(а,ь! = гаах [Ьа(х)! ае(а,ь! задает метрику в этом пространстве. Примером линейного нормированного пространства является также пространство Ос[а,Ь] Ь раз непрерывно дифференцируемых действительных функциЯ Ьа(х) па [а,Ь] с нормой ]]Ч'(х)][са(,,ь! = глах [р(х)! + ~', гааз [рЬЛ(х)! аЕ(а,Ь! ая(а,ь! Пусть М вЂ” иекоторое множество элементов пространства г и пусть Л вЂ” множество всех действительных чисел. Определение. Отображеиие Р: М ь В называется функционалом Р(у) с областью определения М. Итак, на множестве М пространства г задан функционал л(у), если каждому элементу у б М по правилу г' поставлено однозначно в соответствие некоторое действительное число.
Например, определенный интеграл 1(у)=/у(*) *, — ( <Ь<+ а рассматриваемый на множестве функций М = (у(х) б Ца, Ь]: у(а) = А, у(Ь) = В), где А и  — заданные гисла, является функционалом с областью определения М в пространстве С[а,Ь]. Если у(('„~з) — непрерывная функция на всей плоскости Ес, С,! с декартовыми прямоугольными координатами ~ь,~з и а, Ь (а < Ь) — некоторые заданные числа, то другим примером функционала валяется 1(у) = у[у(а),у(Ь)], заданный иа множестве М = ь.'[а,Ь]. з 1.
Простейшая вариапионнал задача Классическое вариационное исчисление изучает общие методы нахождения экстремумов функционалов, являющихся, как правило, некоторыми интегралами, заданных в определенных функциональных пространствах. Как мы позже увидим, функционалы интегрального типа встречаются во многих задачах математики, механики и физики.
Поэтому методы варнационного исчисления широко используются в классической механике, математической физике, квантовой механике, механике сплошных сред н полей и в других разделах науки. Отметим, что вариационное исчисление является разделом дифференциального исчисления в бесконечномерных пространствах К и не является разделом классического анализа. Например, задача о брахистохроне не относится к конечномерному анализу, так как в ней должны сравниваться друг с другом все гладкие кривые, проходящие через заданные точки А и В, т.е.
бесконечномерный объект. Таким образом, классическое варнационное исчисление является составной частью общей теоркн экстремальных задач для функционалов в бесконечномерных пространствах. Кроме классического вариационного исчисления, теория экстремальных задач в качестве своих разделов содержит также математическое и линейное программирование, оптимальное управление. Теория экстремальных задач интенсивно развивается и в настоящее время (см. [10[, [14]).
В настоящей главе будут изложены элементы классического вариационного исчисления. Значения всех функций в этой главе предполагаются действительными. В 1. Простейшая вариационная задача Обозначим через С [а, Ь[ множество всех непрерывно лифференцнруемых функций, заданных на [а,Ь[. Для УУ1(х), Уз(х) б С'[а,Ь[ введем расстояние между ниии по формуле [[у1(х) — у(з)[[о(ад) шах [у1(з) уз(х)[+ шэл [у[(х) — уз(х)[. *е(а,ь) хе~аД Множество функций С'[а,Ь[ с введенной метрикой является линейным нормированным пространством. Пусть Г(х, у, р) — заданная непрерывно дифференцнруемая функция для тх Я [а,Ь[ и т(У,У) Е лз1„1 — плоскости с декартовыми прямоугольпымн координатами у,р. Рассмотрим интеграл з'(у) = / Р [х, у(х), у'(х)1 Их а Глава 9.
Осиовы вариационного исчисления иа множестве М тех фуикций р(х) б С~[а,Ь], которые удовлетворяют граничиым условиям р(а) = А, р(Ь) = В, (2) где А и  — заданные числа. Функции р(х) б М будем называть допустимыми. Очевидно, для тр(х) б М интеграл (1) определен и задает функционал с областью определения М в пространстве С~[а,Ь]. Определение. Говорят, что функция у(х) б М дает слабый локальный минимум функционала (1), если Ч число г > 0 такое, что для Уу(х) б М, для которой ][у(х) — у(х)[[с~ 1, ь) < г, выполняется неравенство,7(р) >,7(у). Если в этом определеипи последнее неравенство заменить неравенством .7(у) < 7(р), то для (1) получим определение слабого локального максимума.
Оба понятия — слабый локальный минимум и слабый локальный максимум объединяются единым термином: слабый локальный экстремум. Замечание. Кроме слабого локального экстремума, в классическом вариационном исчислении изучается еще сильный локальный экстремум, о чем будет речь впереди. Кроме того, употребляется термин абсолютного (или глобального) экстремума, Говорят, что у(х) б м дает абсолютный минимум функционала (1), если,7(у) >,7(у) для всех р(х) б М. Если ,7(р) <,7(у) для всех р(х) б М, то говорят, что у(х) б М дает функционалу (1) абсолютный максимум.
Абсолютные минимум и максимум объединяются единым термином абсолютного экстремума. Определение. Задача нахождения слабого локального экстремума функционала (1) иазывается простейшей вариационной задачей. Простейшую вариационную задачу иногда называют задачей с закрепленными концами в силу того, что допустимые кривые обязаны проходить через две закреплеппые точки М~(а,А) и Мз(Ь,В) (см. рис. 2) плоскости В1з „.
Рис. 2 Ь Е Простейшая варнационнэя задача Как известно, при исследовании функции на экстремум существенную роль играег производная функции. При исследовании экстремумов функционалов аналогичную роль играет вариация функционала. Введем это понятие. Обозначим через ~Й1[о,Ь! множество всех тех функций у(х) б С'[а,Ь[, для которых у(о) = у(Ь) = О. Пусть у(х) к М и й(х) б ~Ь[о,Ь!. Рассмотрим семейство функций, зависящих от действительного параметра а: у(х, а) = у(х)+а п(х). Поскольку у(х,а) б М при Ча, то можно рассмотреть интеграл .7(у + ао) = / Р [х, р(х) + ал(х), у'(х) + ае'(х)] ь7х (3) а При фиксированных у(х) и п(х) интеграл (3) является собственным интегралом Ф(а), зависящим от параметра а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
