1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 54
Текст из файла (страница 54)
что функционал (5) для построенной гармонической функции и(х,д) имеет конечное значение. 3 3. Вариационные задачи со свободным концом, с подвижной границей и задача Больца В этом параграфе рассмотрены обобщения простейшей вариационной задачи, во-первых, на случай более общего поведения искомой кривой иа границе и, во-вторых, на случай функционала неинтегрального типа. 1. Задача со свободным концом Рассмотрим интеграл У(у) = /Р [х,р(х),у'(х)] Нх, а где а, Ь вЂ” заданные числа, а ( Ь, г"(х,у,р) — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция при всех х Е (а,Ь) я Ч(у,р) Е й~ „, на мно. жсегве функций М = [у(х) Е С1(а,Ь): у(а) = А), где А — заданное число. Интеграл (1) является функционалом с областью определения М в пространстве С'(а, Ь).
Определения слабого локального и абсолютного экстремумов функционала (1) в точности такие же, как и в случае простейшей вариационной задачи, но под М теперь надо понимать только что указанный класс функций, Определение. Задача нахождении слабого локального экстремума функционала (1) называется задачей со свободным концом. 13. Варивпиоииые задачи со свободным концом, с подвижной границей 311 Свое название эта задача получила из-за того, что при х = 6 значения у(х) б М не задаются, т. е.
конец х = Ь отртюка [а, Ь] является свободным концом. Приведем необходимое условие решения задачи со свободным концом. Теорема 1. Если дваотсдм непрерывно диффсренцируемая функцил у(х) О М являетлся решениель задачи со свободнмм концом, тпо у(х) необходшио на [а, 6] удовлетпворяетп уравнению Эйлера дР д дР— — — — =0 ду дх ду' и грвттичному условию при х = Ь вида дР [х, у(х), у(х')] ' Ву,' =0 О Возьмем Ут)(х) й Ст [а, Ь], для которой т)(а) = О, н рассмотрим Ф(а) = д(у+от)) при о О В.
В силу условий на Р и у(х) собственный интеграл, зависящий от параметра, Ф(о) ивляется непрерывно диффсренцируемой функцией ст. По известной теореме из курса анализа ь Ф'(О) = — (у+ )1 = ~ 1 — О(х)+ — '(*)1 а=о ду ду 3 у=гни) е Поскольку у(х) — решение задачи со свободным концом, то и = 0— точка зкстремума для функции Ф(тх). Значит, ь т (дР дР, О = Ф'(0) = ( ~ — т)(х) + —,т)'(х) дх, .) [д бу в в=вц*) Интегрируя по частям второе слагаемое и используя условие т)(а) = О, получаем равенство ь дР[ 'у(' ) у'(х)][ 6 ~ ['ОР— д ОР а Это равенство выполняется для )тт)(х) й С'(а,Ь], для которой т)(а) = О.
Это равенство должно выполняться в том числе и для тт)(х) О С'[а,Ь]. Тогда т)(6) = 0 и, как в простейшей вариационной задаче, получаем уравнение Эйлера для у(х). Рассматривая теперь т)(х) б С~[а,Ь] с произвольными значениями т)(6), получаем равенство — вЮ~-))] т)(6) = О, ~в=ь поскольку [вь- — — - увт][ ти О на [а,6]. Отсюда и следует граничное )вр т вл)) "] [ =д)*) условие (2) для у(х). 312 Глава 9. Основы варнационного исчисления Определение. Всякое решение уравнения Эйлера для (1) называется экстремэлью задачи со свободным концом, а экстремаль, удовлетворяю.
щая условию у(а) = А и условию (2), называется допустимой зкстремалью этой задачи. Итак, нз теоремы 1 следует, что всякое решение задачи со свободным концом необходимо является допустимой экстремалью этой задачи. Пример 1. Рассмотрим задачу о бракистохроне (см, пример 2 З 1), но будем теперь считать, что у(0) = О и что при х =1 нет граничного условия, т.е. конец х = 1 свободен. Найдем допустимые экстремалы такой задачи. й Экстремали, удовлетворяющие условию у(0) = О, являются циклоидами, параметрические уравнения которых х = с(1 — в1пс), у = с(1 — созе). Для определения с используем граничное условие прн х=й у =О, откуда у'(1) = О, т.е. циклоида должна пересекать прямую х = 1 под прямым углом. Следовательно, точка (1,у(1)) должна быть вершиной цнклоиды.
Так как для вершины 1 = я, то 1 = ся. Значит, допустимая экстремаль имеет параметрические уравнения ! х = — (1 — з1пг), у = — (1 — соэг). Замечание. Мы рассмотрелн случай, когда конец х = Ь свободен. Совершенно аналогично рассматривается случай, когда оба конца х = а, х = Ь отрезка свободны от граничных условий. Тогда для допустимой экстремали задачи должны выполняться граничные условия вида (2) для х = о и для т = Ь.
Задачу с обоими свободными концами называют иногда задачей без ограничекий, Пример 2. Решить задачу без ограничений для функционала Цу) / еэ [(у~)з + буз + 12у! ~(х с сз Допустимые эксгремали задачи являются решениями граничной задачи у" +у' — бр = б, у'(О) = у'(1) = О. $3, Вариапнонные задачи со свободным концом, с подвижной границей 313 Решением ее является у(х) и — 1. Для Ф~(х) Е С'[0,1) имеем 1(у+ О) д(у) / ея [0~2+бпг+ Я~Я+12уп» 12п1 дх о 1 ~ ег[г1О „:.
буг]дх, 3ее1)' . гав[1 о 1 ) [12* -~2Ч вЂ” — ~2Ч')[ ьЫх 1 е*[по + бзг[дх ) О. о Здесь мы воспользовались интегрированием по частям, граничными условиями для у(х) н уравнением Эйлера для у(х). Следовательно, у(х) дает абсолютный микнмум для рассматрива емой задачи без ограничений. д 2. Задача с подвижной границей В п. 1 конец экстремали может перемещаться по вертикальной прямой х = Ь. Рассмотрим теперь интеграл (1) на множестве М тех функций у(х) Е Сг[а,6], для которых у(а) = А и правая граничная точка (Ь,у(6)) в зависимости от у(х) может перемещаться по некоторой непрерывно дифференцируемой кривой Г, зэдаиной уравнением у = у(х), х й [с,д], с ) а, так что у(6) = ДЬ).
На множестве М таких функций у(х) интеграл (1) задает функционал. Здесь подлежит определению и функция у(х) и правый конец Ь ее отрезка определения. Слабый локальный и абсолютный экстремумы для такого функционала определяются аналогично тому, как это сделано для простейшей вариационной задачи. Задача нахождения слабого локального экстремума для (1) с указанной здесь областью определения называется задачей с подвижной (правой) границей. Укажем необходимые условия решения такой задачи. Теорема 2. Пусть решение у(х) задачи с подвижной (правой) границей принадлежит С[а, Ь].
Тогда у(х) необходимо на [а, Ь] удовлетворяет уравнению Эйлера др Ы дР— — — —,=0 ду дх ду' и хм 314 Глава 9. Основы вариационного исчисления и условию тлраисверсольиоспьи нри х = Ь: дР[х, у(х),у (х)[ ~ дР Р [х, у(х), у'(х)] + [У'(х) — у'(х)] ' ' ~ = О. (3) О Пусть у(х,а) — семейство произвольных дважды непрерывно дифференцируемых функций при Уо Е )т, причем у(х,О) = у(х), у(О,а) = А. Рассмотрим при [а[ < е собственный интеграл, зависящий от параметра во о[а) и ) - ~ е [*, и ~, "и" ] *, где х(а) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция н х(0) = Ь. При условиях теоремы 2, как следует нз курса анализа, Ф(а)— непрерывно дифференцируемая функция и Ф(О) =,7(у), Ф'(0) = ~ ~ — бу+ —,бу'~ Нх+ Р [Ь,у(Ь),у'(Ь)] бх, Г (ОР аР,! / (ду ду' в=од ) где бх = х'(0), бу = оф9~~, бу1 = уо офо" ~ = о- ° Оооо)[ аобу.
Выражение Ф'(0) называется первой вариацией в задаче с подвижным правым концом и обозначается через бо(у,бу). Так как у(х) — решеяяе задачи, то а = 0 дает экстремум функции Ф(ет). Значит, Ф'(0) = 0 я, следовательно, б,7(у,бу) = 0 при всех допустимых вариациях бу(х). Проинтегрировав по частям второе слвхаемое под знаком интеграла и воспользовавшись тем, что 0(а) = О, получаем равенство — — — — бу(х) Их + Р [Ь, у(Ь), у'(Ь)] бх + (дР д дР! ~бу б 'бу~„„,,' + —, [Ь,у(Ь),у'(Ь)] бу(Ь) = О. дР Если у1 = у[х(о),а), то (4 бу1 = ~ — у[х(а),а[1 .а= — — — + — [ ° ет = у(Ь)бх+ бу(Ь). =( ).. = ду Их Иу 1 о=о $3, Вариационкые задачи со свободным концом, с подвижной границей 31$ Рассуждая, как и в теореме 1, отсюда получим, что у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера и следующему равенству ( Р (Ь, у(6), у'(6)] — у'(Ь) —, (Ь, у(6), у'(6)] ~ бх + дГ + —, (Ь,у(Ь),у'(6)] бут = О.
ду' Замечая, что ть(Ь) = тй, пряходим к условию трансверсальности (3) для б у(х). Э Определение. Всякое решение уравнения Эйлера называется экстремалью задачи с подвижной границей, а экстремвль, удовлетворяющая условию у(о) = А я условию (3), называется допустимой экстремалью этой зв,вдчн.
Замечание. Можно рассматривать задачу и с двумя подвижными кон- цами х=а, х=Ь. Отметим также, что условие трансверсальности устанавливает зависимость межву угловыми коэффициентами ть(х) и у'(х) в граничной точке. В частности, если граничная точка (Ь, у(6)) перемещается по горизонтальной прямой у = сопзц то условие трансверсальиости принимает вид Р- у' — =О. пример 3. найти расстояние тб от точки ( — 2,3чьЗ) до полуокружности о = Т:~.,-ьг* * Ьо,гЬ. бз Задача сводится к нахождению минимума У(у) = / Л + Р 1* о г * оЬ-г)=оог ТЬ Ь=оь ь— Х-ььь о о ння Эйлера имеют вид у = стх+сз, где ст, сз — произвольные посто. янные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
