1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 56
Текст из файла (страница 56)
322 Глава 9. Основы вариационного исчнгленкя 2 5. Изопериметрическая задача В З З 2-3 рассмотрены обобщения простейшей вариационной задачи па случай более общих функционалов и на случай более общего поведения неизвестных функций на границе. Обобщения простейшей вариационной задачи можно получать по-другому, подчинив искомую функцию не только граничным условиям, но и некоторым дополнительным условиям связи.
О такого рода задачах пойдет речь в настоящем параграфе. Общим моментом при решении таких задач является использование метода множителей Лагранжа — аналога известного нз курса анализа метода множителей Лагранжа, применяемого там для решения задач на условный экстремум для функций многих переменных. Пусть функции г'(х,у,р) и Гу(х,у,р) — заданы и дважды непрерывно дифференцируемы для эх Е (а, Ь) и т'(у, р) Е В1„~1. рассмотрим интеграл ° '(у) - / Р(*,у(х),у'(*)1 1* а на множестве функций где А, В и 1 — заданные числа. Функции у(х) Е М называются допустимыми.
Ясно, что интеграл (1) задает функционал .с областью определения М в пространстве С'[о,Ь). Условие К(у) = 1 называется условием связи. Определение. Говорят, что допустимая функция у(х) дает слабый лакальный минимум (максимум) функционала (1), если Зе ) 0 такое, что для всякой допустимой функции у(х) такой, что ~(у(х) — у(х)зс~(,э) < ц выполнено неравенство у(у) > .цу) (,7(9) <,у(у)). Слабые локальные минимум и максимум объединяются термином слабый локальный экстремум. Для функционала (1) понятным образом вводится и абсолютный экстремум.
Определение. Изопериметрической задачей называется задача нахождения слабого локального экстремума функционала (1). Название задачи происходит от ее простейшего примера: задачи нахождения замкнутой кривой заданной длины, ограничивающей наибольшую площадь. Чтобы установить необходимое уоювие решения изопериметрической задачи, введем в рассмотрение функцию Г,(х,у,у',Л) = г(х,у,у')+ ЛС(х,у,у'), чЛ Е В. 323 Ь 5. Изопериметрическая зааача Она называется лагранжианом, а параметр Л называется неопределенным множителем Лагранжа.
Кроме того, рассмотрев функционал К(у) на множестве тех у(х) Е Ст[атЬ], для которых у(а) = А, у(Ь) = В, согласно з 1 можно найти вариацию функционала К(у): ь ЬК[у,т3(х)] = / ~ — О(х) + — т3'(х)удх, Чц(х) йС [а,Ь]. т" (дтз дС, '1 / (ду ду' Теорема. Пусть дважды непрерывно ди44еренцируемая допуспшмая функция у(х) являетпся решением изопериметрической задачи и пустпь вариация БК [у,т3(х)] ~ 0 для всех тт(х) Е От [а, Ь]. Тогда найдется такой мнозкитель Лагранжа Л, что у(х) необходимо на [а,Ь] удовлетворяет уравнеЭй р да дй д дТ, — — — — = О. Р) ду Ых О Из условия теоремы следует, что ЭОо(х) й С! [а, Ь] такая, что ЬК [у,тут(х)] г! О. Возьмем теперь тттт(х) й ~![а,Ь] и рассмотрим функции и = тр(а,!3) =,У[у(х) + ать(х) +Яд(х)], и = тЬ(а,т3) = К [у(х) + ат3(х) + )3т!е(х)], где а,т3 Е В.
В силу условий на у(х), Е' и С к этим интегралам можно применить теоремы о непрерывности и дифференцируемости собственных интегралов, зависяиптх от параметров. Из этих теорем следует, что !о(о,)3) и тр(о,тт) являются непрерывно дифференцируемыми функциями в некоторой окрестности а = 13 = 0 и что г(0,0) = д(у), д ' --б т [у(х) О(х)], д ' --о-г[у(х),т1о(х)] т дьз(0,0) др(0,0) тр(0,0) = К(у)' д дд [у х п(х)] ' д — — ЬК[у(х),5е(х)].
дтр(0, 0) дтр(0, 0) Здесь, например, ь т" ( дР! дг дую[у(*)Л(*)] =/ ~ — ~ .т1(*)+ —, 1'(х) дх. дУ г=гхь1 ду' „=грй Покажем, что якобиан жО, тУт1(х) О'С![а,Ь]. д(и,и [„„в 324 Глава 9. Основы варивционного исчисления Рассуждаем от противного. Пусть этот якобиан отличен ст муля для некоторого г)(х) Е С'[а, Ь]. Тогда из теоремы о системе неявных функций слелует, что система уравнений и = ~р(а, д), о = ф(а, )3) однозначно разрешима относительно а, д в некоторой окрестности а = д = О. Предположив для определенности, что у(х) дает локальный минимум в изопериметрической задаче, рассмотрим систему уравнений р(а,д) = р(0,0) — с, ьб(а,)У) =(Ь(0,0), е > О.
По указанной выше теореме существуег единственное решение (а, Д) этой системы из окрестности а = д = 0: (о(а, Д) = ьв(0, 0) — с = .7(у) — с, ~б(а, Д) = (б(0, 0) = К(у) = (. Это значит, что найдется функция вада у(х) + аг)(х) +Дрв(х) такая, что у(у + ай + Рг)о) = )(и) — с < у(у) К(у + аг) + д )е) = (. Это противоречит тому, что у(х) дает локальный минимум. Наше предположение неверно и якобиан д(ьь, ф бб(у, р) бК(у, г)) ! д( д) = бу(„' ) ЬК(„' ) = — О, вг)(х) Е ь [о~Ь]. Положим Л = — Яф.
Поскольку бК(у,г)е) )Ь О, то Л )ь оо. Тогда для любого г)(х) Е |Й~[а, Ь] получаем тождество Ы(у, 1)) + ЛбК(у, г)) ш О. В интегральной форме это тождество имеет вид: ь /дР дСЛ г'дР дСЛ ~ — + Л вЂ” ) . г)(х) + [ — + Л вЂ”,~ г)'(х) бх гн О. в=й(*) д(( ду в=в(*) а Учитывая формулу для Ь, интегрируя по частям слагаемое, содержащее О'(х) и применяя основную лемму вариационного исчисления, отсюда и<» лучаем уравнение Эйлера (2).
Замечание. Условие теоремы о том, что бК [у,г)(х)] ф О, равносильно тому, что у(х) не является экстремалью простейшей вариационной задачи для К(у). Определение. Всякое решение уравнения Эйлера (2) называется зкстремалью изопериметрической задачи, а всякая экстремаль, являющаяся допустимой функцией, называется допустимой экстремалью изопернметрнческой задачи. Э 5. Изопериметрическая задача Из доказанной теоремы следует, что решение нзопериметрической задачи необходимо является ее допустимой экстремалью. Заметим, что всякая экстремаль изопериметрнческой задачи служит экстремалью некотоь рой простейшей вариационной задачи для функции Лагранжа ) Ьг1х.
е В общем случае экстремали изопериметрической задачи зависят от трех параметров ст, сз, Л. Допустимые эксгремали находят из двух граничных условий и условия связи К(у) = 1. Пример. Решить изопериметрическую задачу: тт 1(у) = / [у'(х)) т5х, у(0) = у(я) = О, / р(х) э1пхт1х = 1. е о сь Здесь лагранжиаи Ь = уо+Лув1пх. Уравнение Эйлера для Ь дает экстремэля у = -ээшх+ сгх+ сз. Из граничных условий и условия Л связи находим, что сг = сз = О, Л = --. Таким образом, р(х) = 4 — э1пх — допустимая экстремаль. Покажем, что она дает абсолютный 2 минимум в изопериметрической задаче. Действительно, при всякой допустимой функции у(х) у(х) + д(х) (для этою надо взять тттт1(х) Е С~ [О, тг), для которой ) тг(х) в1пхт1х = 0) имеем, что е Щ+и) — у(у) = / [(у'+т1т)з — (рт)з) т1х = 2/ ут т1'г(х+ /(тут)зг1х = о о о Ф = 2у'(х) .т1(х) ~; о — 2 / у"(х)0(х)ттх + / (ту) г(х = е а л тт = 2~ — з1пхт1(х)т1х+ ~ (т1 ) г1х = т" 2 Г тг е о к тт = — /т1(х) э1пхНх+ /(т1')зг1х = /(т1') г1х > О, А э о е Замечания.
1) Изопериметрическая задача обобщается на случай нескольких условий связи ь Кг(у) ш / Сг [х, у(х), у'(х)[ г(х = 1„т = 1, тп, и на случай функционалов т'(у), зависящих от вектор-функции у(х). 326 Глава 9. Основы вариационвого исчисления 2) Если у(х) не является ии зкстремелью,7(у), ни экстремелью К(у), то справедлив так называемый принцип взаимности: у(х) — экстремаль задачи на экстремум,7(у) при условии К(у) = 1 и одновременно у(х)— экстремаль задачи на экстремум К(у) при условии .7(у) = 1. Это видно из того, что можно ввести лагранжиан 7 = ЛгР+ Л«С, куда функции Р и С входят симметрично.
В 6. Задача Лагранжа В этом параграфе будут рассмотрены условия связи несколько иного ро. да, чем в предыдугцем параграфе. Пусть Р(х, у, «, р,д) — эаданнал дважды непрерывно дифференцируемая функция при эх б [а,Ь] и г'(у,«,р,д) б 71е, где 714 — пространство с декартовыми прямоугольными координатами у,«,р,д, и пусть д(х,у,«)— заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция при тх б [а, ь] и 'т'(у,«) н В1««Г Рассмотрим интеграл ь .7(у,«) = / Р [х,у(х),«(х),у'(х),«'(х)] Ах (1) ь на множестве пар функций (у(х),«(х)) М = ((у(х), «(х)) б С~э [а, Ь]: у(а) = Ам «(а) = Аг, у(6) = Вы «(Ь) = Вы д[х,у(х),«(х)] = О, Чх б [а,Ь]). Уравнение д(х,у,«) = О называется условием конечной (или геометрической) связи для неизвестных у, «. Заметим, что из определения М следуют условия согласования уравнения связи с граничными условиями: д(а, Аы Аг) = д(Ь В1 Вг) = О Всякая пара функций (у(х),«(х)) иэ множества М называется допустимой.
Интеграл (1), рассматряваемый на множестве М, задает функционал в пространстве С«[а,Ь] (см. п 1 г2) Определение. Говорят, что допустимая пара функций (у(х), д(х)) дает слабый локальный минимум (максимум) функционала (1), если 3«> О, что для любой допустимой пары (у(х),«(х)) такой, для которой Ц(у(х),«(х)) — (у(х),«(х)) Ц( д) < «, справедливо неравенство,7(у,«) > ,7(у,«) (.7(у,«) < 7(у,«)). Слабые локальные минимум и максимум объединяются термином слабого локального экстремума. Для (1) можно ввести и понятие абсолютного экстремума.
Зйт 16. Задача Лагранжа Определение. Задачей Лагранжа иэзываегся задача нахождения слабого локального экстремума для функционала (1). Нетрудно указать геометрический смысл задачк Лагранжа. Пусть уравнение связи у(х, у, г) = О задает некоторую поверхность Я в Яз „, . Условия согласования фиксируют две точки иа Я: Рг(а,АыАг) и Рз(Ь,ВыВг), а пара функций у = у(х), г = г(х), *Е [а,Ь], ведает простраиствеииую кривую у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
