1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 53
Текст из файла (страница 53)
[х — (ха+ г)], х б [хо — с,хо+ с], х и [хс — с, хо + е]. Рассмотрим интеграл вида ь .у(у) = / Р [х,р(х),у'(х),...,у( )(х)~ Нх, (3) л где а, 6 — заданные числа, а ~ Ь, г"(х, р,рм ..,, рь) — заданная функ- ция, непрерывно дифференцируемая (й + 1) раз прн всех х й [а, Ь], (у,рм..,,рь) б В~+~ „. Здесь Вт+~ „обозначает (6+1)-мерное про- странство с декартовыми прямоугольными координатами у,рв...,р», Определим интеграл (3) на множестве функций М = (р(х) б Сь [а, 6]: у01(а) = А,, у01(Ь) = В, г = О, й — 1~, где А,  — заданные числа при всех у = 0,6 — 1. Интеграл (3) задает функционал с областью определения М в пространстве Се[а,Ь].
Определение. Говорят, что у(х) б М дает слабый локальный минимум функционала (3), если Эс ) 0 такое, что любая у(х) й М, для которой 305 12. Обобщения вариационной задачи иа случай функционалов [[у(х) — у(хЦСа(алу < е, выполнено нераветтство .У(у) > .У(у). Аналогично определяется для (3) слабый локальный максимум. Термин слабый локальный экстремум функционала (3) объединяет понятия слабых локальнык минимума и максимума для (3). Нас будет интересовать необходимое условие слабого локального экстремума функционала (3) при Ь > 1, поскольку прн Ут = 1 отсюда получаем уже известную нам простейшую вариационную задачу. Сначала определим понятие первой вариации для функционала (3).
Пусть у(х) б М и ту(х) б С" [а, Ь]. Рассмотрилт функцито Ф(а) ,7(у + оту), где о б В. При фиксированных у(х) и ту(х) функция г'[х,у + оту,у' + ату',...,у(лу + стту("у] и ее производная ~„- — непрерывны для х б [а,6] и ]а] < е при некотором е > О. Следовательно, по теореме из курса анализа собственный интеграл Ф(ст) является непрерывно дифференцируемой функцией а при [и[ < е и по правилу Лейбница туг(у+ агу) ] а=о = уу ~ — ту(х) + — ту'(х) +" + — ту ' (х) т(х. Г (дР дР, др ./ ~ ду ду' ду("у а Определение. Выражение Ф'(О), где л(х) — любая функция из С" [а,Ь], называется первой вариацией функционала (3) и обозначается бо [у,ту(х)].
Таким образом, бд[у,ту(х)] = у[ ~ — п(х) + — ту'(х) +. + — ту(ьУ(х) т(х, у (аР ОР, ар ,У' [д д д(' а где Чту(х) б С" [а,Ь]. Теорема 2. Пустое у(х) б М являетпся 2Й раз непрерывно дифференцируемой функцией и дает слабый локальный экстремум функционала (3). Тогда у(х) необходимо на [а, Ь] удовлетворяетп уравнению Эйлера — Пуассона ОУ с( дР т(з дГ ь т(ь дР— — — — + — — †.
+ (-1) — —, = О. ду дх лут д з ' путт '',У ь ' ду(ь) (4) (здесь 3; — полная производная по х). е О Если у(х) дает слабый локальный экстремум функционалу (1), то а = О дает локальный экстремум функции Ф(а). Это устанавливается рассуждением, аналогичным проведенному в теореме 1 3 1.
Значит, Ф'(О) = О. Из определения бэ" [уу,ту(х)] получаем, что тогда бд[у,ту(х)] = О для всех ту(х) б С"[а,Ь], 300 Глава 9. Основы вариациоииого исчисления Проинтегрируем по частям каждое слагаемое в формуле 6.7[у,п(х)] начиная со второго, столько рвз, сколько нужно, чтобы избавиться от всех производных п(х). Это законно в силу того, что В непрерывно днфференцируема (6+ 1) раз и что у(х) непрерывно дифференцируема 26 роз. Все проинтегрированные члены обратятся в нуль из-за нулевых граничных условий для 0(х) и ее производных.
В результате получаем равенство ь (дР ьУ дР ь а" дВ 1 — — —, + . + (-1)" — — ь1~ л1(х)ь(х = О, а где УЕ(х) е Се[а,Ь]. Условия теоремы на Р и у(т) обеспечивают непрерывность на [а,Ь] выражения в квадратных скобках под знаком интеграла. Из обобщения основной леммы вариационного исчисления, леммы 1, тогда следует, что это выражение — тождественный нуль на [а,Ь]. А это и значит, что у(х) удовлетворяет уравнению (4).
Ф Определение. Каждое решение уравнения (4) называется экстремалью функционала (3), а решение уравнения (4), принадлежащее М, называется допустимой экстремалыо функционала (3). В общем случае уравнение (4) является дифференциальным уравнением порядка 2Й и имеет семейство решений, зависящее от 26 параметров. Чтобы на практике определить допустимые экстремали (3), необходимо эти параметры найти из 2Й граничных условий у01(а) = АУ, у01(6) = В, у = О,к — 1. Из теоремы 2 получаем, что только среди допустимых экстремалей функционала (3) может быть функция, реализующая экстремум функционала (3). Заметим, что при условиях теоремы 2 тот факт, что у(х) — экстремааь (3), эквивапентен условию б,У[у,0(х)] = 0 для всех допустимых п(х).
По. этому допустимой экстремапью можно было бы и позвать решение уравнении б,У[у,п(х)] = 0 при всех допустильых 0(х). Аналогично простейшей вариационной задаче для функционала (1) можно ввести и понятие абсолютного экстремума. Пример 2. Найти допустильые экстремали функционала 1 ,У(у) = ~ [(уи)2 + (уР)2 — 24, ] бх, о у(0) = у(1) = О, у'(0) = 2, у'(1) = -4. б1 Уравнение Эйлера для У(у) имеет вид урт1 — у" = 12х.
Зот $2. Обобщения вариационной задачи ва случай функционалов Его решение у(х) = с) + сзх+ сзе * + сге — 2х . Из граничных условий находим, что сг = сз = аг = О, сз = 2. Допустимая зкстремалгк у = 2х(1 — хз). А 3. Случай двойных интегралов Пусть Я вЂ” ограниченная, измеримая по Жордану облаеп плоскости йз с декартовыми прямоугольными координатами х,у и пусть ь(— (*и) замыкание („"г. Обозначям через С'(Я) множество всех непрерывно дифференцируемых на гВ функций.
Для гги(х,у), гг(х,у) Е С~ Я) введем расстояние между ними по формуле ()и(х,у) — и(х,у))(сгд) —— гпах )и(х,у) — и(х,у)) + (*,я)ег2 ди(х, у) д (х,у) [ [ д (х, у) д (., у) ~ (,,я)ег) дх дх ~ (™)еО ду ду Множество С)(Я) с введенным расстоянием является линейным нормированным пространством.
Границу области Я обозначим через д(~ и будем считать в дальнейшем дЯ кусочно-гладкой кривой. Через ь.~(ьГ) обозначим множество всех тех и(х,у) Е С~(Ц), для которых и~вО = О, а через С(ь)) обозначим множеегво всех непрерывных на ь) функций. Имеет место двумерный аналог основной леммы вариационного исчисления. Лемма 2. Если )(хгу) Е СЩ) и О у(х,у)г)(хгу)ггхг(у = О для ггг)(х,у) Е Сг (Я)г гао )" (х, у) н О в области (;). С) Рассуждаем от противного. Пусть существует точка (г„г)) Е Я такая, что /(Ь,г)) > О. В силу непрерывности у(х,у) найдется внутри Я круг К (г„г)) радиуса г" с центром в точке (г„",г)) такой, что 1(х,у) > О для ггг(х,у) Е Кг(~,г)).
Положим (Кг((гг)) С (,)) г)(х,у) = [(х — ~) + (у — П) — г ], (х, у) Е К„(~,г)), О, (: и) Ф К.(6 о) Нетрудно проверить, что г)(х,у) Е С~(Я). Но о,, =У ((х,у)г)(х,у)г(хг(гу = Д ~(х„у)г)(х,у)с(хг(у > О, уа уу л,((л) что противоречит условию леммы 2. Э Глава Я, Основы варяапионного исчисления 308 Рассмотрим теперь двойной интеграл ,0 [' ' 'У' д ди(х,у) ди(х,у)1 (5) где г (х, у, и, е, ш) — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция при ч(х,у) е б), ч(и,е,~и) е В~(„„Г здесь гг(з„„) обозначает пространство с декартовыми прямоугольными координатами и,и,иь Интеграл (5) будем рассматривать на множестве функций М = (и(х,у) Е С Д): и)ЕО = д(х,у)), где д(я,у) — заданная непрерывная на кривой дЯ функция. В силу условий на Р и и(х,у) интеграл (5) является функционалом с областью определения М в пространстве С'(9).
Определение. Говорят, что функция 0(х,у) Е М дает слабый локальный минимум (макснмум) функционалу (5), если Бс > О такое, что для любой и(х,у) е м, для которой ви(х,у) — 0(л,у)~)с,щ < г, выполняется неравенство У(и) > д(0) (,У(и) < 1(й)). Слабые локальные минимум и максимум объединяются термином слабого локального экстремума (5). Для функционала (5) вводится также естественным образом н понятие абсолютного экстремума, Дяя того, чтобы установить необходимое условие слабого локального экстремума функционала (5), введем понятие первой вариации функционала (5).
Пусть и(х,у) Е М и у(х,у) Е С'(Я). Рассмотрим функцию Ф(а) = ф+ аг)), ГдЕ а Е ГГ. При фИКСИрОВаННЫХ и(Х,у), О(Х,у) фуНКцИИ Р, ~~- — непрерывны Ч(х,у) Е Я и )а) < е прн некотором е > О. Поэтому по теореме из курса анализа собственный интеграл Ф(а) является непрерывно дифференцируемой функцией а и по правилу Лейбница Ф'(О) = ~( + а') а=о дь д Еч Щя у) Е ~1(()) Определение. Выражение Ф'(О) называется первой вариацией функцио. нала (5) н обозначается 5.7(и,э), где 0 = л(я,у) — произвольная функция из ~Й'(Я). Теперь докажем необходимое условие слабого локального экстремума для (5). 309 62. Обобщения вариационной задачи на случай функцнонглов дР д дР д дР— — — — — — — =0 ди дх др ду дд (6) (гдесь у- и уг — полные частные производные).
0 Так как 0(х,у) дает экстремум функционалу (5), то функция Ф(о) имеет экстремум при а = О. Следовательно, Ф'(0) = О, а, значит, и б.г(й,ц) = 0 для всех п(х,у) Е Сг(ге). Заметив, что дР дц д /дР'1 д дР г Ч др дх дх ~ др) дх др' дР дп д г" дР'1 д дР 0 гг дд ду ду ~ до,г ду дй' и воспользовавшись формулой Грина и тем фактом, что ц)во = О, последние два слагаемые в формуле бУ(й,ц) преобразуем следующим образом: -д Н-")"-'("'— :)1" -П (-."-' -' '-')гг = г' д дР д дР'1 Т дР дР = — ( ц ) — . — + — — ) г(х Игу+ ) и — йу — и —,бх = ~,дх др ду ду г) / др дд г2 е0 --д (-' 'ь' ~ '-:)'*" Таким образом, имеем, что для гт~(х,у) е ~б Я) )~ ( — '; — —,' — "-,— ' '— ')е*,г "= Отсюда в силу леммы 2 получаем уравнение (6).
Определение. Всякое решение уравнения (6) называется экстремалью функционала (5), а всякая экстремаль (5), принадлежащая М, называ- ется допустимой экстремалью функционала (5). Уравнение (6) предста- вляет собой уравнение в частньгх производных второго порядка. Проведенные построения переносятся и на тот случай, когда вместо двойного интеграла (5) рассматривается и-кратный интеграл. Теорема 3. Пусть О(х,у) Е М является дважды непрерыоно дифференци- руемой функцией в ц) и дает слабый локальный экстремум функцштала (5).
Тогда й(х, у) необходимо в ьг удовлетворяет уравнению Эйлера — Остроград- ского 310 Глава 9. Основы вариациовиого исчисления Пример 3. Для Функционала уравнением Эйлера — Остроградского является уравнение Лапласа дзи дтн — + — = О. яхт дух Известно, что гармоническая функция и(х, у) в О, для которой п(аО = д(х,у), существует н единственна. Однако не при всякой непрерывной 9(х,у) люжно ожидать, что эта функция является допустимой экстремалью функционала (5), так квк не всегда можно утверждать, что первые производные функции и(х,у) непрерывны в замкнутой области О, т,е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
