1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Пусть пара дважды непрерывно дифференцируемых функций х !д(и,ц), у = Ф(и,в) с якобиаиом в]."ьф ф 0 взаимно однозначно отоз!,Ф бражает полосу Пг = ((х,у): х Е [а,Ь], у Е ( — со,+со)) плоскости Вз с декартовыми прямоугольными координатами х,у на полосу Пз ((и,о). и Е [а,!у], о Е (-со,+со)) плоскости В~(„„! с декартовыми прямоугольными координатами и,о. Глава 9. Основы вариацнонного исчисления зоо Введем в функционале (1) вместо х,у новые переменные и,о, полагая х = сг(и, о), у = ф(и, о) и считая о = о(и). При этом получаем функционал Р ;ы - ~.
(«. ом«.л: ') (- ° — ') аф + о'1 /д<р д1г ос+ай.о ~ ( ди до ) = / Ф [и, о(и), о (и)] с(и, а если предполагать дополнительно, что ф + фо' Ф О. Тогда можно доказать, что уравнение Эйлера (5) эквивалентно уравнению Эйлера для функционала 1~(о): ду с( дф — — —.—, =О. (6) до с(и до' В этом и заключается ннвариантность уравнения Эйлера. Итак, формула всех экстремалей (1) получается из формулы экстреывлей для функционала .Т(о), если в ней сделать обратную замену к замене х = 1о(и,о), у = Ф(и,о). Пример 3. Найти экстремали функционала !вг У(р) = ~(е у'г — евуг)дх, у(0) = 1, у(1п2) = 2. о Л Уравнение Эйлера длн .7(у) имеет вид у ' — у + ег*у = О.
Так сразу неясно, как решить это уравнение. Поэтому в функционале сделаем замену переменных х = 1пи, у = о. Исходный функционал преобразуется к виду у („) ~(е™ иг.о'г ем ° „г) " /(ог Для 1г(о) уравнением Эйлера будет уравнение ив+ о = О, которое легко решается. Его общим решением будет о = Аз(п(и+1о), где А и 1о — постоянные. Переходя к координатам х, у, получим уравнение экстремалей исходного функционала р = Аз!п(е*+ р). 12, Обобщения вариационной запачи на случай функционалов Приведем теперь пример, показывающий, что уравнение Эйлера (5)— необходимое, но не достаточное условие локального экстремума функционала (1). Пример 4. Решить простейшую вариациониую задачу: 25 з лу)=/ [ь( э — — г м[ь, кО)=1, к )=2.
4 о съ Уравнение Эйлера; ун+ ау = О. Его общее решение: у = С1 сов~~*+ Стени уйк. ДопУстимаЯ эксгРемаль: У(х) = сов е— * + 2 в1п езэ, Нетрудно определить, что при Чп(т) е С~[О,т] 25 з 4 о Возьмем и „(х) = ~ зшгпх Е ~О[О,и], где параметры ш Е 51, и Е 1У. Тогда / з 251 л [, 4/ 2з' 2пз Следовательно, Л,У(у) < О при гп < э и Ы(у) ) О при гп ) Значит, у(я) не дает решения вариационной задачи.
А В 2. Обобщения простейшей вариационной задачи на случай функционалов более общего интегрального типа В этом параграфе будут рассмотрены вариационные задачи для интегралов трех типов: 1) интегралов, зависящих от нескольких яеизвестных функций, 2) интегралов, содержащих производные высших порядков, 3) двойных интегралов. Во всех случаях будет поставлена соответствующая вариационная задача и устаяовлено необходимое условие решения такой задачи.
1. Функционалы, зависящие от нескольких функций Пусть С,',[а,Ь] обозначает множество всех вектор-функций у(х) с и непрерывно дифференцируемыми на [а, Ь] декартовыми прямоугольнымн координатами у1(х),..., уе(х), Для Чу(х), л(х) б С,',[а, Ь] введем расстояние 302 Глава 9. Основы вариацноииого нсчксвенвя между ними по формуле: [[У(х) — «(х)[[с(ус«1 = «пах [У(х) — «(х)[ + шах [У'(х) — «'(х)[. «е(в,ь) «е(кь) Тогда «.,',[а,Ь) является линейным нормированным пространством. Рассмотрилг интеграл 4(у) = / Е [х,у(х),у'(х)] Ых, где а,Ь вЂ” заданные числа, а < Ь, и Е(х,у,р) -заданная дважды непрерывно дифференцнруемая функция при всех х б [а,6[, (у,р) б Я~„"1 (гг«е — 2и-мерное пространство с декартовыми прямоугольными коордиЬг) натами у = (ум...,у„), р = (рм.,.,р„)), на множестве вектор-функций М = (у(х) б С,',[а, 6[: у(а) = А, у(Ь) = В), где А и  — заданные числовые и-мерные векторы.
При заданных условиях интеграл (1), очевидно, определяет функционал с областью определения М в пространстве С„',[а,Ь[. Определение. Говорят, что у(х) б М дает слабый локальный минимум (1), если существует е > 0 такое, что для любой у(х) б М, для которой [[у(х) — у(х)[[с1( «1 < е, получаем ,У(у) > д(у), Аналогично определяется понятие слабого локального максимума для (1). Слабые локальные минимум и максимум для (1) объединяются термином слабого локального экстремума функционала (1). Как и в случае простейшей задачи, для функционала (1) можно определить н понятие абсолютного экстремума, Теорема 1.
Если два«годы непрерывно ди44ерениируемая вектор-4ункция у(х) б М дает слабый локальный зксгаремум 4ункционала (1), гло у(х) необходимо на [а,6[ удовлетворяет системе уравнений Эйлера дЕ Ы ВŠ— — — —,=О, «=1,и. (2) ду, дх ду,'. О Обозначим компоненты у(х) через уз(х),..., у„(х). Положив в (1) зл(х) зв уз(х),, уп(х) гв ун(х), получим для функционала д(у1) про.
стейшую задачу, решением которой является уз(х). Из необходимого условия решения простейшей вариационной задачи получаем тогда, чтв у(х) удовлетворяет первому уравнению системы (2). Далее в (1), фиксируя уз(х) ш уз(х) уз(х) = уз(х) °,ув(х) из у„(х), получаем простейшую вариационную задачу для У(уз), решением которой служит у«(х). Выполнение уравнения Эйлера для уз(х) означает, что у(х) удовлетво. ряст второму уравнению сястемы (2). н т.д. Наконец, полагая в (1) зоз з 2.
Обобщения вариационной задачи на случай функционалов у1(х) = уз(х) " уя-з(х) — = у» з(х), получим простейшую вариациоииую задачу для у(у„), решением которой является у„(х). Следовательно, у„(х) удовлетворяет и-му уравнению системы (2) уравнению Эйлера, а это значит, что у(х) удовлетворяет всей системе (2). Э Определение. Всякое решение системы уравнений Эйлера (2) называется экстремалью функционала (1), а всякая экстремаль (1), принадлежащая множеству М, называется допустимой экстремалью функционала (1). Из теоремы 1 следует, что только среди допустимых экстремалей функционала (1) могут быть функции, дающие (1) слабый локальный экстремум.
Но допустимая зкстремаль не обязана давать этот экстремум для (1) всегда. Система Эйлера (2) содержит и уравнений второго порядка для уз(х),...,уя(х). В общем случае решение системы (3) зависит от 2п параметров. Для получеикя допустимых экстремалей функционала (1) нужно определить эти параметры из заданных 2п граничных условий у(а) = А, у(Ь) = В. Пример 1. Найти допустимые экстремали функционала я/2 ,7(у, л) = / [(у) з + (з )з + 2уз + 2*у] Ах, о у(0) = -1, в(0) =1, у(-) =О, з(-) = --. сз Система уравнений Эйлера для .У(у,з) имеет вид х + з — ун = О, у — г =О.
в Подставляя у = з" в первое уравяение системы, получаем з~ 1 — «=х. Общее решение этого уравнения з = сзе + сзе™+ сзсозх+ сззшх — х, где сы сз, сз, сз — произвольиьзе постоянные. Так как у = лв = с|е*+ сзе я — сз сов х — сззшх, то, подстанляя у, з в граничные условия, получим линейную систему для определения см сз, сз, сз.
Отсюда находим, что сз = сз = сз — — О, сз = 1. Следовательно, пара функций у = — созх, л = созх — х определяет допустимую экстремаль. ж 304 Глава 9. Основы варнационного исчисления 2. Функционалы, содержащие производные высших порядков Обозначим через Се[а,6] множество всех 6 раз непрерывно дифференцнруемык на [а,Ь] скалярных функций. Для грг(х), уг(х) б Се[а,Ь] введем расстояние между ними по формуле: [!61(х) — яг(х)][Сь(,ь) = п'а" Ь1(х) — ьг(х)]+ ге[О,Ь! + ~ ~щах [у, (х) — уг (х)[. Тогда Сь[а,Ь] является линейным нормированным пространством. Через Се [а,6] будем обозначать множество всех тек р(х) б С" [а, Ь], для которых у<»(а) = у01(Ь) = О, ( = 0,6 — 1. Имеет место следующее обобщение основной леммы вариационного исчисления ь Лемма 1. Если дх) б С[а,Ь] и (дх)эу(х)4х = 0 длл Фу(х) б Се[а,Ь], пю в У(х) н О на [а,Ь] Эта лемма доказь|вается в точности тем же способом, что н основ- ная лемма вариациоииого исчисления, с тем только изменением, что в качестве о(х) берется функция 0(х) = О, [х — (хо — с)] .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
