1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Для трех неизвестных ст, сз, 6 имеем систему трех уравнений видео -г...,-г г...ь °,=„ь-Ьь-ьо* 1ч- ',+ -с~ =О. ь — Ь/ — ьЬ ) гь ч Эта система дает решение: 6 = зт, ст = — сз = — тт3. Получаем допустимую экстремвльь у = -хчЬЗ+ т/3. Глава 9. Основы еариаииоииого исчисление Эта зкстремвль дает мииимум д(у), равный искомому расстоянию Й гуг 6 = ~ ф ~ ~Л) ь = 5. -г 3. Задача Болъца ,7(у) = / г [х,у(х),у'(х)] дх+ у [у(а),у(6)], а (4) где г'(х,у,р) — заданная дважды непрерывно диффереицируемая функция при Чх й [а, Ь], э(у,р) й В~гэлр Д~,у) — заданная непрерывно диффе- РеициРУемаЯ фУнкциЯ иа всей декаРтовой плоскости В(г ер Выражеиие (4) задает функционал, областью определения которого является все прсстраиство С'[а,6].
Аналогично простейшей вариационной задаче для функционала (4) можио определить слабый локальный и абсолютный экстремумы. Определение, Задача нахождения слабого локэльиого экстремума фуикциоиала (4) иазывается задачей Больца. 'Теорема 3, Если у(х) й Юг[а, 6] является решением задачи дельца, то не- обходимо у(х) на [а, 6] удовлетворяет уравнению Эйлера дГ д дŠ— — — —, =0 ду дх ду' и условиям трансверсольности при х = а, х = Ь видо д „, д([у(а),у(6)] д [ (, ] ду [у(а), у(6)! О Поскольку у(х) дает решение задачи Больца, то функция Ф(а) 1(у+ огг), где о й В, у(х) б С~[а,Ь], имеет экстремум при о = О. Из условий теоремы 3 следует, что функции Р и уо, рассматриваемые при ар Пусть а, Ь вЂ” заданные числа, а < Ь.
На множестве всех функций из С~[а,Ь] рассмотрим выражение Глава 9. Основы вариапиониого исчисления 318 Пример 4. Решить задачу Больца для функционала 1(у) = / ~ [у'( ')] !4 — 2у(1) + уз(2). ! Л Уравнение Эйлера даат экстремали у = гь+сз, а условия транснерсальности дают граничные условия у'(1) = — 1, 4у'(2) = — р(2).
Отсюда у(х) = ! + ! -допустимая экстремаль. Пусть Ч!1(х) Е С~ [1,2], ,7(У + и) — .У(У) = / из[!1п + 2У' . П']г1х — 28(1) + 2У(2)п(2) + О~(2). ! Интегрируя по частям второе слагаемое под знаком интеграла н используя уравнение Эйлера для у(х) и условия трансверсальностн, получаем 1(у+ !1) — г(у) = / х [и'(х)]~!1х+!1~(2) > О. ! Таким образом, у(х) дает в задаче Вольца абсолютный минимум. А 24. О сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме функционалов Рассмотрим вновь интеграл .7(у) = ~Г [х,у(х),р'(х)] с1х, а где а, Ь вЂ” заданные числа, а < Ь, Р(х,у,р) — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция для тх Е [а, Ь], Ч(у, р) Е В~„р при заданных граничных условиях у(а) = А, у(Ь) = В, где А и  — заданныс числа.
Наряду со слабым экстремумол! длн (1) рассматривается и сильный экстремум. При этом несколько расширяется область определения интеграла (1). Обозначим через КС![а,Ь] множество всех непрерывных па [а,Ь] функций, имеющих иа [а,Ь] непрерывную производную, за исключением, быть может, конечного числа точек из [а, Ь], в которых прои> водная терпит разрыв первого рода.
Пусть М = [у(х) с К!О! [а, Ь]: у(а) = А, у(Ь) = В] . 31й Ц 4. 0 сильном локальном экстремуме и абсолютном экстремуме Понятно, что интеграл (1), рассматриваемый на множестве М, является функционалом с областью определения М. После введения в КС~[а,Ь] нормы функций у(х) ЦР(х) Цс(,ь) = !р(х)] множество КС [а, Ь] становится линейным нормированным пространством. Определение. Говорят, что у(х) б М дает функционалу (1) сильный локальный минимум (максимум), если Зг > О тапсе, что для любой р(х) б м, для которой Цр(х) — у(х)Цс(,э) < с, выполияетсв неравенство 1(р) > 1(р) (У(р) < 1(р)). Сильные локальные минимум и максимум объединяются термином сильного локального экстремума.
Сильный локальный экстремум геометрически отличается ог слабою локального экстремума для (1) тем, что дэя сильного экстремума рассматриваются кривые на [а,Ь] близкие по ординатам к кривой у(х), а для слабого экстремума требуется близость этик кривых к у(х) как по ординатам, так и по угловым коэффициентам касательных к кривым. Поскольку множество КС']а,Ь) э С'[а,Ь], то, если у(х) б С'[а,Ь] дает сильный экстремум (1), у(х) дает (1) и слабый экстремум. Поэтому для таких функций необходимое условие слабого экстремума является необходимым условием сильного, а достаточное условие сильного экстремума является достаточным условием слабого.
Приведем прилгер, в котором допустимая зкстремаль у(х) б С~[а,Ь] дает слабый локальный минимум, но не дает сальною локального минимума. Пример 1. Исследовать слабый и сильный экстремумы для функционала .1(у) = / Ях)')'ах, у(О) = О, у(1) = 1. о Ь Уравнение Эйлера дает экстремали р = с~я+ сэ. Единственной допустимой зкстремалью является у = х. Покажем, что у = х дает слабый локальный минимум. В самом деле, если Уг1(х) б С'[0,1], то у(р+ О) — у(р) = / Ж')'(3+ О') > О о поскольку 3+ и'(х) > О, если взять Цп(х)Ц<~(о и < 3.
Глава 9. Основы вариациоииого исчисления 320 Покажем, что у = х не дает сильного экстремума. Возьмем -1/и, хб [О,Ц, у„х Е [2,1], и н„(х) = ) („(х)Их, и > 2. э Ясно, что 11э(х) Е КС [О 1] я []па(х)[[с(э1) -1 0 при и-+ оо. Пусть у„(х) = у(х) +И„(х). Тогда у„(х) — 1 у(х) в С[0,1] при и-+ оо и ~ (1+ „~ )з,~ а 1/э 1 = 1+ ~ (Зп — и / )1/х+ / ~ — + — ] 11х = — 1/и+ о(1) — 1 оо, //12 8 / ~п и,/й~ 1/2 т.е. у не доставляет сильного локального минимума. Приведем пример функционала, для которого иет слабого минимума в классе С1 [а,Ь], но есть сильный минимум в классе КС1[а,6]. Пример 2.
Рассмотрим функционал ./(у) =/у (1 — у') /х, у(О) =О, у(2) =1. о Ь Уравнение Эйлера для него дает экстремали у = с1х + сз. Из граничных условий следует, что у(х) = ~ух — допустимая зкстремэль. Нетрудно убедиться, что у(х) не дает слабого минимума. С другой стороны, на функции ]х, хб[0,1], функционал,/(уе) = О, так как подынтегральиая функции гл О. Поскольку,/(у) ) 0 для любой допустимой функции у(х) и /(уэ) = О, то на уо(х) заведомо реализуется сильный минимум, А Этот пример показывает необходимость рассмотрения сильного экстремума в классе функций КС'[а,6] даже для тех функционалов (1), для которых функция Р— дважды непрерывно дифференцируемая. Всякий абсолютный экстремум (1) является одновременно и слабым и сильным локальным экстремумом. Следовательно, необходимые условия слабого экстремума являются необходимыми условиями для абсолютного $4.
О сильном локальном экстремуме н абсолютном экстремуме экстремума, но, вообще говоря, не наоборот. Достаточные условия абсолютыого экстремума будут достаточными условиями слабого и сильного экстремумов, но, в общем случае, не наоборот. Как известно, всякая непрерывная функция на отрезке достигает своего абсолютного экстремума (наибольшего и наименьшего значения).
Для функционалов тохсе можно ввести понятие непрерывности в линейном нормироваыном пространстве. Так, например, функционал (1) является непрерывным в пространстве С~[а,Ь]. Однако не всегда фуыкционал (1) достигает, например, своего абсолютного минимума в классе функций из С~ (а, 6] (см. пример 2). Поэтому вопрос о существовании абсолютного экстремума функционала (1) и его обобщений является зыачительно более сложным, чем для функции многих переменных. Известны некоторые достаточные условия, например, теорема Тонелли, при которых функционал (1) имеет абсолютный экстремум. Заметим, что точные верхняя и нижняя грани для функционалов типа (1) могут не достигаться не только во всем С~(а,Ь], но также и на ограниченном замкнутом мыожестве из С'[а,6], например, на единичном шаре в С~(а,Ь], т.е.
на множестве всех тех функций у(х) Е С~(а,Ь], для которых ([у(х)![ш( ь) < 1. Теоремы существования играют центральную роль для так называемых прямых методов вариационыого исчисления, основанных на построении последовательности функций, сходящейся к искомой функции, реализующей экстремум для (1). Причина появления прямых методов в том, что решение вариациоыыой задачи приводит к необходимости решения граничной задачи для уравнения Эйлера„а доказательство существования решений таких граничных задач теория дифференциальных уравнений дает лишь в редких случаях.
Прямые методы варнациопного исчислоняя полезны я для теории дифференциальных уравнений. Ведь если дифференциальное уравнение является уравнением Эйлера для функционала (1) и если прямым методом установлено, что (1) имеет абсолютный экстремум в классе С~ [а, 6], то тем самым доказано, что соответствующая краевая задача имеет репсение. Методы решения граничных задач для дифференциальных уравнений, основанные на исследовании экстремума соответствующего функционала, называются вариационными методами решения граничных задач. Можно, нэлример, доказать существование и единственность решения граничной задачи вида [Р(х)у] — й(х)у =,((х), Р(х) Е С[аЬ], р(х) ) О, д(х) Е 4[а Ь], у(х) > О, ,((х) Е С~а, Ь], у(а) = А, у(Ь) = В, рассмотрев задачу на абсолютный минимум функционала ,7(у) = / [р(х)у~+ о(х)уз+ 31(х)у] <(х к в классе функций у(х) е С~[а, 6], удовлетворяющих заданным граничным условяям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
