1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Теорема 2. Ясли у(х) е М дает слабый локальный минимум (соответственно максимум) функционала (1), то необходимо, чтнобн длл у(х) вннолтиьтось условие Лежандует Р(х) > 0 (условие Лежандра Р(х) < 0). 1 7. Достаточные условия слабого локального зкстремума О пусть для определенности у(х) е м дает минимум (1). Рассуждаем от противного. Пусть Вхв Е (а,Ь) такое, что Р(хо) < О. Из непрермвностн Р(х) следует, что Зв > О такое, что Р(х) < з~р(хе), 1гх Е [хв — с,хе+ с].
Возьмем функцию х — хо+ в в1пз я х Е [то — с,хе+с], гг(х) = О, х Ф [хо — с,хо+с). Очевидно, гу(х) е ь.г[о, Ь], так как [хо — с,хе+ с] С (о,Ь). Тогда / [Р(х) (ггг(х))з+ гз(х)ггз(х)] г1х = а хааа аа+а 1~ Р(х) — в!и 2к г(х+ ~ Я(х)вгп к г1х < кз . з х — хо+с г" . а х — хо+с 4вз 2с 2с аа-а < + 2в игах Я(х)[ < О, хзр(хв) 4с *е(а,ь! если взять достаточно малое г > О, т.е.
бз,7 [у, г1(х)] < О, что противоречит теореме 1. Ф Неггрицательность СЗХ[у,г1(х)] — необходимое, но не достаточное условие локального минимума. Перейдем к получению достаточных условий слабого локального экстремума функционала (1). Рассмотрим функционал для фиксированной функции у(х) Е М К(у,г)) = / [Р(х) (г1(х))г+ 4)(х)г1з(х)] г1х а на множестве всех гг(х) Е С~[о, Ь]. Он называется квадратичным функци- оналом в Сг[а,Ь].
Определение. Квадратичный функционал К(у,г1) называется положи- тельно определенным, если найдется число гГ > О такое, что ь К(у,ч) >~ ~ [(О'( )) +и'(х)] 1х для ЧО(х) Е С'[а,Ь]. 334 Глава 9. Основы вариационного исчисления Функционал К(у,г1) называется отрицательно определенным, если найдется число Ы > О такое, что ь К(у-,,) < — 1 ~У(х))'+,ч(.)' Ы е для тц(х) й С (а,о!. Теорема 3.
Если длл у(х) й М и Чц(х) й С'(а,о! И(у г1(х)! = О и К(у,г1) — положительно определенный квадратичный функционал, пю функция у(х) й М дает строгий слабый локальный минимум функционала (1). Если же длл у(х) й М и ЧО(х) й С~[а,о! Юд(у,г1(х)! = О и К(у, г1) — отрицательно определенный квадргтичный функционал, то функцил у(х) й М дает строгий слабый локальный максимум функционала (1), Замечание. Сляоый локальный минимум для (1) называется строгим, если равенство,7(у) =,Цу) справедливо лишь прн у(х) гя у(х) на [а,о]. О Пусть Чг1(х) Е С~(а,б].
Разлагая функцию Р по формуле Тейлора, по- лучаем, что ь Г (ЕР дР 11д(У) = д(У+Ц) г(У) = ( ~ ]г=гц 1'9(х)+, ]г=гц >'ч (х) дх+ а даР е [6= ".И" где сь(х) = е;(у(х) г1(х)], так еуьь) ]еь(х)! -ь О, ]]ц]]й (,ь) -ь О, ь = 1,2,3. Отсюда ь 1 . 1 Г 2 ' 2,/ е ь ь где !'е(х)дх = )'[сь(х)цг + 2ег(х)п г1' + ег(х)гусь] дх. е а Так как 2]гф! < цг+ г1'~, то 2 / ег(х)тЯ Вх < / ]ег(х)](71 + г1 )дх.
Ь?. Достаточные условия слабого локального экстремума Следовательно, е(х)дх < / [([е) (х)! + [ег(х) !) )г + ([ег(х) ! + [ез(х)[И~) дх < ь < 2Е(тт) / [Пг(х) + т) г(х)) дх, в где Е(т)) = тпах*е!вь! Иет(х)[,[ег(х)[, [ез(х)!). Так как п)ах е! й !еь(х)! -ь О ПРИ [[тг(Х)[[С)!вЬ! ~ О, 'ГО Иайдстея ЧИСЛО Е > О таКОЕ, Чта 2Е(П) < ))ттг(х) б С) [а, Ь), [[О(х) [[г) (,,ь! < е. Если К(у,т)) — положительно определенный функционал, то при так выбранных п(х) ~ О имеем дтд(у) > — / [тгг(х) + тг)г(х)! дх ) О, г — г/ а т.е. имеем строгий слабый локальный минимум. Если же К(у,тт) — отрицательно определенный функционал, то при выбранных выше т)(х) ф О получаем дьЩ) < О, т.е.
имеем строгий слабый локальный максимум. ° Условия теоремы 3 трудно проверяемы па практике. Поэтому приведем более простые достаточные условия для слабого локального экстремума (1). Заметим, что уравнение Эйлера для функционала (3) имеет вид — Р(х) ~ — О(х)тг(х) = О, х б [а,Ь]. ь1 д ~ дт)(х)1 (4) Уравнение (4) называется уравнением Якоби. Здесь коэффициенты Р(х) и )а(х) зависят от функции у(х) б М. Говорят, что точка с б (а, Ь) является сопряженной с точкой а, если уравнение Якоби (4) имеет решение П(х) р1 О, тт(а) = О, такое, что тг(с) = О.
Определение. Говорят, что для у(х) б М выполнено условие Якоби, если (а, Ь) ие содержит точек, сопряжеииых с точкой а. Говорят, что для у(х) б М выполнено усиленное условие Якоби, если (а,Ь) ие содержит точек, сопряженных с точкой а. Лемма. Пусть выполнены усиленное условие Лежандра и усиленное усло- вие Якоби. Тогда Что(х) б С) [а,Ь! тявкал, что ь т(т,т)-т' Р)*) [ь а)т — з е)! т*. ю(х) Р(х) в ззб Глава 9. Основы вэриецноииого исчисления О Для У(1(х) й С'[а,Ь] и Что(х) й Ст[а,Ь] ь [то(х) из(х)] ((х = О. а Добавляя к интегралу (3) это выражение„получаем (Р(х) > О): ь И.
-"" 2 (пи+ от' г] Р Р е Потребуем, чтобы тождественно на [а,Ь] выражение в квадратных скобках было полным квапратом, т. е. чтобы дискриминант тождественно обращался в нуль на [а,Ь]. Это означает, что и((х) должна удовлетворять уравнению Риккати на [а, Ь]: Р(х)ш' — и(з + Р(х) 0(х) = О. (5) Если такое решение (5) и((х) существует иа [а,6], то ь 2 «во =) т( ( [«(*(+ — «(*(] и((х) Р(х) е Таким образом, доказательство леммы свелось к доказательству существования решения уравнения Риккати (5). С этой целью сделаем в (5) замену и( = — — '„' Р, где и = и(х) — новая неизвестная функция.
Уравнение (5) примет вид (5'): ди1 — ~Р(х) — ~ — (е(х)и = О. (5') д*1 Если показать, что уравнение (5') имеет на [а, Ь] решение ив(х) эг О, то в силу замены функция и((х) будет построена. Для (5') существует и единственно решение и((х), удовлетворяющее начальному условию и((а) = О, й((а) = 1, так как Р(х) > О на [а,Ь]. Тогда ит(х) > О, (((х б (а,Ь], так как выполнено усиленное условие Якоби. Решение (5') ио(х) с начальным условием ио(а) = е, и(е(а) = 1, где с > О и достаточно мало, существует, единственно на [а,6] и непрерывно зависит от е. Так как ит(х) > О, тх б (а,Ь], то ив(х) > О, (((х й [а,Ь]. Теорема 4.
Пусть: 1) бд [у,т((х)] = 0 длл у(х) б М и любой допустпимой т1(х), 2) длл у(х) на [а, Ь] выполнено усиленное условие Лежандра, 3) длл у(х) иа [а, Ь] выполнено усиленное условие Якоби. Тогда у(х) дает у(уик(гионалу (1) спьрогий слабый локальный минимум. 0 Из леммы следует, что К(у,(1) > О, Ут1(х) й С([а,Ь]. Покажем, что К(у,(1) > О при (т(х) у! О. Если Зтте(х) такая, что К(у,т(ь) = О, то фуик- 1 7. Достаточные условия слабого локального экстремума ционвл К(у,п) достишет на»)е(х) абсолютного минимума.
Поэтому пэ(х) удовлетворяет уравнению Эйлера (4). Кроме того, так как К(у,»п) = 0 и выполнено условие Р(х) > 0 на [а,Ь], то из представленвя К(у,зе) в лемме слелует, что пс(х) + — Ое(х) = О, Чх Е [а, Ь]. ш(х) Р(х) т.е. Ое(а) = »1е(а) = О, так как»1е(х) б С'[а,Ь!. По теореме единственности Ое(х) ш 0 па ]а, Ь]. Итак, К(у, »1) > 0 при П(х) р~ О. Пусть р = пнп е(мь) Р(х) > О. Покажем, что для Чп(х) Е ь.' [а, Ь] ь К(р,»)) > — [ [О'(х))»(х. Рассмотрим функционал Для него уравнение Эйлера имеет вид (7) — Р— -р — — ~О = О.
Покажем, что это уравнение имеет положительное решение на всем [а, Ь]. В самом деле, пусть пе(х) — решение этого уравнения с начальным условием по(а) = О, пе(а) = 1. Так как пе(х) > О при Ух Е (а,Ь] изза выполнения усиленного условия Якоби, то по теореме о непрерывной зависимости решений от параметров решение п(х) уравнения (7) прн начвльнык условняк п(а) = с, и'(а) = 1, где малое с > О, существует, единственно и положительно на всем [а, Ь]. Но тогда для функционала К(у,п) выполнены условия леммы. Из леммы следует, что К(р,н) > О, Поэтому 2» 2,/ а а т.е. неравенство (6) установлено.
Покажем теперь, что квадратичный функционал (3) является положительно определенным в Сг[а, Ь]. В самом деле, так как О(а) = О, то п(х) = ]»1'(8)й и по неравенству Коши — Буняковского о ! 2 ь О (х) = / ту'(С)й С (Ь вЂ” а) ~ту' (х)айх, Чх Е [о,Ь]. е а ззв Глава 9. Основы варивциоииого исчисления Отсюда ь ь "(х)'> У"(*)"* 1 (6 — а)г а ь Тогда при Чт1(х) О ~0[а,Ь[ ь ь К(р,ь)) > р~ П~(х)г(х > -р~ гг~(х)й + 2,/ 4,/ а а ь ь + ~ гг~(х)ах > ьь (' [О' (х) + п~(х)] с1х, ь ь где Н = тш(В, ц — Щà — т~). Теперь теорема 4 слалует из теоремы 3.
° Замечания. 1) Достаточные условия для строгого слабого локального максимума получаются, если условие 2) теоремы 4 заменить усиленным условием Лежандра вида Р(х) < О, Ух б [а,Ь). 2) Если условие 3) теоремы 4 не выполняется и найдется точка се (а,Ь), сопряженная с точкой а, то можно доказать, что р(х) не дает слабого локального минимума.
Отсгода следует, что условие Якоби, если выполнено усиленное условие Лежандра, необходимо для слабого локального минимума. Пример. Исследовать на слабый экстремум а ,У(р) = / [р'з(х) — р'~(х)~ дх, у(0) = О, у(а) = А, а > О. о г3 Допустимая экстремаль: р(х) = + Так как Э— г — — 2(Зр' — 1), то Р(х) > 0 при ЗА > а и Р(х) < 0 при ЗА < а, т.е.
выполнено усиленное условие Лежандра при ЗА Ф а. В данном случае уравнение Якоби 3~; [Р(х)ф) = 0 прн и(0) = 0 имеет решения и = сх. Они не имеют нулей при Ух б (О,а) т.е. при ЗА ~ а выполнено усиленное условие Якоби. Из теоремы 4 следует, что при ЗА > а допустимая экстремель дает слабый локальный минимум, а при ЗА < а допустимая экстремвль дает слабый локальный максимум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
