1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Задача Лагранжа тогда геометрически означает (см. рис. 3), что требуется найти среди всех непрерывно диффереицируемых кривых т, лежащих на гадливой поверхиости Я и соединяющих заданные точки Рг, Рг, такую кривую, которая дает слабый локальный экстремум интегралу (1). Задачу Лагранжа можпо решать методами, аналогичными методам решения задачи иа условный экстремум для функций многих переменных.
Прямой метод заключается в том, что разрешают условие связи у(х,у,г) = О отпосительио у или г, найденное выражение подставляют в иитеграя (1) и получают уже простейшую вэриациоииую задачу для 3(г) или,7(у). Однако прямой метод проходит лишь для узкого класса функций у(х,у,г). Более удобен для решения задачи Лагранжа метод неопределенных множителей Лаграигка, как и в случае изопериметрической задачи. Составим лаграижиап В = г'(х,у,г,у',г')+ Л(х)у(х,у,г), где Л(х) — любая функция из С[а,Ь], называемая неопределенным множителем Лагранжа.
Теперь можно установить необходимое условие решения задачи Лаграижа. Теорема. Пусть дважды непрерывно диффергнциругмал допуспгимал пара фуюгций (у(х),г(х)) лвллгтсл решением задачи Лагранжа и пусть 2 ~-З(-йф-"~*— )] + ~-2~'фгмг))] > О длл всех х Е [а,Ь]. Тогда сугцествует множитель Лагранжа Л(х) Е С[а, Ы] такой, что пора фуггкций (у(х), г(х)) необходимо на [а, Ь] удовлепгворлепг систлгме уравнений Эйлера вида дб И дЬ дб д дХ вЂ” — — — =О, — — —.— =О. (2) ду дх ду' ' дг Их дг' 33В Глава 9.
Основы варнационного исчисления е~ у(у,х) = / -Ь [ +:[ Г [х,у(х),х(х),у'(х),х'(х)! Нх, а ю ег причем Чх Е (хмхз) г'[х,у,х,у,х~! = г х,у)07(х у) у + 'У] = Ф(х У У) Рассмотрим интеграл г2 0(У) ~ [ .У( ) У( )] ю прн граничных условиях у(х1) = у(х1), у(хз) = у(хз). Поскольку гладкая кривая 7 дает решение задачи Лагранжа, то ее часть 70: у = у(х), х = у[х,у(х)[, х Е [хмхз), тоже является решением задачи Лагранжа в окрестности точки Ре.
В самом деле, пусть для определенности кривая 7 дает минимум. Тогда У(7) > 1(7) для любой достаточно близкой гладкой кривой 7, лежюцей на поверхности Я с концами в точках Р1 и Рз (см. рис. 3). Обозначим через у кривую, полученную из 7 заменой 70 иа достаточно близкую к ней глацкую лугу 7п на Я. Тогда О ~ у(7) — д(7) = у[(7 70) +7о! — 1[(7 70)+ 70! = = д(7 70) + У(70) У(7 70) У(70) = У(70) У(70). Итак, 70 — решение задачи Лагранжа в окрестности точки Ре. Следовательно, проекция 70 на плоскость х,у — кривая у = у(х), х Е [хмхз[, является решением простейшей вариационной задачи для уо(у) т.е.
У(х) необходимо на [хмхз! удовлетворяет уравнению Эйлера дФ д дф) — — — ш О, х Е [х0,хз!. ду Ых ду'~ „„.(, (3) Выразим в (3) производные от Ф через производные от г и д. Используя формулу производной сложной функции Ф, что законно в силу свойств О Фиксируем произвольную точку Ро(хо,у(хо) д(хо)) гладкой кривой у: у = у(х), х = д(х), х Е [а,Ь[, В втой точке, по условию теоремы, по крайней мере одна из производнык ф у~ отлична от нуля.
Пусть для определенности -яд=;") Ф О. Так как д(Ро) = О и в некоторой окрестности Ро функция дважды непрерывно днфференцируема, то по теореме о неявной функции найдется такая дважды непрерывно дифференцируемвл в окрестности точки (хо,у(хо)) функция г = ср(х,у), что д [я,у,у(х,у)! ш О и $+ Щ ф = О в окрестности точки (хшу(хе)). Пусть окрестностью хо является (хмхз).
Тогда Ь б. Задача Лагранжа гладкости функций г' и х, получаем; дФ др дГ ду дР / дэу дать -= —.— — -~ —.— ' ') ду ду дх ду дл' [,дхдр дрз дФ дЬ' дР ду — = — + —.— ду' ~' дх' ду ' дФ 4 др ду ь( др дР / дзуь дту — = — — + — — + — ~/ — '+ — ';). 4х ду' <(х ду' ду 4х дх' дь" ~дрдх дрз Подставляя в (3), находим, что Но по теореме о неявной функции (Щ Эь 0) Чх Е [хмхз] дд [х,у(х), х(х)] дд [х, Цх), х(х)] дскб [х, у(х)] ду дх ду Учитывая это обстоятельство, предыдущее тождество запишется так: (4) Полагая ( вл в вл 1 'В» 2х ' Б 2( в й~ у=эд*) и учитывая вид лаграижиаиа Ь, из (4) получаем, что пара функций (у(х),х(х)) удовлетворяет системе уравнений Эйлера (2) в окрестности точки хэ е [а,Ь]. 'як как точка хо — произвольная, то пара (р(х),х(х)) удовлетворяет (2) иа всем [а,Ь].
Определение. Всякое решение системы уравнений Эйлера (2), являющееся допустимой парой функций, называется допустимой зкстремэлью задачи Лагранжа. Из доказанной теоремы следует, что всякое решение задачи Лагранжа необходимо является допустимой экстремэлью этой задачи. Кроме того, всякое решение задачи Лагранжа является экстремалью некоторой проь стейшей вариационной задачи для функции Лагранжа ] Х Их.
О Пример. Среди всех кривмх иа сфере с центром в начале коордииаг радиуса Н, соединяющих две заданные точки сферы, найти кривую 331 $7. Достаточные условия слабого локального экстремума 37. Достаточные условия слабого локального экстремума Как известно, для функций конечного числа переменных исследование второго дифференциала дает дополнительные необходимые условия для максимума и минимума, позволяющие их различать, а также досюточные условия максимума н минимума.
Аналогично поступают и в случае функционалов. Рассмотрим функционал ь .7(р) = / Р [х»р(х),р (х)]»ьх, (1) а где а и Ь-заданные числа„а < Ь, и Р(х,р,р) — заданная трижды не- прерывно дифференцируемая функция при Ух Е [а,Ь] и ь»(у,р) Е»с1 р с областью определения в Сг[а,Ь] М = (р(х) Е С» [а, Ь): у(а) = А, р(Ь) = В), где А и В-заданные числа Введем понятие второй вариации функционала (1).
С этой целью возьмем р(х) Е М, произвольную функцию О(х) Е С'[а,Ь], произвольный параметр а Е 11 и рассмотрим при фиксиРованных р(х),ц(х) ь Ф(»г) =,Т(р+ пп) = / Р[х,р+ а»1,р'+ а»1']»1х. а '1ак как Р[х, р + а»1, р' + а»1'] — трижды непрерывно дифференцируемая функция х Е [а,Ь] и [а] ( с при 1»с > О, то по теореме из курса анализа Ф(сг)-дважды непрерывно дифференцируема в окрестности а = О и Ф"(О) = Ф ("+"")[ [а=о ь 7 ГлгР ВгР ОгР = » [ —.»'»*)+» —,»»*»»»*»» — (»эс ]»*.
у [Ор' ' бра~ ' Вр а Определение. Выражение Ф"(О) = — ~+э — '*э~ [ е называется второй ва риацией функционала (1) и обозначается бг,у[у,»1(х)], где»1(х) — произвольная функция, принадлежащая С'[а,Ь]. Преобразуем б~.» [у,»1(х)[, проинтегрировав второе слагаемое по частям: ь б,7 = »гг(х)1 + ~ [~ — — — — ] Ог(х) + — [Л'(х)) ~ Нх. 3 31У ' ~, . ( '[[, арг Ах ОрагУ,] Орп ЗЗ2 Глава 9.
Основы вариацкоиного исчисления Внеинтеграньное слагаемое равно нулю, так как т7(х) е Ст[а,6], Положим аз Р [х, у(х), у'(х)] дул дзР[х,у(х),у'(х)] д дзР[х,у(х),у'(х)] др д* ауау Окончательная формула бз,Г [у, т1(х)] выглядит так: ь б У[у,т1(х)] = у~ [Р(х)(т1')з + (с(х)цз] Их, (2) е где тт7(х) Е С~[а,Ь]. Определение. Будем говорить, что для у(х) на [а,Ь] выполнено условие Лежандра, если Р(х) > О, тх Е [а,Ь]. Если Р(х) > О, ох Е [а,6], то говорят, что для р(х) на [а,Ь] выполнено усиленное условие Лежандра Теорема 1.
Ясли у(х) Е М даетп слабый локальнна минимум,У(у) (соответстлеенно максимум У(у) ), то неоБходимо бз,7 [у, т7(х)] > 0 (соответственно бз,7 [у, т1(х)] < 0) длл всех тт(х) е Ст [а, 6]. О Пусть для определенности у(х) е М дает слабый локальный минимум У(у). Допустим противное, что бт.У[у,т1(х)] < 0 для некоторой т1(х) С~[а,Ь]. Рассмотрим семейство функций у(х) + от7(х), где ст Е Я, т7(х) Е С'[а,Ь]. Тогда, разлагая Р по формуле Тейлора в окрестности а = О, получаем г ,7(у+ от1) —,7(у) = обУ(у, т1) + — бе У(у, и) + е(а)г(у, т7), где ь 7[дР дР б У(у, т1) = [ — . т1(х) + —, ц'(х) т7х, У' '[ау „„,, ау „„,, с(о) -+ 0 при о -л О.
Так как по условяю у(х) дает минимум (1), то бд(у,т1) = 0 и, значит, знак правой части при достаточно мапых о совпадает со знаком б~б(у,ц), т.е..У(у+ от7) — У(у) < О, что противоречит условию минимума. Ф Для практического применения более удобным является следующее необходимое условие слабого локального минимума (соответственно максимума).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
