1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Пусть теперь ЗА = а. Покажем, что допустимая экстремаль не дает слабого локального экстремума. При Чц(х) б С~[О,а) а а у(гу+ гг) у(у) ~[зуггг + газ „'гух = / О з(х)~Ьх. г 7. Достаточные условия слабого локального экстремума Если взять г!„(х) = фз1п"— "*, где п — любое целое ненулевое чнэ ело, то нетРУдно Увидеть, что ) Оэз(х)г)х ыенает знак пРн кэмененни о знака и.
Это значит, что прн ЗА = а нет слабого локального экстремума. ,й э"пражненнн к главе 9 1. Решить простейшую вариационную задачу: г ,У(у) = / (Зх~уу' — х~угг + — Их, у(1) = О, у(2) = —. ! 2. Найти допустимые экстремали функционалов: хУ4 а) ,У(р) = У' [(р')г — уг + 4у соэ х] Их, у(0) = О, е г б) У(у) = [ [х(у')г — 8хгр' + 16ху — ~уз] 4х, ! т/г в),У(у,з) = ( [-(у') +(х') +2рз+2ху]сУх, у(0) = -1, х(0) = 1, е у ($) = О г (г] = — ч.
! г),У(у) = ] [ — (уэ) + (р') + 24ху] !Ух, у(0) = у(1) = О, р'(0) 2, у'(1) = -4. 3. Найти допустимую зкстремаль и выяснить, при каких значениях параметра а на ней достигается минимум функционала ,У(р) = / [х+ х +у +а(у') ] !Ух, У(0) = О, У(1) = 1. э 4. Каким необходимым граничным условиям удовлетворяет функцяя, дающая мянимум функционалу У(у) = ~ [(у')г+ У(х,у)] с1х+ 2у(а) . У(Ь), а если У(х,р) — заданная дважды непрерывно днфференцнруемая функция на всей плоскости х,уу 340 Глава 9. Основм варналнонного ночи б.
Решить изопериметрическую задачу: н л .Цу) =~(у') Их, у(0) =1, у(н) = — 1, ~усовых= —. о о б. Найти минимум функционала 1( ) /( ю)2Д о Литература ч 1. Айке Э.Л. Обыкновенные дифференциальные урвзиеякя. — Харьков: ОНТИ, 1939. 2. Акдрояов А. А., Ватт А. А., Хайкин С.Э. Теории колебаний. — Мл Физмапнз. 1959. 3. Арнольд В. И. Обыкновенные дяфференциаэьные уравневяя, — М.: Наука, 1975. 4. Ахяеэер Н.И. Лекции по вариационному исчислению — Мл Соогехиэдат, 1955. 5. Ваутик Н.Н., Леонтович Е.А.
Методы н приемы качественного исследования систем на плоскости. — М.: Наука, 1976. 6. Веклемишев Д. В. Куре зяадитнческой геометрии и линейной алгебры. — Мл Наука, 1984. 7. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. — Мл Высш. шк., 1991. 8. Вугров Я. С.. Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Рады. ФКП. — Мл Наума. 1985. 9. Влисс Г.
А. Лекции по зариацкоияому исчислению. — Мл ИЛ, 1950. 10. Вуслаев В. С. Варнециониое исчисление. Лл Изд во ЛГУ, 1980. 11. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференцналь. ных уравнеяий. — Мл Мир, 1968. 12. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимнтоткческие методы з теории сингулярных воамущений. — Мл Высш.
шк., 1990. 13. Владимиров В.С. Уравнения математической фяэики. — Мл Наука, 1976. 14. Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Краткий куре теории экстремальных задач. — Мэ Иад-во МГУ, 1989. 15. Девин А. А. Общяе вопросы теории граничных задач, — М.: Наука, 1980. 16. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегрелькые преобразования и операционное исчисление. — М.< Наука, 1974. 17.
Еругия Н. П. Кинга для чтения по общему курсу дифференциальных уразке. ияй. — Минск. Иэд-во <Наука и техника<, 1972. 18. Ибрегимов Н. Х. Опыт группового аналиаа обыкновенных дифференциалькьп< урввнекий. — М.: Эиакне, 1991. 19. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сеидов В.Х. Математический анализ.
— Мл Наука, 1979. 20. Хамке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — Мл Наука, 1976. 21. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных пронмюдных первого иорлдка. — Мл Наука, 1966. 22. Карташев А. П., Рождественсккй Б. Л. Обыквовеянме дифференциальные уравнения и основы варязциониого исчисления.
— Мл Наука, 1980. 23. Коддикгтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уразаений. — Мл ИЛ. 1958. 24. Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыккозениыи диффереициельным уравнениям. — М.: Высш. шк., 1978. 25. Кудрявцев Л. Д. Куре математического анализа, — Мл Высш. шк., 1981, т.
1, 2. Литература 26. Курант Р. Уравнения с частными проимюдкымя. — Мл Мнр, 1960. 27. Лаврентьев М.А., Люстерияк Л. А. Курс зарнзционного исчисления. — Мл Лз Гостехиздат, 1950. 28. Лнзоркнв П. И. Курс дифференциальных и иятегральных уравнеянй. — М.: Наука, 1981. 29. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — Миаскл Вышейпз, школа, 1974. 30. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — Мл На. ука, 1983. 31.
Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. — Мл Наука, 1969. 32. Никольский С.М. Курс математического анализа. — Мл Наука, 1983, т. 1, 2. 33. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравке. яий. — Мз Лл Гсстех издат, 1949. 34. Озсяяников Л. В. Групповой аиалкз дифференциальных уравнений. — Мл Наука, 1978. 35.
Петровский И. Г. Лекции по теоряи обыкновенных дифференциальных уравпеннй. — М.: Наука, 1984. Зб. Поитрвгпк Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Мл Наума, 1982. 37. Самойленко А.М.. Кривошея С. А., Перестюк Н.А. Дяффереяциельиые уравнения. Примеры п задачи. — Киев: Внша школа, 1984. 38. Сзнсоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: ИЛ, 1953, т. 1; 1954, т. 2. 39. Сидоров Ю.Б., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теория функпяй комплексного переменном.
— М.: Наука, 1982. 40. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — Мл Наука, 1974, т, 2: 1969. т. 3, ч. 2; 1974, т. 4, ч. 1. 41. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — Мл Фязматгяз, 1959. 42. Тер-Крикороа А.М.. Шабунин М.И. Курс математического анализа.
— Мл Наука, 1988. 43. Тихонов А.Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. — М.. "Наука, 1979. 44. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. — Мл ИЛ, 1962. 45. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные урзвяеяив. — Мл Наума, 1984. 46. Филиппов А. Ф. Сборник задач ко дифференциальным уравнениям. — Мл Наука, 1992. 47. Хартиям Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Мл Мир, 1970.
48. Эльсгольц Л. Э. Дифференпиельные уравнения н варнационвое исчисление. — Мл Наука, 1969. 49. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с нривожевнами. — Мл Мир. 1986. Предметный указатель ю. Бифуркацня, 240 Квазнмногочлен, 66 Жорданова цепочка, 80 Абсолютный экстремум функциокала.
292, 318 Асимптотнчески устойчивое положение равновесия, 242 Дифференциальное уравнение первого порядка в нормальной форме — — — — линейное, 24 — — — — не разрешенное относительно производной, 34 — — — — однородное, 21 — — — — в симметричной форме, 16 — — порядка и, 41 — — — — линейное с постоянными козффициентамя, 52, 57, 65 — — — — — с перемеккмми коаффиппеятами, 1 71 — — с малым параметром прн старшей произаодяой, 205 Зависимость решения задачи Коши ст параметроз н начальных данных, 139 Задача Волъца, 316 — граничная. 185 — иаонериметрическая. 322 — Лаграяжа, 326 — простейшая варнацнонкая, 291 — с подвижной границей, 313 — со свободным концом, 310 Задача Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме, 16, 17 — — — — — — не разреженного относительно производной, 34, 145 — — — — порядка и в нормальной форме, 42, 122 — — — линейного урзвнеяял порядха и, 172 — — — нормальной системы уравнений, 118 — — — нормальной линейной системы уравнений.
155 — — — — в частных производных первого порадка, 265, 276, 28 Изокаина, 13 Интеграл первый, 251 — полный, 286 Интегральная крявая, 13, 16, 34, 41. 117 — поверхность, 261 Интегрирующий множитель, 31 Лемма Грояуолла, 116 — основная варяационкого нсчнслевня, 294 — об эквивалентности. 118 Лянеариящяя нелинейной автономной системы, 231, 247 Линейная зависимость репгений, 159, 174 Локазьный зкстремум функционала, 291 — — — сильный, 318 — — — слабый, 292, 302. 304, 308, 310, 322, 326 Матричная вксповевта, 94 Метод варяацнн постоянных, 25. 168, 181 — введения параметра, 34 — исключения. 73 — неонределевкых козффицнентов, 68, 86 — операцконный, 103 Многочлен дифференциальный, 52 — характеристкческий, 53 Неустойчивое положение равновесия, 242 Определитель Вронского, 163, 176 Особая точка, 17, 146, 239 Поле исправлений, 13, 17 Положение равновесия, 215 Предметный указатель Предельный цикл, 235 Преобразование Лапласа, 103 Производная в силу системы, 247, 251 Рыпенне дифференциального уравнениа 12, 16, 34, 41 — вепродолжимое, 127 — общее, 61, 76, 83, 88, 182, 176, 264 — особое.
125, 146 — параметрическое, 16 — системы дифференциальных уравнений, 11Т Седло, 30 Система диффереяциальнмх уразнеякй, 117 — — — автономная, 212 — — — камокическая, 127 — — — нормальная, 117 — — — линейная с переменкымн коэффициентами, 155,158, 16Т вЂ” — — — — постояивыми коэффициентами, 73 — — — Эйлера, 802, 827 Собственные значения граничной задачи, 191 — фуккцин граничной задачи, 191 Теорема Жордэна. 80 — Лиувилля, 220 — Ляпунова, 245 — о выпрнмленин траекторий, 218 — о линеарязации, 231 — Штурма, 195 Узел вырождеияый, 225 — днкритический, 225 — неустойчивый, 224 — устойчивый, 223 Уравнение Бернулли, 28 — Бесселя, 65, 202 — з вариациях.
13Т, 142 — в пояных дифференциалах, 29 — з час~ных производных первого порядка, 261 — — — — — — линейяое однородное, 263 — — — — — — квазиликейвое, 271 — — — — — — келияеймое. 281 — раарешимое з квадратурам, 18 — Риккати, 18, 28 — с Разделяющимися перемеявымн, 20 — характеристическое. 58 — Эйлера, 26, 61. 295, 311, 313, 316. 323 — Эйлера-Пуассона, 805 — Эйлера. Остроградскою, 309 — Эйри, 199 Условие достаточное для слабого локального экстремума, 334, 336 — Лежандра, 332 — Липшица, 114.
119 — начальное, 15, 40, 42, 74 — Якоби, 335 Устойчивость по Лапуяову пеленания равновесна, 241 Фазовая траектория. 213 — скорость, 215 Фокус, 227 Формула Коши, 180 — Лкувплля-Остроградского, 164, 17Т Фундаментальная матрица. 162 — система решений. 160, 175 Функционалы, зависящие от нескольких функций, 301 — содержащие производкыс высших порАДКОВ, 304 Функция Грина.
188 — Ляпунова, 247 Характеристическая полоса, 281 — система, 263, 272, 262 — точка. 265, 278. 284 Центр, 228 Экстремаль аадачи Больца. 317 — — наопериметрической. 324 — — Лагранжа, 329 — — с подвижкой границей, 315 — — со сэободяым концом, 312 — фумкциовала, 296, 303, 306, 309 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
