1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Если взять некоторое с > О, то прн [а! < с, х б [о,Ь) подынтегральная функция Р и ее производная по а в силу наложенных на Р условий являются непрерывными. Тогда по известной из курса анализа теореме Ф(а) = 7(у+аг7) является дифференцируемой функцией а при [а[ < е и по правилу Лейбница Ф'(О) = —,7 [у(х) + с Ч(х))! ь ( дР [х, у(х), р'(х)! дР [х, у(х), у'(х)! 7' ду ь Определение. Допустимым приращением (вариацией) функции у(х) б М называется любая функция п(х) б С~ [о, 6). Выражение ~~.7 [у(х)+ аь7(х))[ е, где ь7(х)-любая функция нз С'[е,Ь), называется первой вариацией функционала 7(у) на функции у(х) и обозначается 6.7[у,о(х)[, се(х) б ь.ь[а 6! Таким образом, вариация функционала (1) б,7[у,п(х)! = ~ дР [х, у(х), р'(х)! дР [х, у(х), у'(х)! ( ) 'д,' '( )7~ () ду' где й(х) — любая допустимая вариация функции р(х) б М. Отметим, что первая вариация б,7(у,р(х)! линейно зависит от д(х) и р'( ) 294 Глава 9.
Основы вврнециовного всчнсяевкя Замечание. Данное здесь определение первой вариации (по Лагранжу) функционала (1) является одним из аналогов определения дифференцяапа функций многих переменных 7(х). Для функционалов возможны я другие определения аналогов дифференциала таких функций: тах называемые сильный дифференциал (дифференциал Фреше) функционала и слабый дифференциал (дифференциал Гата) функционала.
Теперь можно доказать необходимое условие решения простейшей вариационной задачи. Теорема 1. Если у(х) Е М является решением простейшей оариационнвй задачи, то необходимо А7[у,г7(х)] = 0 для любой допустимой 0(х). О Пусть для определенности у(х) Е М дает слабый локальный минимум для функционала,7(у), т.е.
Зе > 0 такое, что .7(у+Ь) >,7(у) для тЬ(х) Е 1'[а,6], для которой ]]Ь(х)[] с е. Положим Ь(х) = сщ(х), где а Е 76, п(х) Е С'[а,Ь]. Тогда у(х) + Ь(х) Е М и для достаточно малых ]сг! при фиксированной 0(х) ]]Ь][ш (е,ь! = ]а! ~шах ]й(х)]+ шах]0'(х)! ( е, (а,ь! Ф(а) =,7(у+ ат7) >,7(у) = Ф(0), Это значит, что днфференцнруемая функция Ф(а) имеет минимум пря а = О. Значит, Ф'(0) = О, н тогда 6,7 [у, п(х)] = Ф'(0) = О, Уй(х) Е 1~ [а,6].
яЬ Теорема 1 является неудобной для практического использования. Что. бы получить удобное для практики необходимое условие решения простейшей вариационной задачи, предварительно установим лемму, которая в силу своей важности носит название основной леммы варнационного исчисления (или леммы Лагранжа). ь Лемма. Если 7(х) Е Ца,6] и /7(х)0(х)дх = 0 для чь7(х) Е С~[а,Ь], те е 7(х) ш 0 на [а, Ь].
О Рассуждаем от противного. Пусть У(х) 9$ 0 на [а, 6], Тогда Эхо Е (а,6) такая, что 7(хе) Ф О. Пусть для определенности 7(хе) > О. Из непрерывности 7(х) на [а,Ь! следует, что Зе > 0 такое, что 7(х) > 97(хе), тх е [хо — е,хе+ е] с (а,Ь). Возьмем [х — (хе — е)] .
[х — (хе+ е)], х Е [хо — е,хе+с], 0(х) = О, х т [хе — е,ха+ с]. $1. Простейшая вариациониая задача Нетрудно проверить, что функция с1(х) б Сг[а,Ь]. По интегральной тео- реме о среднем получаем, что /(х)с1(х)дх = / Дх)сг(х)дх = а со — с *оас со+с 1 = ~(~) / г1(х)дх ) -~(хо) / с1(х)дх ) О, ао-с ао — с где ~ б [хо — е,хо+с]. А это неравенство противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение о том, что г"(х) ф О на [а, Ь] неверно, Лемма доказана. Теорема 2. Пусть функция Р(х,у,р) — дважды непрерывно диф4еренцируема при ах й [а, Ь], а(у, р) б В1з„„>.
Если дважды непрерывно диф4еренцируемая функция у(х) является решением простейшей вариационной задачи, то необходимо функция р(х) на [а, Ь] удовлетворяет уравнению Эйлера дР д др — — —.—,=О ду дх ду' (здесь е — полная производная по х). О Если у(х) — решение задачи, то в силу теоремы 1 б.У[у,п(х)] = О для любой допустимой вариации с1(х).
Учитывая, что с1(а) = с1(Ь) = О, проинтегрируем по частям слагаемое, содержащее ц'(х) в формуле (4). Это законно, так как выражение с1 др[х,р(х),у'(х)] я л ь=Ис) в силу условий теоремы 2 является непрерывной на [а,Ь] функцией. ИмеЬ с[ос!,,с~а рьо ась,с(а,сьо, 1 а ь дР[х,р(х),р'(х)] ]ь Г (дР д дР) Ц( )~ +з) ~ — — — —,1 Ц(х)д*= ду' ~,, / [ ду дхдр'~„„.11 а ь а Глава 9. Основы вариациоиного исчисления Поскольку функция г)(х) е ь'.~[а, Ь[, а функция [ дР(х, у, у') ~1 дР(х, у, у') ) г э=й(*) является непрерывной на [а,6[, то в силу основной леммы вариациоииого исчисления дР(х, у, у') Н др(х, у, у') 1 ду ((х ду' /„й(,) Это значит, что у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера (5). Определение. Всякое решение уравнении Эйлера (5) называют экстремалью функционала (1).
Всикал же экстремаль у(х) функционала (1), являющаяси допустимой функцией, т.е. у(х) Е М, называется допустимой экстремалью функционала (1). Иэ теоремы 2 вытекает, что только среди допустимых экстремааей (1), т.е. среди экстремалей (1), удовлетворяющих граничным условиям (2), нужно искать решение простейшей вариационной задачи. Замечание.
Условие непрерывности ул(х) в теореме 2 было иаложеио лишь с целью упрощения доказательства теоремы 2. Используя так называемую лемму Дюбуа-Реймоиа, можно доказать теорему 2 и без предположения иепрерывиости у" (х). Более того, если ~~Д[ )Е О, то мож1т=9(х) ио доказать и непрерывность у"(х) на [а,Ь[. Уравнение Эйлера (5) является дифференциальным уравнением второго парилка при у г ф О, так как, найдя полную производную — „. чт, В'и в вг его можно записать в виде др дгР дгр дгР— — — — — у'- — у"=О. ду ду'дх ду'ду ду'г Следовательно, экстремали функционала (1) образуют двухпараметрическое семейство у(х, См Сг).
Допустимые экстремэли функционала (1) нэ ходят, определяя параметры С(,Сг из граничных условий (2). у(а, Сг, Сг) = А у(Ь Сг Сг) = В. Из этой системы ие всегда можно однозначно определить параметры СпСг. Эта система ие всегда имеет решение, а если решение существует, то оио может быть ие единственным. Пример 1. Решить простейшую вариациопную задачу У(у) / с* [(у')г + буг[ дх, у(-1) = О, у(1) = 2е в)г5.
-1 2йт $1. Простейшая вариэциоиная задача Ь Экстремали заданною функционала найдем, решая уравнение Эй- лера 12е~у — — (2егр') = О. Нх После упрощеиий оно принимает вид р" + у' — бр = О. Его решения р = С!е з*+ Стезя и будут зкстремалями. Допустимые экстремали находятся подстановкой формулы зкстремалей в граничные условия.
В результате вычислений иаходим, что допустимой зкстремалью будет у(х) = е *+з — е з*. Покажем, что допустимая зкстремаль дает абсолютный минимум. Для Щх) б ь; ( — 1,1) имеем: ! .У(у+ и) †.7(р) = / (е* [(р'+!1)!+6(у+о)з] — е* [(р)з+брз]]!1х = — ! ! / е*(2рО'+ 12уп+ (!!') + брз] Нх = -! ! ~е*(ф) +6!1~](1х+ е оп) г+ -! Проинтегрироваииая часть обращается в нуль, так как г1( — 1) г1(1) = О, а последний интеграл равен пулю, так как у(х) — решеиие уравнения Эйлера. Следовательно, получаем, что ! 1(у + !1) — Х(у) = / е* [(О'(х)) + б (г1(х))~~ Нх > О.
-! По определению, у(х) дает абсолютный минимум. В этом простом примере уравнение Эйлера легко решалось. Однако в общем случае уравнение Эйлера решается лишь в исключительных случаях. Отметим простейшие случаи интегрируемости уравнений Эйлера. а) г' = г'(х,у), т.е. г' не зависит от р'. Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид — к,ьы = О и не является аг!эл! дифференциальным уравнением. Его решение у = у(х) в общем случае 29В Глава 9. Основы эариацнонного исчисления не определяет допустимую экстремаль, так как оно не обязано удовлетворять граничным условиям (2), и, следовательно, варнационная задача не имеет решений.
б) Р = Р(х,у)+Я(х,у)р', где Р и (,~ — непрерывно дифференцируемые функции прн х 6 [а,б], д б Й~,. В этом случае уравнение Эйлера имеет вид дР дЯ вЂ” — — = О. др дх Как н в предыдущем случае, уравнение Эйлера — не дифференциальное уравнение и варнационная задача„как правило, не имеет решений. Если же дР дЯ вЂ” — — — = О, ду дх то Р(х, р)пх + Я(х, р)пр се й~(х, р) для некоторой дифференцнруемой функции и(х,р) и функционал Л(у) = 1(Р+ Яу')Ых = 1(РИх+ Яду) а а не зависит от пути интегрирования.
Так как значение У(р) постоянно на множестве допустимых функций, то вариациоиная задача теряет смысл, в) Р ш Р(х,р'), т.е. Р не содержит р, Уравнение Эйлера имеет вид ~ — ф — =О, из чего следует — э-„~ — — С. е агы, '1 агтю" 1 Получили уже дифференциальное уравнение первого порядка, откуда на- ходим экстремалн задачи. г) Р ш Р(9,9'), т.е.
Р не содержит х. Уравнение Эйлера в этом случае имеет внд дР дзР, дзР 9 У вЂ” О. ду др'др дул Умножив его на 9', получим в левой части точную производную Отсюда Р— у'х~.-,г = С, т. е. получили дифференциальное уравнение первого порядка. Пример 2 (эадача о брахнстохроне). Определить кривую в вертикальной плоскости, соединяющую заданные точки Мы Мз, при движении по которой материальная точка под действием силы тяжести скатится из точки М1 в точку Мэ в кратчайшее время (трением и сопротивлением среды пренебрегаем). 1 1.
Простейшая вариациоиная задача Ь Поместим начало координат О в точку Мы ось Ох направим горизонтально, ось Оу — вертикально вниз. Тогда скорость движения материаеьной точки с = Я(!) = ~/~уу. Отсюда находим ~й = ф = бх!) г+д'д! ) пх и время движения материальной точки тдуйй !(у) = — ~' 1 Г 1+ус-'( ) ЛФ д у(х) Их, у(0) =О, у(1) = В. ' е В силу пункта г) уравнение Эйлера дает уравнение первого порядка вида 1+ уп р После упрощений это уравнение примет вид у(1+у ) =С,.
Введем параметр 1, полагая у' = с!ба Тогда получим: у = С~в!и 1 = -С~(! — соз21), 2 2 ~!х = — = пу 2Сгз!лесов! й = 2Сгз!и гд! = Сг(! — сов 21)Ю, у' сея е 1, ! 1 х = С~ 1 — — и!п21~ + Сз = -Сг(2! — з!п21) + Сз. 2 д] 2 Из условий х(0) = у(0) = 0 получаем, что Ст = О.
Таким образом, параметрическое уравнение искомой кривой имеет вид 1 . 1 х = — Сг(21 — з!п2!), у = -С~(! — соз21), 2 2 где С~ определяется нз условия у(1) = В. Параметрическое уравнение задает семейство циклоид и, значит, брахистохроной является циклоида. А Иногда для упрощения решения уравнения Эйлера (5) следует пользоваться ннвариантностью уравнения Эйлера относительно замены переменных в функционале (1). Определим понятие инварнантностн уравнения Эйлера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
