1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Ъгпражнення к главе 7 1. Найти положения равновесия, определить их характер н нарисовать фазовые траектории линеарнзованных систем: < х=е ев — 1, а) р = 1 = 2у — хз, б) х=х — р р = агссб(1 — У2). 2. Начертить траектории во всей фазовой плоскости для уравнения й+х — х =О. з 3. Исследовать поведение фазовых траекторий при различных значениях параметра р для системы < а=Ух — р — х(х +р), р — х + 2!У У(х2 + У2) 260 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнения 4.
При каких значениях параметра а начало координат является для системы < и = — х+ау, у =х — у, асимптотически устойчивым положением равновесия? 5. Прн каких значениях параметров а и Ь начало координат является дли системы < х = ах+ Ьу, у =Ьх+ау, устойчивым по Ляпунову положением равновесия? б. Для системы х = х(х+ у+ х г), у= 3' й = -г(Зх+ 2у+ 2хзх], а) проверить, что функция и = у+лев являеггл первым интегралом, б) найти решение при начальных условиях х(0) = у(0) = 1, х(0) = -1, в) найти все первые интегралы.
г в Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка е Введение До сик пор рассматривались диффереициальиые уравнения отиосительио неизвестных скалярной функции или вектор-функции, зависящих от одяой независимой перемеииой. В настоящей главе будут рассматриваться дифференциальные уравие. иия вида ди ди1 ' дх1 ' ' дх„ / где п > 2, Р(хм,х„,и,ры...,р„) — зацаииая действительная иепрерывио диффереицируемая функция в некоторой области 0(2п+ 1)-мериого пространства с декартовыми прямоугольными коордииатами хм...,х„, и,рп..,,р„и в каждой точке С Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка относительно иеизвестиой функции и = и(хм..., х„).
Определение. Фуикция и =- 1с(хм,хв), звдаииая в области Й простраиства Н"~, называется решением уравиеиия (1), если: 1) 1о(хм...,х„) — иепрерывио диффереицируемая функция в Й, 2) для всех точек (хм...,х„) б Й точка (х1,...,х„,~р, ф,..., й~.) б С, 3) г (хг ° ° ° х» 9~(х! ° ° ~ха) ую ~ ° ° °, р~-) м 0~ ч(х! ° ° ~ха) Е Й. Решение уравнения (1) в (и+ 1)-мериом пространстве В~'ь1 „задает некоторую гладкую поверхиость размерности и (гиперповерхяость), которая яэзывается интегральной поверхиостью уравнения (1).
и п69 Глава в, Дифференциальные уравнения в частных производных Многие физические явления описыва~отся уравнениями в частных производных первого порядка. Например, в газовой динамике и динамике сжимаемой жидкости важную роль играет уравнение Хопфа ди ди — +и — =О, д1 д=' где неизвестная функция а = и(т,х). В оптике изучается уравнение (:-:)' Ж)' Ф'=." описывающее распространение световых лучей в неоднородной среде с показателем преломления п(х, у, в).
Ураннение (1) называется линейным, если неизвестная функция и(хы.,.,х„) и все ее частныв производные входят линейно в уравнение (1). Общий вид линейного уравнения в частных производных первого порядка следующий: я ди а;(хм..., х„) — + в(хм..., х„)и = Дхы..., х„). дх. Уравнение вида Е я да ат(хм..., х„) — = 0 дх называется линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка. Если же только частные производные функции и(хы...,х„) входят линейно в уравнение (1), то уравнение (1) называется квазилинейным.
Общий вид кввзилинейного уравнения в частных производных первого порядка следующий: Е ди а (хы...,х,п) — = Ь(хы,х„,и). дх, Уравнение (1), не являющееся кввзилинейным, называется нелинейныи уравнением в частных производных первого порядка. Известно, что для обыкновенного дифференциального уравнения пер. ваго порядка у' = .((х,у) ега решение у = у(х,с) зависит в общем случае ат одного параметра (пронзвольной постоянной) а Если взять простейший пример уравнения в частных производных первого порядка ди(х,у) дх 2ВЗ з 1.
Линейные однородные уравнения то его решением будет и = х+ гз(у), где р(у) — произвольная функция у, В общем случае, как будет видно в дальнейшем, решение уравнения (1) зависит от одной произвольной непрерывно днфференцируемой функции, число аргументов которой равно (и — 1). В дальнейшем будет показано, что решение уравнения (1) можно найти с помощью методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
В 1. Линейные однородные уравнении Пусть х = (хы..., х„) принадлежит Й вЂ” некоторой области пространства В", и > 2. В области Й рассмотрим линейное однородное уравнение в частных производных первою порядка а (х) — =О, ди(х) дх (1) ззм где а (х) — заданные непрерывно дифференцируемые в Й функции, 1 = 1,п, для которых аз(х) ф О, Чх к Й. (2) зчм Если ввести вектор-функцию а(х) с компонентами аг(х),...,а„(х), то уравнение (1) сокращенно можно записать с помощью скалярного произведения в гледующем виде: (а(х),Осади(х)) = О. (3) Определение. Автономная система х(1) = а(х) (4) называется характеристической системой уравнения (1), а траектории системы (4) называются характеристиками уравнения (1).
Условие (2) означает, что область Й не содержит положений равновесия характеристической системы (4). Теорема 1. В некоторой окрестпностпи кансдой пгочки Ь Е Й все решения уравнения (1) имеют вид и(х) = г'[иг(х),...,и„г(х)[, где и (х), у = 1,п — 1, — независимые в точке Ь первые интегралы характеристической системы ®, а г(Ьп...,Ь„,) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
О По теореме 1 З 5 главы 7 все решения уравнения (1) являются первыми интегралами характеристической системы (4), так как уравнение 264 Глава 8. Дифферевцизльлые уравнения в частных производных (1) равносильно тому, что производная в силу системы (4) и(х) = О в области Й. При условии (2) из теоремы 3 3 5 главы 7 в некоторой окрестности г' С Й точки Ь Е Й существуют (и — 1) независимых в точке Ь первые интегралы и1(х),...,а 1(х) системы (4) и любой первый интеграл (4) имеет вид и(х) = Р[пд(х),...,и„г(х)[, где Р(~п...,~„г) — произвольная непрерывно диффереицируемая функция.
Ф Определение. Функция и = Р[и1(х),...,и„-1(х)), где Р((м...,ь„-1)— произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, называется общим решением уравнения (1) в окрестности г' точки Ь Е Й. Отметим еще раз, что теорема 1 утверждает существование лишь ло кальиого общего решения уравнения (1) в каждой точке Ь области Й, т.е, лишь в некоторой окрестности каждой точки Ь Е Й. Таким образом, общее решение (1) зависит от произвольной функции, в то время как для обыкновенного диффереыциальиого уравнения д' = ((х,д) общее решение зависит от произвольной постояпиой.
Из доказанной теоремы 1 следует, что характеристики являются лиияями уровня интегральной поверхности уравнения (1). Замечание. Решсиие уравнении вида (а(х),йгас$и(х)) = Ь(х) (Ь) с заданной непрерывно диффереицируемой в области Й правой частью Ь(х) сводится к решению линейного однородного уравнения (3) с полк щью замены и(х) = о(х) + ио(х), если угадать частное решение пе(х) заданного уравнения (5). Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, для выделения конкретного решения уравнения (1) необходимо задавать дополиительиые условия.
Чаще всего такими условиями являются начальные условия. Пусть уравпеиие д(.) =О задает в области Й гладкую (п-1)-мерную поверхность (т.е, гиперповерхиость) у (д(х) — непрерывно дифференцируема и йгабд(х) ~ О, Чх Е Й). Эта поверхность у называется начальной поверхностью. Пусть, кроме того, иа поверхности 7 задана некоторая непрерывно дифференцируемая функция ~л(х). Зададим начальное условие (6) п(хИ.„= 4 (х). Функция у(х) называется начальным значением и(х).
З 1. Линейные одкородвыв уравнения Задача Коши дли уравнения (1), Найти такое решение уравнения (1), которое удовлетворяет начальному условию (6). При и = 2 задача Коши (1), (6) имеет наглядный геометрический смысл. Уравнение д(хм хз) = 0 задает в плоской области П гладкую кривую у, а начальное условие (6) в пространстве Всз,, „определяет пространственную гладкую кривую Г. Поэтому при и = 2 задача Коши (1), (5) геометрически означает нахождение интегральной поверхности уравнения (1), проходящей через заданную кривую Г (см. рис. 1) Рис. 1 В отличие от задачи Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения первого порядка на [а,б] р' + а(х)р = у(х) с непрерывными а(х) и /(х) на [а,Щ для которого задача Коши однозначно разрешима при начальном условии р(хе) = уе в любой точке хо Е [а„9], решение задачи Коши (1), (б) существует и единственно яе при любой гладкой начальной поверхности у.
Другое принципиальное отличие задачи Коши (1), (6) от задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнениЯ в том, что ее разрешимость носит существенно локальный характер. Определение. Всякая точка Мс е у, для которой 9(Ме) = (а(Мо),бсср(Мо)) = б, называется характеристической точкой уравнения (1). Тот факт, что Ме Е у является характеристической точкой (1), геометрически означает, что вектор а(Мо) касается поверхности у в точке Мо илн, что то же самое, касается характеристик (1) в точке Мс.
В частности, положения равновесия характеристической системы (4) и особые точки поверхности 7 являются характеристическим точками уравнения Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных ароиэводамх (1). Если прн и = 2 кривая 7 является характеристикой (1), то каждая точка 7 является характеристической точкой (1). Теорема 2. Если Ма б 7 не лвллетсл хараюлеристическай гаачкай урав- нения (1), лю в некоторой окрестности У С й тачки Ма решение эадачи Коши (1), (б) сущее[падет и единственно.
О Так как а(ма) Ф О, то в некоторой окрестности У точки Ма существуют (и — 1) независнл[ые в точке Ма первые интегралы и[(х), 1 = 1,п — 1, характеристической системы (4). По теоремс 1 в окрестности У общее решение (1) имеет ввд и(х) = г (и[(х),,и„[(х)), где г — произвольная непрерывка дифференцируемая функция. Покажем, что начальное условие (6) однозначно определяет вид функции с. С этой целью в окрестности У рассмотрим систему уравнений щ(х) =щ, 1=Ги — Т, д(х) = О. (7) Покажем, что систему (7) можно однозначно разрешить относительно х = (х[,...,х„) в окрестности У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
