1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 45
Текст из файла (страница 45)
и(х) = и(у) при х = д(у) поскольку тогда из теоремы 1 получаем, что и(х) = О в том и только том случае, когда б(у) = О. Пусть [д'(у)] — транспонированная матрица к матрице Якоби. Прн гвадкой замене х = д(у) находим, что '(у) = (бгадо(у),Л(у)) = = [,[д'(у)] . [д(у)] [д'(у)Г . г [д(у)]) = = [бгвди [у(у)] ~ [д'(у)] [д'(у)] . У [д(у)]) = (ятад и(х),1(х)) = и(х). Заметим теперь, что если существует хакой-либо нетривиальный пер. вый интеграл и(х) системы (1), а Ф(() — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, для которых имеет смысл композиция Ф [и(х)], то о(х) = Ф[и(х)] также является нетривиальным первым интегралом системы (1), поскольку для каждой траектории х = 1о(г), г Е Т системы (1) получаелс о[1о(1)] = Ф[и(1О(г))] = Ф[с] = се, Уг Е Х.
Итак, в общем случае для системы (1) существует бесконечное множество нетривиальных первых интегралов. Поэтому возникает вопрос о выделении так называемых независимых первых интегралов (1), с помощью которых можно описать все множество первых интегралов (1). Определение. Первые интегралы и~(х),...,иь(х), 1 < к ( и, автономной системы (1), определенные в некоторой окрестности а Е Й, называкггся независимыми в точке а Е Й, если ранг матрицы Якоби и'(а) = ~~-ф(е)~~, г = 1,/с, у = 1,п, равен й.
Например, первые интегралы (1) иг(х) ге сопзц иг(х),...,иг(х) яе являются независимыми в любой точке а б Й. В то же время иг(х) = хм.,.,и„г(х) = х„г являются независимыми первыми интегралами в каждой точке пространства Бог для автономной системы с х;=О, г=1,н — 1, хнт1. 255 15. Первые интегралы Следующая теорема дает достаточные условия существования (и — 1) независимых первых интегралов и описывает структуру лгобого первого интеграла автономной системы (1). Теорема 3.
Пусть тонха а й Й не является положением равновесия автономной системы (1). Тогда в некоторой окрестности Й» С Й точки а сугцествугот (и — 1) независимые в глочке а пероне интегралы иг(х),...,и» ~(х) системы (1). Кроме того, если и(х) — кахой-либо первий интеграл (1) в окрестности Й„, пю найдется такая непрерывно дифференцируелагя функция Р((ы...,(» г), что и(х) = Г [иг(х),...,и» г(х)], ух е Йа. О Так как а й С вЂ” ие положение равновесия (1), то по теореме о выпрямлении траекторий для системы (1) найдутся окрестность Й„точки а и гладкая обратимая замена переменных в ией х = д(у) такие, что система (1) примет вид (3) Поскольку при такой замене траектории системы (3) задаются уравнениями у; = с;, г = 1,п — 1, у„= Г, то, очевидно, функции ег(у) ум...,е„г(у) = у» ~ — независимые первые интегралы новой системы (3).
По теореме 2 функции иг(х) = дг ~(х),...,и» г(х) = д„~,(х) — первые интегралы (1) в окрестности Й„. Здесь у = д г(х) — обратная к х = д(у) замена переменных с координатами уг = д, (х),...,у„= д„г(х). Поскольку якобиаи дег [д '(а)] = 1: дог д'(а) Ф О, то иг(х),...,и„г(х) — независимые в точке а первые интегралы (1). Вся- кий первый интеграл системы (3), очевидно, имеет вид е(у) =Р(уь " у -1) =РМ(у) -.,о -г(у)[ где Š— произвольная непрерывно диффереицируемая функция у; Е гг, 1 = 1,н — 1. Тогда в силу теоремы 2 при х = д(у) и(г:) и[д(у)[ и(у) и [д (х)] К[дг (х),"-,д» (*)] = Р [иг(х),, и»-г(х)[ общий аид первого интеграла (1) в окрестности Й,.
Замечание. Ясно, что построенная в теореме 3 система иезависимых первых интегралов не является единственной для (1). Теорема 3 носит существенно локальный характер в том смысле, что существование независимых первых интегралов и функции Р теорема гарантирует лишь в некоторой окресгиости точкк а й Й. Даже если любая точка Й пе является положением равновесия (1), то в некоторой окрестности каждой точки 256 Глава Ч.
Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений существует своя функция Р и единой функции г" может не быть для всеЯ области Й. Приведем примеры, показывающие, что в окрестности положения равновесия независимые первые интегралы системы (1) могут как существовать, так и не существовать. Пример 2. Рассмотрим при и = 2 линейную однородную систему х(С) = Ах(С), 1 б Нг~, где числовая квадратная матрица А такова, что начало координат является либо узлом, либо фокусом. Покажем, что в окрестности начала координат в этом случае не существует независимый в пуле первый интеграл и(х) автономной системы. Действительно, пусть и(х) — любой первый интеграл системы и траектория х = ег(г,хэ) проходит через точку хо из окрестности нуля. Так как всякая траектория х(цхо) -+ 0 при Г -о +со нли при 1 -+ — со, то в силу непрерывности и(х) ьз и(0), т.е.
независимого в нуле первого интеграла не существует. Из этого примера также ясно, что даже для автономных линейных систем на плоскости нельзя всегда гарантировать существование независимых первых интегралов глобально на всей плоскости. Пример 3, Рассмотрим уравнения Гамильтона, описывающие движение механической системы с д степенями свободы в фазовом пространстве В зэ . дН(о,р) . дН(о,р) др, ' ' дрп где Н(д,р) — непрерывно дифференцируемая функция Гамильтона. Так как производиал в силу автономной системы то гамильтониан Н(д,р) является первым интегралом уравнений Гамильтона независимо от того, имеются или пе имеются у них положения равновесия.
О применении первых интегралов (1) для построения глобального фазового портрета (1) уже была речь ранге. Теперь о другом важном применении первых интегралов (1). Оказывается, что если известны lс независимых первых интегралов системы (1), то порядок автономной системы (1) можно понизить на )с единиц. Теорема 4. Если система (1) имеет нсэаеисимис о точке а б Й персис ингпсгроли и1(х),...,иь(х), то е некоторой окрестности Й С Й точки а порядок системы (1) мосссно понизить но й единиц. э б. Первые интегралы О Без ограничения общности можно считать, что отличен от нуля минор нз первых й столбцов матрицы Якоби и'(а). В окрестности й, сделаем замену переменных у; = и~(х), 1 = 1, Й, у; =х., у'=й+1,п.
Нетрудно проверить, что это гладкая обратимая замена переменных в окрестности Пю так как якобиан д(ум,..,у„) ~ д(им...,иь) д(хд,...,х„)(,=, д(хм...,х~,.), „ Поскольку у, =и;(х), 1= 1,й, уу = ху — — Д(х) = г)(у), у = й+ 1,п, и и;(х), 1 = 1,Й, — первые интегралы (1) и, значит, и„(х) = О, 1 = 1, Й, то после замены получаем систему вида Е у;=О, 1=ТУ, уу=р;(у), у=й+1,п. Первые й уравнений системы дают решения у; = с;, 1 = 1,Й. Для пере- менных уь+м..,,у„остается система порядка (и — Й) в~да у. = Рд(см...,сю уь+м...,у„), у = Й+ 1,п. В частности, в случае й = п — 1 после замены переменных получаем уи = сч 1 = 11п 1~ уэ = гэ(см ~си-и ув).
Поскольку последнее уравнение интегрируется в квадратурах, то н исходная система (1) в случае й = п — 1 интегрируется в квадратурах. Заметим, что г„(у) ф О в окрестности образа точки а, так как если бы Г„(у) О, то соответствующая точка а была бы положением равновесия (1), что противоречит условию Да) Ф О. В классической механике первые интегралы уравнениИ движения механических систем обычно называют интегралами (илн константами) движения этих систем. Из определения первого интеграла следует, что интегралы движения всегда представляют собой некоторые законы сохранения.
Например, для уравнений Гамильтона в примере 3 было установлено, что гвмильтоняан Н(д,р) является первым интегралом. С другой стороны, из курса механики известно, что Н(д,р)-это полная энергия механической системы, т. е. Н = Т+7Х, где Т вЂ” кинетическая и У вЂ” потенциальная энергия. Таким образом, тот факт, что Н(д,р) — первый интеграл, означает справедливость закона сохранения энергии механической системы с заданным гамильтонианом Н(д,р) и поэтому функцию Н(д,р) называют интегралом энергии.
258 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений Основным методом решения автономных систем (1) является метод, основанный на нахождении независимых первых интегралов (1), Этот метод называют еще методом интегрируемых комбинаций, поскольку первые интегралы (1) на основании теоремы 1 ищут с помощью составления такой комбинации уравнений системы (1), чтобы левая часть комбинации давала производную некоторой функции в силу системы (1), а правая часть комбинации равнялась бы нулю. На практике для нахождения первых интегралов (1) иногда целесообразно исключить й нз системы (1) и рассмотреть так называемую систему дифференциальных уравнений в скммегричной форме "Х! пвг плп (4) Л(*) (2(х) Л (х) в которую переменные х2,...,х„входят равноправно.
Разумеется, запись системы (1) в форме (4) допустима в той части области П, где гг(х) 72(х) . ~п(х) Ф О. Для нахождения интегральных кривым системы (4) иногда используют следующее свойство равных д!хь бей. Если имеются равные дроби а! аг а Ь! Ь, " Ьп ' н произвольные числа Л!, .,Лп такие, что Л!Ь! +. + Лпь„фО, то а! аг а„Лга! + Лгаг+ + Лпап ь, ь, "' ь.
л,ь, + л,ь, +."+ лпь„' Если выбрать направление движения, то интегральные кривые системы (4) совпадают с траекториями автономной системы (1), поскольку как кривые интегральные кривые (4) н траектории (1) совпадают. Пример 4. Найти независимые первые интегралы автономной системы х=х+з, у = у+в~ х=х+у, если у+в>О, 2+х>О, х+у>О, у — х>О, х — х>О 11 Рассмотрим систему в симметричной форме Нх 4у х+з у+2 х+у По свойству равных дробей отскща сЬ вЂ” сЬ Иу — !(х 3 — у х — х что дает (х — у) — (г — х) = с. Следовательно, и!(х,у,в) = (х — у)(22 — х — у) 2 5.
Первые интегралы — первый интеграл системы. Аналогично, рассмотрев Их + !(у+!Ь Ых — Ф 2(я+у+в) х — у получаем еще один первый интеграл системы х+р+х ~~2(х,р~х) = ( )2 Нетрудно убедиться, что и1(х, р, 2), нз(х, у, г) — независимые первые интегралы в каждой точке рассматриваемой области. А Замечание. Первым интегралом автономного уравнения порядка и х1!)1 =,((х,х',х",...,х(л П) называется первый интеграл автономной системы Х =Х1, Х! =Х2, Хл-2 = Хл-1~ Хл-1 = 2 (Х Х! > Хз» ° ~ Хл-1). Для произвольной нормальной системы дифференциальных уравнений х = Дс,х) также можно ввести понятие первых интегралов и изучить нх свойства. Еще одно важное применение первые интегралы нормальных систем дифференциальных уравнений имеют при решении уравнений с частными производными первого порядка, о чем речь будет идти в следующей главе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
