1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В случае же, когда г(хыхг) является периодической функцией периода 2х лишь по одной переменной хы естественно считать фазовым простраяством (Ц не В~1 р а поверхность бесконечного цилиндра. В З 3 будет построен фазовый цилиндр нелинейного консервативного осцилля- тора з 2. Классификация положений равновесия линейной однородной системы 223 Сначала изучим фазовый портрет простой системы (1).
Он, прежде всего, существенно зависит от собственных значений Лы Лз матрицы А. Положения равновесия системы (1) являются корнями линейной сисгемы Ах = О. Если система (1) простая, то х = Π— единственное положение равновесия (1). 1. Пусть собственные значения Л1 и Лз действительны. Тогда все действительные решения (1) задаются формулой х(Ф) = с~е""Ь1 + сзе""Ьз, где сы сз — произвольные действительные числа, а Ьы Ьз — линейно независимые собственные векторы, соответствующие Л1 и Ла.
Векторы Ь1 и Ьз образуют базис плоскости, в общем случае неортогональный. Если ~ыьз — координаты точки х в этом базисе, то координаты решения х(!) системы (1) имеют вид ~1(1) = с1е ", ~з(Ф) = сзе ". (зжс~~, с=сз с,"', а= — >1. л, Отсюда следует, что ~(6 (пп — = са С-Н-оо Щ !пп ~" ~=0. [->.Гоа Значит, фазовые траектории представляют собой кривые типа нетвей параболы, касающихся в пределе при ! -е +оо оси (1 в начале координат. В целом в случае а) получаем семейство фазовых траекторий типа ветвей параболы и пять специальных траекторий: положение равновесии х = О и четыре полуоси осей координат ь|,~а. Схематически фазовый портрет системы (1) в случае а) показан на рис.
2. Стрелка на траектории показывает направление движения при г -+ +со. В этом случае положение равновесия х = О называется устойчивым узлом системы (1). б) Пусть Л1>О, Лз>0 и Л1<Лз. Так как картина поведения фазовых траекторий (1) симметрична относителыю осей ~м(з, то достаточно ее исследовать при ь1 > О, ~а > О. а) Пусть Л1 < О, Лз < 0 и (Л1( < (Лг!.
Тогда: с1 = сз = О дает положение равновесия х = О; с~ > О, сз = 0 дает полуось ~1 > О, причем (! -+ +О при 6 -е +со; с1 = О, сз > О дает полуось ~а > О, причем ьз ~ +О при 8 -э +со. Если же с~ > О и сз > О, то 224 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений Расположение и вид траекторий (1) остаются такими же, как и в случае а), но направление движения по траекториям при 6 -ч +со меняется на противоположное. Положение равновесия х = О в етом случае называется неустойчивым узлом (1).
Схематически фазовый портрет системы (1) в случае б) показан иа рис. 3. Рнс. 3 в) Пусть Л~ < О < Лт. Тогда получаем: при с~ = сз = О положение равновесия х = О, при с~ > О, сз = О полуось ~~ > О, причем ~~ -> ~-О при 1-+ +со, при с~ = О, ~ > О полуось ьз > О, причем ьз -~ +ос при г ~ +оо. Если же с~ > О, сз > О, то, как и в случае а), имеем ьз = с~~", но здесь уже а = Щ ( О. Следовательно, траектории — зто кривые типа гиперболы. В целом в случае в) получаем семейство траекторий типа гипербол н пять специальных траекторий: положение равновесия х = О и четыре полуоси осей коордянат ~м(з. Эти полуоси служат аснмптотами траекторий типа гипербол и называются сепаратрисамн. Положение равновесия х = О системы (1) в случае в) называется сед.
лом системы (1). Схематически фазовый портрет системы (1) в этом случае показан на рис. 4. Рис. 4 з 2. Классификация положений равновесия линейной однородной системы 225 г) Пусть Л~ = Лз = Л и существует базис плоскости нз собственных векторов Ьы Ьз матрицы А. В этом случае общее решение (1) имеет вид х(1) = е '(сьЬ~ + сзйэ). Каждое такое решение описывает луч, выходящий из начала координат, причем движение по лучу при Г -э +со идет к нулю для Л < 0 и от нуля для Л > О. При Л < 0 положение равновесия х = 0 называется устойчивым дикритическим (или звездным) узлом, а при Л > 0— неустойчивым дикритическнм (или звездным) узлом (1). Схематический фазовый портрет (1) в обоих случаях показан на рис. 5.
л<с Тогда ь гмэ л>о Рис. 5 г.я д) Пусть Л~ = Лэ = Л н существуег бйшйс плоскости собственного вектора Ь~ и к нему присоединенного вектора Ьз матри А. В этом свучае общее решение системы" (1) Ф, х(1) = с~еиЬ, + сеем(1Ь, + Ь ) Я1) = (с~+сп1)е, ьз(г) =сзе Для Л < 0 получаем при с~ = сз = О положение равновесяя х = О, при с~ 11 О, сэ = 0 две полуоси (~ < 0 и ~~ > О, причем при 1 -+ +со движение по ним идет в сторону х = О. Пусть теперь с~ = О, сэ > О. Тогда при 1 = 0 получаем точку (О,сэ), а при Ф -+ +оо точка (ьыьз) движется в сторону возрастания ~м одновременно опускаясь к (0,0) и касаясь в пределе (~ > 0 в точке (0,0).
При 1-+ +со точка (ьмьэ) движется направо, одновременно поднимаясь вверх. Описанные траектории заполняют полуплоскость ~э > О. Осталось заметить, что картина симметрична относительно (0,0). В случае Л < 0 положение равновесия х = 0 называется устойчивым вырожденным узлом системы (1). Если Л > О, то траектории (1) получаются из описанных выше траекторий для случая Л < 0 путем зеркального отображения плоскости 22В Глава 7.
Нормальные автономные системы дифференциальных урввневвй относительно осн ~з, а движение по ним при т -+ +оо идет от начала координат. В случае Л > О положение равновесия х = О называется неустойчивым вырожденным узлом (1). Схематически фазовый портрет (1) в обоих случаях показан на рис. 6. х>а х<а Рис.
6 П. Пусть собственные значения Л1 и Лз — комплексные. Если Лг = и+ем, где и > О, то в силу действительности А имеем Лз = Л1 = и — 1 . Обозначим через И = 61 — ьйз собственный вектор А для Лм где 61 и йт — действительные векторы. Тогда 6 = йг ~-тлт является собственным вектором для Лз. Общее действительное решение (1) в этом случае имеет внд х(1) = се~Оп+ се~и 7г где с — провзвбльная комплексная постоянная.
Если положить ( с = )с)е"', )с! > О, у б (О, 2я), то с = (с)е.'" и общее решение преобразуется к виду х(т) = 2)с)сж [сов(~р+ И) Ь1+ в1п(~р+ ь4) ага). Так как 61 и Ьт — линейно независимые векторы, то, взяв их в качестве новою базиса плоскости, координаты ~г(т), (з(т) решения х(1) в этом базисе имеют вид ~~(1) = 2$с)еж сов(ат+ ит), (х(1) = 2)с/е"~в1п(1а+ от). Положив г(т) = 2)с)е"', 4($) = ~р+ ит, отсюда получаем уравнение траекторий (1) в полярных координатах г,ф г = 2)с) е"' При с у О н и ~ О фазовые траектории (1) представляют собой кривые типа логарифмических спиралей, а при и = Π— кривые типа эллипсов.
12. Классификация положений равновесия линейной однородной системы 227 а) Пусть р < О. Тогда при с = О получаем положение равновесия х = О, а при с ф О фаэовал точка по спирали движется к х = О при 1 -а +со, так как г(1) -+ +О, Ф(1) -а +со при 1 -а +со. Направление закручивания спирали определяется направлением фазовой скорости /(х) = Ах, Например, если в качестве х взять (О, 1), то /(х) имеет компоненты епп ааь Если оы > О, то /(х) направлен вправо, а если оьт < О, то /(х) направлен влево. Возможные два различных фазовых портрета (1) в этом случае схематическп тгокэзаны на рнс. 7. х' ап < е а» > О Рис.
7 Положение равновесия х = О в этом случае называется устойчивым фокусом системы (1). б) Пусть и > О. Тогда при с = О получаем положение равновесия х = О, а при с ф О и 1 -а +оо точка по спирали удаляется от х = О, так как г($) а +ос, 4(6) -+ +ос при 1 -а +со. В этом случае положение равновесия х = О называется неустойчивим фокусом системы (1), Возможные в этом случае два различных фазовых портрета (1) схематически показаны на рис.
8. ап >0 ам < е Рнс. 8 в) Пусть р = О. Тогда в произвольном базисе Ьм пз при с ~ О траектории — кривые типа эллипса, а при с = Π— положение равновесия. В 228 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений этом случае положение равновесия к = 0 называется центром для системы (1). В зависимости от направления обхода эллипсов возможные фаэовые портреты (1) схематически показаны иа рис. 9.
Рис. 9 Таким образом, для простой линейной автономной системы (1) существует всего тринадцать различных фазовых портретов. Пусть теперь система (1) является сложиой. а) Пусть Лг Ф О, Лэ — — О. Тогда ~~(1) = с~е~", ьэ(1) = сэ. Отсюда ясно, что все точки прямой Ьг = 0 являются положениями равновесия и что оба луча каждой прямой Гэ — — сэ являются траекториями (1). В зависимости от знака Лг движение по ним при 1 -+ +со идет либо к прямой ~~ = О, либо от нее. В зависимости от знака Л~ возможны два схематически представленных на рис. 10 фазовых портрета системы (1). ь,<а л,>е Рис. 10 б) Пусть Л~ = Лэ = О.
Если матрица А нулевая, то каждая точка плоскости В~(, является положением равновесия (1). Если же А — не- ю,ээ) нулевая матрица, то существует базис плоскости нз собственного вектора Ь| и присоединенного к нему вектора Иэ матрицы А. В этом базисе решение (1) имеет координаты ~~(1) = сг + сзс, ьэ(Ф) = сэ. В этом случае все точки прямой (з = О являются положениями равновесия. каждая из прямых ьэ = с является траекторией (1) и при т -~+со движение по ним идет слева направо при (э > О и справа налево при ( О (см.
рис. П). Рис. 11 Таким образом, в случае сложной автономной системы (1) имеется всего четыре различных фазовых портрета системы (1). Замечание. Если задано автономное уравнение второго порццка х+ ах+ Ьх = О (2) с действительнымн коэффициентами а, Ь, то его положениями равновесия называются положения равновесия автономной системы вида < х=р, у = -Ьх — ар. (3) Фазовыми траекториями уравнения (2) называются фэзовые траектории системы (3). Отсюда следует, что для рассматриваемого уравнения (2) в случае фокуса н центра движение по траекториям при 1 -э +со всегда идет за часовой стрелкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
