1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Глава 7 Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений и теория устойчивости Е 1. Общие свойства Нормаяьной автономной системой дифференциальных уравнений порядка и цазываегся система х(1) = У(х) (1) где Дх) — заданная действительная вектор-функция с компоиентамв у,(х),..., У„(х) в некоторой области Й евклидова пространства В'„' с фиксированной прямоугольной декартовой системой координат хы...,х„. В системе (1) à — независимая переменная, которую принято называть временем н считать г е В,', а х(г) — неизвестная действительная вектор- функция с и компонентами х1(Е),...,х„(г). В дальнейшем будем предполагать, что г'(х) удовлетворяет в области 11 условию Липшица. Это гарантирует существование и единственность непродолжимого решения системы (1) при начальном условии х(го) = хо, хо Е Й, (2) на некотором промежутке Х = Х(1с,хе) оси г, содержащем точку ее.
Автономные системы (1) иногда называют еще динамическими или консерватявными. Аятономными системами описываются многочисленные математические модели реальных физических систем классической механики, теории колебаний, экономики, динамики живых систем и т.д. Произвольная яормальная система дифференциальных уравнений х(Г) = Дх,1) (3) всегда сводится к автономной системе путем увеличения числа неизвестных функций на единицу. Если положить г = х„ьы то получаем автономную систелгу с (и+ 1) неизвестными функциями < * = у (х ха-ы) хны = 1.
Таким образом, автономная система (1) отличается от любой системы (3) тем, что правая часть (1) не содержит переменной а Переменные хы, ..,х„называются фазовыми переменными, а область й пространства В'„' называется фвзовым пространством автономной системы (1). Если х = гг($) — решение системы (1) па промежутке Х С В,', э 1. Общие свойства то оно определяет параметрически заданную кривую в области Й, т.е. множество точек (у(Ф)) б й при всех 1 б Х. Эта кривая в Й называется фазовой траекторией автономной системы (1). Напомним, что интегральные кривые (1) представляют собой графики решений х = фг) системы (1) в бесконечном цилиндре С = ((х, 1): х к Й, Ф б В]) (и + 1)-мерного пространства В~"+, . Следовательно, фэзовая траектория (1) является проекцией интегральной кривой (1) параллельно оси (см. рис.
1). На траектории стрелкой указывают ее ориентацию, т.е, направление движения ио ней в сторону возрастания б Рнс. 1 Например, для уравнения х = х в случае и = 1 при начальном условии х(0) = хе > О интегральной кривой будет график функции х(1) = хое', 1 б В,', на плоскости (э,х), а фазовой траекторией будет полуось х > О. Из теоремы существования н единственности решении задачи Коши (1), (2) получаем, что через каждую точку хо б Й проходит единственная траектория (1), определенная в некоторой окрестности еэ. При некоторых достаточных условиях эта траектория определена при всех 1 б В].
Теорема 1. Если решение х = 1о(Ф), 8 б Х, автономной системы (1) таково, что опредеяяеяюя им траектория все время оспюется в некотором компакте К с й, то необходимо Х = ( — со, +со). О Пусть Го, Й,эз й Х и ээ й (И,сз). Обозначим через Н вЂ” цилиндр в В"';)р для которого х б к, 1 б [11,сз], по теореме о непродолжимом решении интегральная кривая х = ~р(1), Г б [И, Сз], выходит из Н лишь при 1 < 11 и при 11 > сз.
Однако выйти из Н через боковую поверхность Н интегральная кривая не может, так как в этом случае найдется точка траектории, лежащая вне К, что противоречит условию теорелеы. Итак, интегральная кривая выходит из Н через его нижнее и верхнее основания. Но это означает, что решение системы (1) определено при 1 = И,гз. Поскольку И и И произвольны, то решение (1) определено при всех Ф б В]. Ф 214 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений Замечание. Теорема 1 не позволяет по внешнему ви,ву системы (1) установять, можно ли продолжить решение (1) на всю ось Я1.
Можно, однако, доказать, что если 1(х) удовлетворяет условию Липшица во всей области й, то всякое решение автономной системы (1) определено на всей осн 3111. Рассмотрим простейшие свойства траекторий (1). Свойство 1. Если х = 1о(й) — решение системы (1) при й б (а,13) и с— некоторое число, то и х = 1о(й + с) также является решением (1) при й б (о — с, 13 — с). О Так как для всех й й (а,й3) Ф(й) — = У Ий)] то для всех й б (о — с, й3 — с) ~~(1+с) ж У(р(1+ с)). Ф Свойство 1 геометрически означает, что сдвиг по траектории (1) также дает траекторию (1).
Свойство 2. Если две фозовые траектории х = 31(й), й б 21, и х = 1р(й), й б Хз, автономной системы (1) имеют общую точку хо — ~р(й1) Ф(йз) то 1р(й) ш ~р(й+ й1 — йз) для всех й, для которых определены обе части тождества. О Вектор-функция х = ~Р1(й) = ~Р(й + й1 — йз) в силу свойства 1 является решением (1) ирн (1+11 — йг) б 11. Кроме того, У1(йт) = У(й1) = Ф(йт) = ха По тереме единственности Р1(й) = — Ф(й) для всех й, для которых определены обе части тождества. Ф Свойство 2 геометрически означает, что две траектории (1) либо не пересекаются, либо совпадают.
Заметим, что для неавтономных систем свойство 2 может не выполняться: проекции ее непересекающихся интегральных кривых на Е," могут пересекаться. Например, зто очевидно в случае системы х — й, у — 1. В каждой точке х б й) задана вектор. функция 3(х). Таким образом, автономная система (1) задает в области й векторное поле 3(х). В каждой точке хе б П фазовая траектория (1), определяемая решением (1) 215 з 1.
Общее свойства х = у(1), 1б Х, касаегси вектора 1(хе) в силу того, что х = уг(1) — решо. ние (1) при 1 б Х. Исключением является только случай, когда фазовая траектория (1) состоит из одной точки хо б Й, т.е. ~р(г) ге хо, у1 е гтг. Определение. Всякое решение системы (1) х = у(1) ы хо к Й, ч1 к В), называется положением равновесия или точкой покои системы (1). Всякая точка хо б Й, не являющаяся положением равновесия системы (1), называется обыкновенной точкой автономной системы (1).
Из непрерывности у(х) в области й еле,сует, что каждая обыкновенная точка (1) обладает целой окрестностью из обыкновенных точек. Как будет видно далее, положение равновесия может быть изолированным или неизолированным. Если решение х = у(1), 1 б Х, рассматривать как закон движения фазовой точки по траектории, то скорость ее движения в момент времени Мо, где ьг(1о) = хо, совпадает с вектором Дхо).
Этот вектор Дхо) называется фвзовой скоростью автономной системы (1), а векторное поле ((х) называется полем фазовых скоростей системы (1). Теорема 2. Точка хд б Й яоляеглся положением равновесия (1) только в том случае, когоа фазоеая скорость Дхо) = О. О Если х = хо — положение равновесия (1), то х = О я подстановка в (1) дает Х(хо) = О.
Обратно, если 1(хо) = О, то подстановка в (1) дает хо = О, т.е. х = хо — решение (1). Теорема 2 дает практический способ нахождения наложений равновесия системы (1). Заметим, что положение равновесия является проекцией на В" тех интегральных кривых системы (1), которые параллельны оси й Теорема 2 означает, что положения равновесия системы (1) являются особыми (или критическими) точками векторного поля у(х). Замечание. Определение положения равновесия сохраняется и для неавтономной системы (3). Тогда условие 1(хо,с) ж О для всех допустимых значений г является критерием положения равновесия х = хо системы (3).
Заметим, что каждая фазовая траектория (1) х = у(1) отличная от положения равновесия, является гладкой кривой, т.е. непрерывно дифференцируемой кривой и ~а'(1) ее /(уг(г)] = /(х) г1 О в каждой точке х траектории. Определение. Если решение х = ~р(8) системы (1) определено на всей оси Я( и является периодической вектор-функцией периода Т > О, то соответствующая ему траектория называется замкнутой траекторией (или циклом) системы (1). Имеет место следующая теорема о классификации всех траекторий автономной системы (1). 216 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений Теорема 3.
Всякая фазовая траекпнгрия автономной системы (1) принад- лежит одному из следующих трех типов: 1) положение равновесия, 2) замкнутся траектория, 3) траектаория без самопересечений. О Достаточно показать, что если х = гг(г,хо) — решение системы (1) с начальным условием х(0) = хе Е Й не является положением равновесия (1) н соответствующая ему траектория пересекает сама себя, то вектор- функция ~р(г,хо) периодически с периодом Т > О продолжается на всю ось В[. Пусть Зьгг, гг < гг, такие, что 1Р(гмхо) = 4Р(гг,хе).
Поскольку хо — не положение равновесия (1), то гг(г,хо) р~ у(гмхо), С Е [гмгг]. Положим Т = гг — гг > 0 и покажем, что ~р(г,хо) периодически с периодом Т > 0 продолжает~я на всю ось Я[. В самом деле, в силу свойства 1 траекторий (1) Ф(г хо) = гг(1+Т,хе) является траекторией системы (1) при г е [гг — Т,гг — т], причем Ф(гг х) = Ч'(1~ + Т хо) = Яг, хо) = У(ам хо) По свойству 2 траекторий (1) ф(г, хо) — единственное продолжение ~р(г,хо) с пеРиолом Т > 0 из [гг,гг] на [1г — Т,г~]. Аналогично, взяв чзг(г хо) = го(г — Т хо) докажем, что фг(г,хо) является единственным продолженкем с периодом Т > 0 1о(г,хо) из [быгг] на [1г,гг + Т]. Таким образом, в силу морелгы единственности получено продолжение с периодом Т > 0 гз(г,хе) с [гг,гг] на [гг — Т, гг+Т[.
Аналогичным приелгом можно с периодом Т > 0 единственным образом продолжить р(г,хо) с [н,гг] на всю ось В,'. А периодическое с периодом т > 0 на всей оси л,' решеняе (1) х = гг(г,хе) дает замкнутую траекторию, Ф В случае и = 2 можно указать достаточные условия отсутствия замкнутых траекторий автономной системы (1). Теорема 4. Если система (1) задана в плоской области Й и в Й векторное поле 1базовмх скоростей у(х) является потенциальным, то в Й система (1) не имеет замкнутых траекторий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
