1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Если !рг(х),...,Ф„(х) — фундаментальная система ре- шений (2), то по теореме 2 3 2 К(х) = с!!ог(х) + + с„ч!н(х). Подставив К(х) в начальные условия (4), получим, что с, = И' '(*о) И'яу(хо), !'= 1,п, где И~(хо) — определитель Вронского системы Ф!(хо),..., Фя(хо), а иг„у(хо) — алгебраическое дополнение элемента Ф (хо) в УУ(хо), У = 1,н. Таким образом, 181 з 3. Линейные неоднородные уравнения порядка н оп,,„к( ~,— Π— хьЬ с,~=~,, „~ (с, являются непрерывными функциями х, хо б [а„д], то уе(х) можно по правилу Лейбница и раз непрерывно дифференцировать.
Тогда, учитывая начальные условия (4) для К(х), имеем, что Отсюда ясно, что уе(х) удовлетворяет нулевым начальным условиям (3). Подставляя выражения для уе(х) и ее производных в (1), убеждаемся в том, что уе(х) — решение (1). Формула (6) дли уе(х) называется формулои Коши частного решения (1), а метод ее получения называется методом Коши. Метод Коши позволяет найти общее решение (1) в квадратурах. Решения (1) можно получить и другим методом — методом вариации постоянных (методом Лагранжа).
Если р>(х),..., у„(х) — фундаментальная система решений уравнения (2), то, как известно, общее решение (2) имеет вид у = с~у~(х) +. +с„,р„(х), где сы...,с„— произвольные постоянные. Следуя Лагранжу, будем ис- кать общее решение уравнения (1) в том же виде, у = с~~р~(х) + . + с„~р„(х), с> = с> (х),..., с„= с„(х), но уже считаем у"'( ) = ~( )р~~( )+" + ( )Й>(*), >=1Л вЂ” 1 Это дает систему (и — 1) уравнений для определения с',(х),...,с,',(х): с[(х)~р~~>(х) + ° . + с~,(х)у~~>(х) = О,,у = О,й2 (8) Еще одно уравнение получаем подстановкой уб>(х), у = О,п, в уравнение (1).
Если обозначить левую часть уравнения (1) через Ьу(х), то подстановка у(х) и ее производных в (Ц дает уравнение с',(х)у~" '>(х) + "+ с'„(х)>с(," '>(х) + +с~(х)Ъу~(х) +. + с„(х)Ьу„(х) = ~(х). где с~(х),...,с (х), — пока неизвестные непрерывно дифференцируемые функции х б [а,>х]. Потребуем, чтобы 182 Глава б.
Линейные уравнения порядка и с переменными коэффициентамк с.(х) =а(а+ / И' '(х)И'ш(хЩх)а(х, т'=1,п, где 4,...,4, — произвольные постоянные, а знак интеграла означает фиксированную первообразную. Подставляя выралаения для с (х), 7' = 1,п, в формулу (7), получаем формулу общего решения (1): 1т(х) = Нт рт(х) +. + ага„(х) + ~К(х)1(х)тЬ, где К(х) определяется формулой (5) прн хэ = х. Если в качестве первообразной взять интеграл с переменным верхним пределом, то отсюда получаем прн т1т = . ° — — 4„= О частное решение ро(х) = ) К(ь)Дь)тК, хе удовлетворяющее начальным условннм (3).
Пример 1. Методом Коши решить уравнение 1 х ) — —. 2 (2х + 1)уэ — 2у' — (2х + 3)д = 9(2х + 1) ез, тз Найдем сначала фундаментальную систему решений линейного ашнородного уравнения (2х+ 1)У вЂ” 29' — (2х+ 3)р = О. Проверкой убеждаемся, что рт = е э — его частное решение. По фор- муле Лиувилля — Остроградского 9'е а+ е *у = с1еа гмаа1 = ст(2х+ 1). Отсюда — ( — ) = ст(2х+1)е Поскольку ут(х),...,ааа(х) — решения (2), то Ьэат(х) = = Ьх„(х) = О и остается уравнение с,(х)за~ (х) +.
+ с„(х)за1а" П(х) = 7(х). (9) Линейная алгебраическая система (3), (9) для ст (х),..., ся(х) позволяет одяозначно определить ст(х),..., с'„(х), так как определятель системы (8), (9) представляет собой определитель Вронского Ит(х) = Ит(ут,..., эта), а он отличен от нуля на [о, В) в силу того, что 1гт(х),,ааа(х) — фундаментальная система решений (2). Если Итат(х) обозначает алгебраическое дополнение элемента 1э~1" ~(х) в Ит(х), 7' = 1,п, то по формулам Крамера ст(х) = И' '(х)И'т(х)~(х), ", ~,(х) = И' '(х)И'-»(хЩх).
В силу непрерывности Ит т(х), 7'(х) и Ит„ (х), 7' = 1,п, на (о,)1) отсюда находим, что 184 Глава б. Линейные уравнения порядка и с переменными коэффициентами или 2х+3 2 х+ 1 У = Х ( С~ + СУ вЂ” ЫХ ) = С2Х + Сз —. т4 Решение исходного уравнения ищем в виде у = с2(х)х + сз(х) —. .г х+1 х Для с~(х) и сэ(х) имеем систему уравнений (здесь Дх) = З(2х+3)): < хзс', (х) + (1 + 1~) сз(х) = О, 2хс',(х) — аг . с~з(х) = 3(2х+ 3). Отсюда 3 с2(х) = 3+ —, х сэ(х) = — Зхз.
Значит, с2(х) = Зх+3)ох+им ст(х) = — ха+42, где 4 и 42 — произвольные постоянные. Общее решение заданного уравнения имеет вид у=дух +42 1+ — +2х +Зх 1пх. .2 1 3 2 В /У( )) Продолжая нулем на полуось х < О функции у(х) и ~(х) в уравнении (1), можно тогда решение уравнения (1) понимать в смысле теории обобщенных функций (см. (13]). Известно, что функция Е(х) = д(х)з(х), где д(х) — функция Хевисайда, равная единице при х > О и нулю при х с О, а з(т) — решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям (4) при хо = О, удовлетворяет в смысле обобщенных функций уравнению ЬЕ(х) = ЕОО(х) + а2 (х)Е1" И (х) + ° + а„(х)Е(х) = Б(х), формулу Коши (6) частного решения (1) можно получить и подругому, используя понятие фундаментального решения дифференциального оператора (см.
[13)). Пуст в уравнении (1) коэффициенты о (х) — заданные бесконечно дифференцируемые функции иа полуоси х > О, у = 1,п, и правая часть Дх) — заданная непрерывная и локально интегрируемая на полуоси х > О функция, т.е. на каждом (о,(1) полуоси х > О существует 185 Э 4. Граничные задачи где б(х) — б-функция Дирака. Другими словами, Е(х) является фундаментальным решением дифференциального оператора Ь и, значит, свертка е(х) с г'(х) дает частное решение (1) при х > 0 ( ) = У ( — аУ(ь)И6 е удовлепюряющее нулевым начальным усповиям при х = О.
Это частный случай формулы Коши пря хо = О. Формула Коши (б) сводится к этой формуле заменой х — хе = а Замечание. Если в уравнении (1) ау(х), б = 1,а, и у(х) не все являются непрерывными функциями, то решения (1) может не существовать. В этом случае приходится расширять понятие решения (1) и вводить так называемое обобщенное рсшеняе (1). Например, уравнение и' = э18пх не имеет классического решения, но имеет обобщенное решение. Более подробно об этом см в [13].
З 4. Граничные задачи Начальные условия не являются единственно возможными дополнительными условиями, выделяющими определенное частное решение дифференциального уравнения. Во многих случаях в качестве дополнительных условий задаются условия на неизвестную функцию и ее производные па границе того промежутка, где задано дифференциальное уравнение.
Эти условия называются граничными (или краевыми) условиями. Если задача определения решения дифференциального уравнения, удовлетворяю. щего заданным начальным условиям, называется задачей Коши, то задача определения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным граничным условиям, называется граничной (илн краевой) задачей. В дальнейшем ограничимся рассмотрением простейшей граничной зв: дачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Пусть задано уравнение уя + ас(х)у'+ аэ(х)у = у(х), (1) где а1(х), аэ(х), ((х) — заданные непрерывные функции х б (0,1], и граничные условия прн х = 0 и з = 1 > 0 а~у(0) +(1су'(О) = уо аэу(1) +))эу~(1) = ум (2) где ап Вп 4 = 1,2, ус, у1 — заданные числа, причем аз+ дэ > О, 1 = 1,2.
Здесь у(0) = у(+0), у'(О) = у'(+0), у(1) = у(1 — 0), у'(1) = у'(1 — 0). 106 Глава б. Линейные уравнения порядка и г. переменными коэффициентами Если ус = уе = О, то гранячные условия (2) называются однородными граничными условиями. В дальнейшем ограничимся случаем однородных граничных усвовий, так как в случае неоднородных условий решение у(х) граничной задачи (1), (2) можно искать в виде р(х) = и(х) + е(х), где функция в(х) удовлетворяет лишь заданным граничным условиям (2), а в остальном произвольна. Например, для граничных условий у(0) = уо, у(1) = уз можно взять 1 — х х п(х) = уе — +у~- 1' Тогда для функции ез(х) получается граничная задача с другой правой частью, чем в (1), но с однороднымн граничными условиями.
Вместо [0,1] можно брать любой другой [с,а[. Итак, в дальнейшем считаем, что в условиях (2) ур = уе = О. Для уравнения (1) рассматривают и граничные условия более общего вида, представляющие собой линейные комбикации значений у(х) и у'(х) в точках х = 0 и х = В Например, это могут быть условия периодичности у(О) = у(1), у'(0) = у'(1). Определение. Решением граничной задачи (1), (2) называется функция у = 1е(х), х б [0,1], которая дважды непрерывно дифференцируема при х б (О,!), непрерывно дифференцируемая на [0,1] и удовлетворяет уравнению (1) на (0,1) н граничным условиям (2). Как известно, решение задачи Коши для уравнения (1) при начальных условиях у(хо) = уе, у'(хе) = ум хе б [О,Е], существуег и единственно иа всем [0,1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
