1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Первая строка этого векторного равенства и дает утверждение теоре- мы 2. Из принципа суперпозицни для уравнения (1) и теоремы 2 следует, что множество всех решений уравнеяия (1) образует и-мерное линейное пространство, а фундаментальная система решений уравнения (1) служит базисом этого пространства. Определение. Функция вида у(х) = с1~р1(х) + .
+ сп~рп(х), 176 Глава 6. Линейные уравнения порядка и с переменными коэффициентами где ~рт(х),..., ет„(х) — фундаментальная система решений (1), а см ., с„— произвольные параметры, называется общим решением линейного однорсдного уравнения (1). Из теоремы существоваяня н единственности решения уравнения (1) при начальных условиях у( о) = у[", у'(хо) = у,"',.", у'" "(хо) = у('), (3) и из теоремы 2 получаем, что каждое решение задачи Коши (1), (3) однозначно определяется из формулы общего решения (1). Пример 1. Пусть все коэффициенты в (1) постоянны и пусть характеристическое уравнение Л" +атЛ" '+ .
+а„=0 имеет и попарно различных корней Лм, .., Л„. Тогда общее решение уравнения у(") + а,у( ') + " + о„у = О имеет вид у С~ЕЛ~э+ +С ЕА е где см...,с — произвольные постоянные, Эта формула уже известна из главы 2. В силу теоремы 2 доказательство этой формулы сводится к проверке линейной независимости системы решений в~~э, у = 1,п. Это легко делается по определению лянейной независимости.
Итак, нахождение общего решения уравнения (1) сводится к нахождению фундаментальной системы решений (1). В общем случае ее найти весьма трудно, а то и невозможно. Обратная же задача о нахождении уравнения (1) по заданной его фундаментальной системе решений па [о>)т) однозначно решается без особого труда, о чем речь будет несколько позже. Определение. Определителем Вронского (или сокрыпенно вронскяаном) решений у~(х),...,у„(х) уравнения (1) называется определитель вида туг(х) ... у„(х) у[(х) ...
у,',(х) (в-~)( ) (э-))( ) и обозначается Ит(х) или И'[у~(х) " уе(х)[ Теорема 3. Решения у~(х),...,у„(х) уравнения (1) линейно эависимм тоеда и тполько птогда, когда Ит(х) ы О но [а,д). Решения И(х) у (х) уров- $2. Линейные рлкородные уравнения порядка и пения (1) линейно независимы тогда и только тогда, когда И'(х) эг 0 длл всех х Е [а,(3].
О Сведем уравнение (1) к эквивалентной системе (2). Тогда столбцы И'(х) — решения системы (2) и, значит, Иг(х) является определителем Вронского и длн решений (2). Но для пего утверждения теоремы 3 уже были установлены в 3 2 главы 5. На практике теорема 3 удобна для проверки линейной зависимости решений уравнения (1). Заметим, что, вообще говоря, теорема 3 неверна в случае произвольной системы (и — 1) раз непрерывно дифференцируемых функций уг(х),...,у„(х).
Например, при х Е [-1,1] функции ] О, х Е [ — 1,0], ) х~, х Е [ — 1,0], [х, х Е [О, 1], [ О, х Е [О, 1], линейно незавнсимы, по Иг(х) ю О. Теперь по заданной фундаментальной системе»р((х),..., р„(х) уравнения (1) построим само уравнение (1). Искомым уравнением будет уравнение вида И» '[Э»,(х),...,и»„(х)] И'[у(х),и»г(х),...,(ок(х)] = О. (4) Уравнение (4), очевидно, имеет вид (1), так как Иг(гги ...,»р„) ф 0 на [а,Д] и его решениями служат уп(х),,г»„(х), поскольку при нх подстановке в (4) получается определитель с двумя одинаковыми столбцами.
Уравнение (4) однозначно определяется системой (ог(х),...,гг„(х) в силу того, что эквивалентная ему линейная система (2) однозначно (см. 32 главы 5) определяется своей фундаментальной матрицей. Теорема 4. Пусть И" (х) — определитель Вронского решение у~(х), у„(х) уравнении (1) и пусть хо Е [п,)9]. Тогда длл всех х Е [а,(3] справедлива формула Лиувиллл — Остроградского — Т т((1гс Иг(х) = И'(хе)е *г О Уравнение (1) эквивалентно линейной системе (2). Для них определитель Вронского Иг(х) один и тот же, н для системы (2) формула Лиувилля — Остроградского доказана.
Остается заметить, что для системы (2) гр4(~) = — аг(~). Э Замечание. В случае, когда и = 2 и известно частное решение уг(х) ~ 0 на [а,Р] уравнения (1), то формула Лнувилля — Остроградского позволяет найти решение (1) в квадратурах. В самом деле, из формулы Лиувилля — Остроградского для решений у((х) и у(х) имеем, что — 1 гд(Ж угу' — уу[ = сге *' 178 Глава 6. Линейные уравнения порядка и с переменными коэффициентами где с~ — постоянная. Разделив это равенство на у~~(х), имеем: Отсюда получаем, что — ~ чи)гс у(х) = с~у~(х) ( е *е — + сэр~(х). уг(т) Пример 2. Решать уравненяе (х > О) 2хуи — (х + 4)у'+ (1 + — ) у = О. Ь Очевидно, что у = х — решение этого уравнения. Воспользовавшись формулой Лиувилля — Остроградского, получаем, что 1 сг+<АЦ ху' — у = се' =- сх ет.
— (-) = се~. Значит, аь у = х (сз+ с1ез) = о.хе* +свх. Линейное однородное уравнение (1) является однородным относительно у,у',...,уйй (см, з 4 главы 1) и поэтому его порядок можно понизить на единицу с помощью замены неизвестной функции вида р' = у. г(х). Однако во многих случаях эта подстановка дает для г(х) нелинейное уравнение и поэтому нецелесообразна. Покажем, что, если известно частное решение р~(х);1 О на [а,~З) уравнения (1), то существует .замена, понижающая порядок уравнения (1) на единицу, н прн этом получается линейное однородное уравнение порядка (и — 1). В самом деле, вводя замену переменных у = у~(х) г(х), вычислив производные от у по формуле Лейбница у1 1(х) = ~ у(~1(х) г1 О(х), Й = 1,п, ~г/ 1=0 и подставив в уравнение (1), получаем уравнение у~грй+ (ну~ + а~у1)г(и 1+ + (у + а~у~" + + пну~)г = О.
179 $3. Линейные неоднородные уравнения лорядка а Так как у~(х) — решение (1), то коэффициент при г равен нулю и замена г' = и после деления иа у1(х) дает уравнение и1» О + Ь! (х) и(» В + .. + Ь„1 (х) и = О. Итак, замена и(х) = «'(х) = т,= [.~$1 приводит уравнение (1) к уравнению (5). Используя полученный результат, можно локвзать, что порядок уравнения (1) можно понизить на т единиц, если известно т линейно независимых решений у1(х),...,у„,(х), 1 < т ( п — 1, уравнения (1). В случае, когда известно (и — 1) линейно независимых частных решений (1), приходим в результате понижении к линейному уравнению первого порядка, интегрируемому в квадратурах. В этом случае общее решение (1) может быть получено в квадратурах.
Например, в случае уравнения примера 2 замена у = хг приводит к уравнению 2г — г =О. » Его общим решением является г=с1+сзег и, значит, общее решение уравнения примера 2 задается формулой » у = хг = сгх + сзхе», где с1 н сз — произвольные постоянные. Е 3, Линейные неоднородные уравнения порядка и Пусть задано линейное неоднородное уравнение порядка и убй+ аг(х)у(» ) +. + а„(х)у = 1(х), где ау(х), у = 1,п, ~(х) — заданные непрерывные функции на [щ)1]. Наряду с уравнением (1) рассмотрим соответствующее линейное однородное уравнение порядка п ЬО+а (х)г1" "+" +а„( )г=о. (2) Если известно какое-либо частное решение (1), то его интегрирование сводится к интегрированию уравнения (2). Теорема 1. Пусть уо(х) — какое-либо решение (1) и у(х) = г(х) + уе(х). тогда у(х) является решением уравнения (1) только в твом случае, когда г(х) -решение уравнения (2). 180 Глава О.
Линейные уравнения порядка а с перенеииыня коэффициентами я К(х) = И' '(хо) ~ ~' Иге!(хо) Фд(х). у=! (б) Теорема 2. Функция уо(х) = [ К(х+хо — !,)1(!,)д!, хо<хб[сг,р[, (б) гО яоляетея частным решением линейного неоднородного уравнения (1), удоелетооряю~цим нулевым начальным условиям (3). О Обозначив через Ьр(х) левую часть (1) к через Ьг(х) левую часть (2), из равенства у(х) = г(х) + ро(х) получаем, что 1 у(х) = Ьг(х) + Ьуо(х) = Ьг(х) + Дх), так как уо(х) — решение (1). Если р(х) — решение (1), то Бу(х) = ((х) и отсюда Ьг(х) = О, т.е. г(х) — решение (2). Наоборот, если «(х) — решение (2), то Бг(х) =О и тогда Ьу(х) =~(х) т.е. У(х) — решение (1). йг Из этой теоремы сразу следует, что, если известна фуцдамеитальиая система решений ~р!(х),...,!о„(х) уравнения (2), то функция у(х) = с!Ф!(а;) + + с„Фн(х) + уо(х), где с!,, с„— произвольные постоянные, является общим решением уравнения (1), т.е.
содержит все решеиия уравнения (1). Игак, в том случае, когда известна фуидамеитальиая система решений уравнения (2), решение уравнения (1) сводится к нахождению какого- либо частного решении (1). Покажем, как можно в этом случае при и > 2 найти то решение уравнения (1), которое удовлетворяет нулевым начальным условиям р(хо) = у (хо) = .. = У( !(то) = О, хо б [а,Д. (3) Пусть К(х) — решение линейного однородного уравнения (2) порядка и > 2, удовлетворягощее иачэльиым условиям у(хо) = р (хо) = '' = У1" !(хо) = О, у!" !!(хо! = 1, (4) где хо б [а,Д. Построим К(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
