1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Для граничной задачи (1), (2) это вовсе не обязательно. Оказывается, что решение граничной задачи (1), (2) может не существовать или быть не единственным. Чтобы разо. браться в этом вопросе, введем в рассмотрение фундаментальную систему решений ~р~(х) и уэ(х) линейного однородного уравнения хе+ аз(х)э~+ аз(х)э = 0 (1э~(х) н еээ(х) существуют в силу непрерывности аз(х) и аэ(х) ) и частное решение уо(х) уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид у = сгл~ (х) + оз1ээ(х) + уо(х), где сы сэ — произвольные постоянные. Для получения решения граничной задачи (1), (2) постоянные с~ и сэ необходимо определить из однородных 1ВУ $4. Граничные задачи граничньос условий (2). Подставляя общее решение (1) в условия (2), получаем линейную алгебраическую систему для с~ и сг.
< (о~!о~(0) + Д~р~(0)! с~ + (о~чу(0) + !йуг(0)! сг = -а)ус(0) — гпуо(0), (отче(1) + дгэг((1)! съ + (оз1гг(!) + !угу г(!)! сг = -огре(1) — Ауе(1). Обозначим через У матрицу этой системы и через У вЂ” расширенную матрицу этой системы. Используя известные из курса алгебры теоремы о разрешимости линейной системы уравнений, получаем следующий результат.
Теорема 1. Если де!У Ф О, то решение граничной задачи (1), (2) существует и единственно на [О,!!. Если лег де! У = О, то решение граничной эадочи (1), (2) не сущгстеугт, если ранг могприцы У не равен рангу расширенной матрицы У, и решение (1), (2) сугцестеует, но не единственно, если ранг матрици У равен рангу матрицы У. Отметим, что ранг матрицы У яе зависит от выбора фундаментальной системы решений !о~(я), Эгг(я) уравнения (3), так как переход к другой фундаментальной системе осуществляется певырожденным линейным преобразованием и прн таком переходе матрица У умножается на матрицу этого линейного преобразования, что не меняет ранга матрицы У. Аналогичное замечание касается н ранга матрицы У.
Ранг матрицы У называется рангом граничной задачи (1), (2). Однородная граничная задача (1), (2), т.е. задача (1), (2) при 1(х) ш О, уо = у! = О, имеет лишь тривиальное решение, если ранг матрицы У равен двум, и имеет одно линейно независимое решение, если ранг матрицы У равен единице. Г!ример 1. Исследовать разрешимость граничной задачи у +у=О, у(0)=0, у(1)=ум 1)0, у~бЯ. Ь Общим решением уравнения является у = с~ сог т+ гге!пх. Граничное условие у(О) = 0 дает с~ = О, а граничное условие у(1) = уг приводит к уравнению сгз!п1 = уи Если з!и! ~ О, т.е.
1 гг Ьг, !г б Аг, то сг = Ду и получаем единственное решение задачи у~ з!пт у= з!п1 Если же зш1 = О, т. е. ! = !гл, !с б Ж, то возможны два случая. В случае у~ Ф О уравнение сгз!о! = ун а, значит, и граничная задача, решений не имеет. В случае уг = 0 урэлпение сгзш1 = у~ становится 188 Глава б. Линейные уравнения порядка л с переменными коэффициентами тождеством и граничная задача имеет бесконечно много решениИ вида у = с«зшх, где с« — произвольнзл постоянная. Покажем, что решение уравнения (1) при ош>сродных граничных условиях (2) однозначно представимо через так называемую функцию Грина граничной задачи, если только одиорцвдая граничная э«дача кме. ет лишь тривиальное решение, т.е. решение у(х) ж 0 на [0,1]. Определение.
Функцией Грина граничной задачи (1), (2) называется функция С(х>>,), определенная лрн Ух,с е [0,1] н удовлетворяющая следующим условиям: 1. При каждом фиксированном >, Е [0,1] >«(х,>,) как функция х на каждом из промежутков [0,>,) и (>„1] удовлетворяет однородному уравнению (3). 2.
С(х,() удовлетворяет однородным граничным условиям (2). 3. с>(х,>,) — непрерывна при всех х,>, Е [0,1], а ее производная ф имеет при х = Ч разрыв первого рода со скачком дС(>,+0,>,) дС(>, — 0,>,) дх дх Теорема 2. Если однородная граничная задача имеет лишь тривиальное решение, то функция Грина грани >ной задачи (1), (2) сущеся>вует и единственна. О Пусть >р1(х) — решение уравнения (3) при начальных условиях «(0) = б>, «'(0) = -аы а рг(х) — решение уравнения (3) при начальных условиях «(1) >.т «(1) = — с>2.
Очевидно, что >р,(х) ф 0 на [0,1], 1 = 1,2, и что >р>(х) удовлетворяет первому граничному условию яз (2) (уа = 0), а р«(х) удовлетворяет второму условию из (2) (у> = 0), так как аз+ 11«) 0> 1 = 1,2. Далее, б>ункцни >р>(х) и >рз(х) — линейно независимы на ]0,1], так как в противном случае >р«(х) = ар~(х), с ~ О, и тогда >рг(х) удовлетворяет обоим однородным условяям (2), что противоречит условию теоремы.
Таким образом, >р>(х) и >р«(х) — фундаментальная система решений (3). Пусть И'(х) — определитель Вронского этой снстсмьь Ищем функцию >у(х>>,) в виде С(х,>",) = ~ ~ с~ (~)эз~ (х), х Е [О, ~), са(>,)>р«(х), х е (>,>1]. 3 4. Грэиячные залечи 169 По построению Функций уц(х), рз(х) функция ьг(х,Д удовлетворяет пп. 1, 2 определения функции Грина.
Чтобы удовлетворить п. 3 этого определения, остается найти с~(~) и сз(Ь) из условий сгзгз(с,) — с~у>ч(~) = О, сзуз(~) — с11Р[Ц) = 1. Эта система однозначно разрешима относительно сг и сз, поскольку опре- делителем ее служит И'(х) Ф 0 на [0,1]. Окончательно тогда получаем, что 1 ~ рз(~) рг(х), х б [0,~], С(х,0=— )уа [у,(С)- (х), хбК,1].
(4) Э ув+ аг(х)у'+ аз(х)у = б(х — ь), где б(х) — б-функция Дирака. Наоборот, если функция С(х,() является решением (обобщенным) этого уравнения, то С(х, ~) облацвег свойствами пп. 1, 3 определения функции Грина, Таким образом, функцией Грина задачи (1), (2) можно коротко назвать решение уравнения уо + а~(х)у' + аг(х)у = б(х — ч), удовлетворяющее граничным условиям (2). Теорема 3. Если однороднол граничная задача имеет лишь тривиальное решение, то решение уравнения (1) при однородных граничных условиях (2) существует, единственно и выражается формулой у(х) = / 6'(х,~) .((~)И~, е (5) где С(х, ь) — функция Грина граничной задачи (1), (2). О Запишем формулу (5) в виде у(х) = [ С(х,~)Д~)д~+ ~0(х,~)([ЯсК. С точки зрения теории обобщенных функций (см.
[13]) функция Грина С(х,Д получает простое и четкое толкование. Пусть в уравнении (1) аг(х) н аг(х) — бесконечно дифференцируемые функции на [О,1]. Продолжим нулем на всю ось Ве в уравнении (1) все функции у(х), а~(х), аг(х), У'(х). Тогда решение (1) можно понимать в смысле теории обобщеинык функций. Как нетрудно установить (см. [13], [28]), функция Грина С(х,~) граничной задачи (1), (2) удовлетворяет уравнению вида 190 Глава 6.
Линейные уравнения порядка и с переменными коэффициентами В каждом из промежутков [О,х) и (х,!] С(х,~) и — ~-'() непрерывны. Поэтому каждый из интегралов можно дифференцировать по х. Получаем р'(х) = / ' 7 Я<К+ С(х,х — 0)7(х) + Г дС(х,~) дх о + / ' 7(ь)аь — С(х,х+ 0)7(х). Г дС(х,~) дх В силу непрерывности С(х, Д при ~ = х виеинтегральные члены уничто- жаются взаимно и я ~*)=1"й'« -1 ~*" « (б) Эту формулу молсно еще раз продифференцировать по х. Получаем Г дэС(х, Г) „дС(*, х - О) ,! дхэ дх о д С(х,~) „дС(х,х+0) дхэ дх В силу п.
3 определения С(х,() последнюю формулу можно записать в виде ~ д'С(', ~) „)~+„., (7) ! дхэ о В ряде вопросов возникает граничная задача с комплексным параме. тром Л: р" + а1(х)р'+ аэ(х)р = Лр, х Е (О,!), (8) а ~ у(0) + д1у'(0) = О, оэр(!) + Фэр (!) = О, (9) где а1(х), аэ(х) — непрерывны па [О,!) и а7+ду > О, ! = 1,2. Из формул (5), (6), (7), учитывая свойства С(х,ь"), получаем, что (5) — решение задачи (1), (2).
Решение единственно, так как если предположить существование другого решения у(х), то э(х) = у(х) — р(х)— нетривиальное решение однородной граничной задачи, что противоречит условию теоремы. 191 З 4. Граничные задачи Определение. Задача нахождения значений параметра Л, при которых граничная задача (8), (9) имеет нетривиальные решения (т.е. 9(л) 91 0 иа [0,1)), называется граничной задачей на собственные значения. Значения параметра Л, для которых граничная задача (8), (9) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения называются собственными функциями граничной задачи (8), (9) на собственные значения.
Так как однородное уравнение (8) при данном Л имеет ие более двух линейно независимых решений, то множество всех собственных функций, соответствующих данному собственному значению Л, является линейным пространством размерности не более двух. Число линейно независимых решений граничной задачи (8), (9) при данном собственном значении Л называется кратностью собственного зяачеяия Л. Оказывается, что для задачи (8), (9) имеет место только один из следующих трех вариантов (см. [ЗЦ): 1. Граничная задача (8), (9) не имеет собственных значений.
2. Граничная задача (8), (9) имеет пе более счетного множества собственных значений, которые при этом ие могут иметь конечной предельной точки. 3. Всякое число Л является собственным значением граничной задачи (8), (9). Пример 2. С помощью функции Грина решить граничную задачу (1+ х )у" + 2ту' = 1(я), у(0) = 9'(0), у(1) = О, где Дх) — заданная непрерывная функция иа [О, Ц. 2 Однородная граничная задача (1+ я~)ра+ 2яу' = О, 9(0) = у'(0), 9(1) = О, имеет только тривиальное решение.
В самом деле, уравнение можно записать в виде — [(1+ за)9'] = о. Его общее решение у = с~ агс18 я + сз и при подстаяовке решения в граничные условия получаем 9 = О. Итак, функция Грина существует и для ее нахождения можно воспользоваться формулой (4). Решением уравнения (1 4- хз)ул 4. 2л у' = 0 при начальных условиях 9(0) = 1, у'(0) = 1 будет Чи(х) = 1+агсьбв, а решением того же уравнения при начальных условиях у(1) = О, 192 Глава б. Линейные уравнения порядка и с переменными коэффициентами р'(1) = 1 будет ~рз(х) = -«~ + 2эгссях. Определитель Вронского )т(х) = "+зе -;-т. Следовательно, 2(1+ ь~) ( — ~2+ 2агсскь) (1+агсскх), х б [О,г], О(*,О = т+4 (1+агсэб~) [ — ч+2эгсеях), хб [(,1], и решение заданной граничной задачи имеет внд г р(х) = ~С(т,01% Х А о Пример 3. Найти собственные значения и собственные функции граничной задачи ре = Лр, р(О) = р(Ц = О.
Ь Если Л > 0 или Л вЂ” комплексное, то задача не имеет нетривиальных решений, так как общее решение уравнения р = с1е* + сэе ™~~ при подстановке в граничные условии дает у(х) вз О. При Л = О общее решение уравнения р = с1х+ со и подстановка его в граничные условия опять дает р(х) ш О. Пусть теперь Л с О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
