1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Это означает ограниченность з(х) в окрестности х = оо, т.е. в этой окрестности [э(х)! < А. Следовательно, Г [з(()! А»'11 [з(х) — с» сиз х — сг з»ох! < ~ — »1( < — = 0 [-у», х -» +оо. х 1хl' Взяв з»(х) прн с» = 1, сг = 0 и зг(х) прн с» = О, сг = 1, получаем (10). 'В Т. Линейные дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной В З 5 главы 4 б»зла исследована зависимость решения задачи Коши от входюцих в дифференциальное уравнение параметров. Для линейного дифференциального уравнения порядка и у~"» + о»(х,з)у(™ + . + ап(х,з)у = Дх), (1) где а (х,с), г = Т,п, и У(х) — заданные функции х й [0,1], 1 > О, н малого параметра з е [О,со], зо > О, результаты этих исследований можно коротко охарактеризовать следующим образом.
Если 1(х) — непрерывна на [0,1] и функции ау(х,з), г = 1,п, являются непрерывными функцяямн 206 Глава б. Линейные урввяевяя порядка и с переменными коэффициентами х 6 [0,1], с б [О,со), то решение у(х,с) задачи Коши для уравнения (1) при в -+ +О равномерно по х б [0,1] стремится к решению уо(х) задачи Коши для невозмущенпого уравнения у("1 + а~(х,О)у!" О + + о (х,О)у = ((х). (2) Если же коэффициенты а!(х,с), у = 1,п, уравнения (1) имеют непрерывные частные производные по с до порядка (и+ 1) прн х б [О,!] и е б [О,се], то при с -+ +О урй(х, с) =з уе( 1(х), т'!с = 0,1, В этом случае справедливо равномерное по х б [0,1] асимптотическое представление решения задачи Коши для возмущенного уравнения (1): у(х,с) = ус(х)+с ' +" + —, „' +0(с), с~+О, ду(х, О) с" д" у(х, О) где здесь и в дальнейшем запись 0(с), с э +О, означает, что [0(с)[ < с с, с ~ +О, причем с > 0 — некоторое число, не зависящее от с.
Прн указанных выше условкях непрерывности коэффициентов уравнения (1) возмущения, вносимые малым параметром с > 0 в уравнение (1), называются регулярными возмущениями, а само уравнение (1) называется регулярно возмущенным уравнением. Однако в приложениях встречаются случаи, когда малый параметр с входит в уравнение (1) нерегулярным (сингулярным) образом, т.е. таким образом, что коэффициенты а,(х,с), у = 1,п, уравнения (1) не являются непрерывными функциями х,с. Такие уравнения (1) наэываютсл сингулярно возмущенными. Как будет ниже показано на простейших примерах, решения сингулярно возмущенных уравнений (1) при заданных начальных или граничных условиях обладают рядом свойств, принципиально отличающих их от решений регулярно возмущенных уравнений (1). Рассмотрим сначала сингулярно возмущенную задачу Коши для уравнения первого порядка с малым параметром е прн у': су'+ау = ~(х), х б [0,1], у(0) = уо (3) где с > О, а — ненулевое число и 1(х) — заданная непрерывно дифференцируемая на [0,1] функция.
Обозначим решение задачя Коши (3) через ус(х), а решение уравнения из (1) при с = Π— через уе(х) = 11'(х). Изучим поведение у,(х) при с -+ +О. Нас интересует вопрос о том, будет ли при этом стремиться ус(х) к уо(х), Ух б [О,!]. Теорема 1. Если а > О, шо при каждом х б (О,!] 1!ш ус(х) — уе(х) с 4о 47. Линейные уравнения е малым параметром при старшей производной 207 О Решение у,(х) задачи Коши (3) ищем в виде уе(х) = уо(х) + х,(х), где ь;(х) — решение задачи Коши гх,'(х) + ах,(х) = --у'(х), х,(0) = уо — -у(0). а а Отсюда х,(х) = е ° 11уо — -у(0)~ — — / е К *) у'(~)И~.
а ~ а,/ о Тогда 1 уе(х) =ус(х)+ уо — -1(0) е '*+0(е), с-~+О, а (4) поскольку при с -е +О т /е К с1 . /'((щ < — глах[~'(х)[/ е К" )й~ = ау а о о = — шах [у'(х)[ (1 — е ° ) < — в шах[1"(х)[. Из формулы (4) следует утверждение теоремы 1. Из формулы (4) также получаем, что при г -е +О ис.
у (х) ~ уо(х), если х Е [Б,1), где 0 < Б < 1, Б — произвольное н фиксированное. Для всего [0,1[ нет равномерного стремления у,(х) к уо(х). Этот результат можно было бы заранее предсказать, так как в окрестности х = 0 решения ут(х) и уо(х) в общем случае совпадать не могут. Из форыулы (4) видно, что при а < 0 у,(х) не стремится к уо(х) при г -е +О. Эти явления не наблюдвлнсь для регулярно возмущенных уравнений (1). Заметим, что при с = 0 порядок уравнения в (3) понижается, точнее, уравнение становится конечным уравнением. Графически результаты исследования задачи Коши (1) в случае а > 0 показаны на рис.
3. Ьу. Линейные уравнения с малым параметром при старшей производной 209 Здесь Л1 = Л~(е), Лг = Лг(е) — корни характеристического уравнения Л +аЛ+ Ь=О, причем Лл ~ Лг и Лг -- — — + 0(е), Лг = -в+ 0(г), е -+ +О. Учитывая, что функция 1, Ь Ьг рев(х) = -у'(х) — — у(х) + — ро(х) а аг аг иа [0,1) является ограниченной и что при е — ь +О а л — л = — — — + 0(е), е а из формульв г,(х) получаем утверждение теоремы 2.
Из теоремы 2 следует, что на [О,б[ при любом д Е (О,1) нет равномерного стремления решения у,(х) вместе с ее производной у,'(х) к решению ув(х) и к ее производной ро(х). Такое равномерное стремление имеется лишь на [Б,1[ при любом д > О. В окрестности х = 0 имеется область, в которой у,'(х) сально отличается от уо(х). Эта область называется пограничным слоем задачи. При а < 0 и е -+ +О нвг стремления у,'(х) к у'(х).
Наконец, изучим при е — л +О поведение решения следующей граничной задачи еув + ар~ + Ьу = О, е > О, а Ь ~ О, у(О)=у, р(Ц=;, [р1[+[у.[>О (8) Обозначим решение граничной залачи (8) через у,(х), а решение задачи Коши ар'+Ьу = О, у(0) = ум обозначим через ро(х).
Теорема 3. Пусть а < О. Тогда при достагаочно малых е > 0 ре1аение рг(х) граничной задачи (8) существует, единственно и для каждого х б [0,1) у,(х) в ро(х) при е -+ +О. Кроме того, для всех х е [О, 1 — д[, где 0 < Ю < 1, 6 — фиксировано, р,(х) л уо(х) при е -+ +О. О Для достаточно малых е > 0 (е < ~~) корни Лг = Л|(е), Лг = Лг(е) характеристического уравнения еЛ +аЛ+Ь=О вещественны, различны и общее решение (8) имеет вид у,(х) = сг(е)ел'* + сг(г)ел'*, Поскольку в этом случае ел' Ф ел', то при достаточно малых е > 0 решение граничной задачи (8) существует, единственно и задается формулой (см.
84): [( Лг )у)ЕЛ1г + ( Л1 ))) Ллг~ 1 ЕЛг ЕЛ~ 210 Глава б. Линейные уравнения парилка и с переменными козф4»ицкентами При е » +О: -а+ А» —— »/аз — 4еЬ 6 = — -+ 0(е), 2е а »/໠— 4е6 а Ь = — — + — + 0(е). 2с е а — а— хз = Рассмотрим выражение ь»'»- ь»=], . [с "-»»~ +ьг -»»"*)---"] рез»я с»е- еы] ела < + х [ел» еЛ»] ]ел» еЛ»] х (] — не~»я+ ое ° ]+ [!» — ае"»[е"»(я '1) .
Очевидно существуют такие числа А! > О н Аз > О, что для всех х б [0,1] и всех е > О м ];Ве~'к — »зе яа еы] < А», ]13 — пеы[ < Аз. При е — » +О имеем: е~» — е"' = е~» [1 + 0(е)] =. е( ° + ) [1+ 0(е)], 1- "' — ое"' + ае ~ = ]а]е ]! — ек'~!О[ = [п[е х 0(с) < Аз 0(е), где Аз > О. Следовательно, получаем ]у,(х) — уо(х)] < А»е' [1+ 0(е)] + +[1+0(е)](Аз 0(е)+Азе( + )г* 0[1+0(е)]). Из теоремы 3 следует, что в случае а < О пограиичкым слоем граничной задачи (8) является каждый [1 — б,1], 0 < б < 1. Замечание. Если а > О и у(х) — решение задачи Коши ау +Ьу=О, у(1) =уз, то аналогичным образом можно установить, что при е -» +О у,(х) ~ у(х) для каждого х б (О, 1] н у, ш уо(х) для всех х б [б,1], О < б < 1.
Значит, казкдь»й [О,б) является пограничным слоем задачи в зтом случае. Если а < О, то поведение ]у,(х) — уо(х)] при е ~ +О зависит лишь от последнего слагаемою полученной оценки. Прн е -++О ]уе(х) — уе(х)] ~ О для каждого О < х < 1 и пшх ]у,(х) — уо(х)[ -е О для всех 0 < х < 1 — б, где О < б < 1 и фиксировано. Э з7. Линейные уравнения с малым параметром при старшей производной 211 Ъгпразкненни к главе 6 1.
Составить и решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение с правой частью у(х) = соз2х, зная фундаментальную систему решений соответствующего линейного однородного уравнения у1(х) = з1п х, уз(х) = сова х. 2. Найти при х > О общее решение линейного уравнении ху" + 2у' — ху = 2 — хз, если известны два его частнык решения у~ = х, уз = х+ е*. 3. Показать, что граничная задача (Л вЂ” вещественный параметр) у"=А"у у(О) =у'(О) =О, у(~) =уи()) =О, Е>О, имеет бесконечное число нетривиальных решений у„(х), соответствующих различным значениям параметра А„, и что у„(х) у (х)их=о, Л„~Л о 4.
Доказать, что всякое решение уравнения уи — ху'+ у = О яа (+оо, -со) имеет ие более Ь нулей. 5. Доказать, что уравнение Бесселя хгу'+ ту~+ (хз „з)у О не может иметь двух линейно независимых решений на (О, +со), ограниченных в окрестности нуля вместе с первыми производными. б. Доказать, что каждое нетривиальное решение уравнения 4(1+ хз) у + у=О при х > О имеет лишь конечное число нулей. 7. Найти общее решение уравнения 4хуи+ 2у'+ у = О при х > О с помощью степенного ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
