1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В заключение отметим, что, используя приведение матрицы А к жордановой нормальной форме, можно исследовать фазовые портреты линейной автонпмной системы в фазовом пространстве Я" и при и > 2. э 2. Классификация положений равновесия линейной однородной системы 222- 230 Глава 2. Нормальные автономнме системы дифференциальяых уравнений 23. Нелинейные автономные системы второго порядка Р ассмотрим нелинейную автономную систему х! = 21(х1,хг) (1) Х2 = /2(х!,Х2), где Л(Х1,хг) и 22(х1,хг) — заданные действительные дважды непрерывно дифференцируемые функции в некоторой области й декартовой плоско- сти Я~(~, Сначала нас интересует локальный фазовый портрет (1) в окрестно- сти точки а с координатами а1,аг из области й.
Будем считать в даль- нейшем, что точка а является началом координат, так как этого всегда можно добиться заменой у1 = Х1 — а1, Уг = хг — аг. Пусть, кроме системы (1), задана н автономная система У! = д1(У1 Уг)> (2) У2 = д2(У1 У2) где д1(уг,уг) и дг(уг,уг) определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой области О плоскости Я(2 Определение, Автономные системы (1) и (2) будем называть качественно эквивалентными, если существует такое взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение области й на область С, прн котором каждая фазовая траектория системы (!) с сохранением ориентации переходит в некоторую фазовую траекторию системы (2), и наоборот. Если, кроме того, зто отображение является непрерывно дифференцируемым, то системы (1) и (2) называются дифференцируемо эквивалентными.
Из з 2 следует, что каждая простая автономная линейная система качественно эквивалентна одной из десяти автономных сисгем, фвзовые портреты которых изучены в з 2. Более того, можно показать, что все те простые автономные линейные системы качественно зквивалепгны, у которых х = 0 является устойчивым узлом, дикритическим или вырожденным узлом, фокусом.
Аналогично, качественно эквивалентными являются те простые линейные системы, у которых х = О является неустойчивыми узлом, дикрнтическим илн вырожденным узлом, фокусом. Таким образом, существуют только четыре типа качественно эквивалентных простых автономных линейных систем: системы с устойчивым положением равновесия х = О, системы с неустойчивым положением равновесия х = О, системы, у которых х = 0 — седло, и системы, у которых х = 0 — центр.
Из теоремы о выпрямлении траекторий получаем, что все системы (1), рассматриваемые в окрестностях любых обыкновенных точек системы (1), являются дифференцируемо эквивалентными. 231 13. Нелинейные автономные системы второго порядка Допустим теперь, что х = 0 б 11 является положением равновесия нелинейной системы (1), т.е.
11(0,0) = зг(0,0) = О. Разложим 21(хг,хг) и 12(х„хг) по формуле Тейлора в окрестности х = 0 с остаточным членом в форме Пеано: ,)1(х1 хг) = амх1+ аггхг+ 0(]х[), зг(х„хг) = аггх1+ аггхг+ 0([х[), гДе а; = ~До), г, У = 1, 2, [х[ = 1/хг1 + хгю 0([х[) = е(х1, хг) [х], е(хг,хг) -+ О при [х[ -+ О. Линейная однородная система < 21 = а11х1+ аггхж (3) х2 = а21х1 + а22х2, называется линеаризацией нелинейной системы (1) в начале координат.
Следующая теорема, носящая название теоремы о линеаризацин, доказательство которой можно найти в книгах [2), [5], [47), устанавливает связь между локальным фазовым портретом нелинейной системы (1) и фазовым портретом ее линеаризации (2). Теорема, Если линеаризация (3) нелинейной системы (1) в начале координата х = 0 является простой автономной системой и х = 0 ке является центром для системы (3), то в окрестности х = 0 нелинейная система (1) и ее линеаризация (3) качественно эквивалентам.
Иначе говоря, если собственные значения матрицы линеаризации (3) системы (1) при х = О имеют действительную часть, отличную от нуля, то фазовые портреты (1) и (3) в окрестности х = 0 качественно эквивалентны, т.е. фазовый портрет системы (1) в малой окрестности х = О получается из фазового портрета системы (3) небольшим искажением. Без дополнительных условий на 11(х1,хг), ~2(хг,хг) нельзя утверждать в общем случае, что системы (1) и (3) в окрестности нуля при условиях сформулированной теоремы являются дифференцируемо эквивалентными. Этим теорема о линеаризацни отличается от теоремы о выпрямлении траекторий в окрестности обыкновенной точки.
Если система (3) простая, то положения равновесия х = 0 для нелинейной системы (1) классифицируются так же, как и для системы (3). Замечание. Нелинейное автономное уравнение второго порядка х = ~(х,х) (4) эквивалентно автономной системе (5) 232 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравиемий Положениями равновесия и фазовыми траекториями уравнения (4) называются положения равновесия и фазовые траектории системы (5). Пример 1.
Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованных систем < х = агс!3(х — у — 1), у- ' 3* 2.33 — 2 — 2. г3 Положения равновесия находим нз системы уравнений < а!с!3(х — у — 1) = О, х — у=1, или !23* 23 — 2 — =О, <2~+23=3. Получаем два положеяия равновесия; (-2, -3) н (1,0). Для линеаризздин исходной системы удобно иметь положением равновесия точку (0,0). Сделаем замену и! =х+2, и! =у+3. Тогда точка ( — 2, — 3) перейдет в точку (0,0) и нелинейная система примет вид с й! = агс!3(и! — и!), Лннеарнзация втой системы в точке (0,0) выглядит твк: Е б! = 33! — иг, е! = — 4и! + и!.
Матрица втой системы имеет собственные значения А! —— -1, Лз = 3 и лияейно независимые собственные векторы й! =,', Следовательно, точка ( — 2, — 3) — седло для исходной системы. Фазовый портрет линеаризоваиной системы приведен на рнс. 12. Рис. 12 хзз $3. Нелинейные автономные системы второго порядка Рассмотрим второе положение равновесия (1,0). Сделаем замену иэ=х — 1 еэ=р. Тогда точка (1,0) перейдет в (0,0), а нелинейная система примет вид ~~ ~ ~ З 2 6 02 = его!3(н2 — в2), 6 =фТ+3 6+6 ~6 — 6.
Линеаризацяя этой системы в точке (0,0) имеет вид: < иэ = и2 — и26 Е2 = 2662 + В2, Так как матрица этой системы имеет собственные значения Л = 1х 2!/2, то точка (1,0) — неустойчивый фокус для исходной системы. Поскольку в точке (0,1) вектор фвзовой скорости имеет координаты (-1,1), то он направлен влево и, значит, движение по спиралям при $ -> +ос идет от начала координат против часовой стрелки, Поведение фазовых траекторий лннеаризованной системы показано на рис.
13. 6 ~ | ~ | Г ~ ~ ~ | ~ ~ Рис. 13 Если точка (О,О) является центром для линеаризации (3), то теорема о качественной эквивалентности систем (1) и (3) может не выполняться. Эта точка может быль для нелинейной системы либо центром, либо фокусом, либо так называемым центрофокусом, т.е. положением равновесия (1), в окрестности которого имеются как замкнутые траектории, так н траектории типа логарифмической спирали. Приведем пример. Пример 2.
Определить характер положения равновесия системы < Х! = -Х2 — Х! (Х), Х2 Х! Х2 ' )Х(6 где ф = /~~!+Хэт 235 3 3. Нелвиейнме автономные системы второго порядка структура предельных множессн траекторий таких систем может быть различной. Определение. Точка х Е Й называется ы-предельной точкой траектории х = ~р(С) системы (1), определенной при всех С > О, если найдется такая последовательность Сь > О, Сь -+ +со, что Сэ(СС) -с х при С -~ +оо.
Множе. ство всех ы-предельных точек траектории (1) называется ее ы-предельным множеством. Заменив в этом определении условия С > О, Сь > О, Сь -г +оо условиями С < О, Сь < О, Са -+ — со, получям определение а-предельной точки и сопредельного множества траектории (1). Теория А. Пуанкаре — И. Бенднксона (см. (2), [5)) дает описание структуры предельных множеств траекторий системы (1). На фэзовой плоскости типичными предельными множествами траекторий являются: положения равновесия, кривые типа сепаратрис, двоякоасимптотические к седловым положениям равновесия, и так называемые предельные циклы, Определение.
Предельным циклом системы (1) называется такая замкнутая траектория (1) в области Й, которая изолирована от всех остальных замкнутых траекторий системы (1) в области Й. Пример 3. Показать, что автоноынвл система < йг = — хэ + хс (1 — )хО, хе=х1+хэ(1 1х~)р где )х)~ = х~с+ хсс, имеет предельный цикл (х(~ = 1.
Ь Перейдем к полярным координатам т,Сэ по формулам хс(с) = т(с) сову(с), хэ(с) = т(с) эгле(с). Тогда система примет внд < г = т(1 — т), Сг = 1. Решениями полученной системы являются: т г = О, т. = 1, !и — = С + см ~р = С + сз. )1 — т) Отсюда следует, что г = Π— положение равновесия, а при О < т < 1 г > О и траектории-раскручивающиеся спирали, приближающиеся к окружности г = 1. При т > 1 имеем й < О и траектории скручива- 236 Глава 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
