1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Нормальные автономиые системы дифференциальных уравнекий ются при возрастаиии 1-++со. Фазовый портрет Заданной системы качественно эквивалентен портрету, изображенному на рис. 14. Рис. 14 Не все предельные циклы системы (1) ведут себя так же, как предельный цикл примера 3. Существуют три типа предельных циклов: а) устойчивый (притягивающий) предельный цикл, где траектории навиваются иа предельный цикл с обеих сторон при 1 -ь +со (см. пример 3); б) неустойчивый (отталкивающий) предельный цикл, где траекто. рии — спирали удаляются от предельного цикла с обеих сторон при 1 -+ +со; в) полуустойчивый предельный цикл, где траектории с одной стороиы иавиваются на предельный цикл и удаляются от него с другой стороны при С вЂ” > +ос.
Для автономной системы (1) можно дать критерий, позволяющий в некоторых случаях установить существование предельного цикла (см. (36)). Одиако нет общих методов нахождения предельных циклов для системы (1). Наиболее важными с физической точки зрения являются притягивающие предельные множества — аттракторы, когда с течением времени произвольная траектория системы (1) из некоторой области притяжения аттрактора притягивается к аттрактору. В частиостя, аттрактором может быть устойчивый предельный цикл.
В теории нелинейных колебаний такого рода системы называют автоколебательпыми системами. Если ограничиться рассмотрением лишь систем (1) в компакте (ограниченной замкнутой области) Й, имеющей в Й конечное число положений равиовесия, то (см, [5]) можно дать полиую характеристику предельного множества любой траектории (1). Это позволяет устаиовить качественную (топологическую) структуру разбиения Й иа траектории и тем самым построить глобальный фазовый пор- 'З 3. Нелинейные автономные системы второго порядка трет системы (1) в области П. На практике построение глобального фазового портрета (1) обычно проводится либо методом изоклин, либо методом, связанным с нахождением точной или асимптотической формулы всех траекторий (1), либо чнсленнымн методами.
А Пример 4. Нарисовать глобальный фазовый портрет уравнения нелинейного маятник» х+ в)пх = О. с1 Положениями равновесия являются точки Мь(ят,О), Х Е Е, причем Мь — центры прн четных к и Мь — селла при нечетных )г. Для получения глобального фазового портрета найдем уравнения траекторий. Умножив заданное уравнение на х, получаем хй+ хе!пх = О. Отсюда хе = 2(созх+ с), где с — проязвольная постоянная. Заметим, что с > -1, так как при с с -1 имеем 2(созх+с) С О, что невозможно. При с Е ( — 1,1) фазовые траектории замкнутые. При с = 1 имеются две разделительные траектории (сепаратрнсы) х 2( *+П *2 2 Прн с > 1 фазовые траектории не пересекающиеся и не самопересекающиеся.
Остается построить графики хз = 2(сов х+ с). Окончательная картина поведения траекторий на фазовой плоскости представлена на рис. 15. Рис. 1о Из локальных фазовых портретов в точках Мь нельзя получить такой полной внформации о поведении фазовых траекторий уравнения, как нз глобального фазового портрета. 238 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений Как видно из рисунка, состояние маятника определяется углом его отклонения от положения равновесия х и скоростью й. Но для значений х, отличающихся на целое число 2кп, динамика системы одинакова. Поэтому в силу отсутствия однозначносги плоскость переменных х,й ие является, строго говоря, фезовой плоскостью ма ятника. О колебаниях в окрестности центра неясностей не возникает.
Однако при с > 1 движение становится вращательным, фазовая плоскость не годится для однозначного описания и в рассмотрение вводят цилиндрическое фазовое пространство. На поверхности фазового цилиндра изображение фазовых траекторий показано на рис. 16. седло селарасраса Рис. 16 Кривые, лежащие внутри сепаратрис, замкнуты и охватывают центр. Кривые вне сепаратрис тоже замкнуты, ио они охватывают цилиндр и описывают новый тип движений, обусловленных вращением. Итак, фазовым пространством маятника естественно считать не плоскость, а цилиндр. Наворачивая на цилиндр нарисованную картиму на плоскости (з,й), получим фазовые кривые маятника на поверхности цилиндра.
л Замечание. Структура предельных множеств траекторий автономной системы (1) при и > 3 окончательно не изучена до сих пор. Более того, при п > 3 не изучены даже все типы аттракторов. Однако при и > 3 теперь известно, что кроме регулярных аттракторов в виде положений равновесия, предельных циклов или р-мерных торов, существуют еще так называемые странные аттракторы. Оии представляют собой притягивающие ограниченные предельные множества траекторий сложной структуры. Фвзовые траектории представляются здесь в виде бесконечной нигде не пересекающейся линии, причем при 1 -+ +со траектории не покидают замкнутой области и ие притягиваются к регулярным аттракторам.
Странные аттракторы при и < 2 не существуют. При и > 3 имеется принципиальное различие между регулярными и странными аттракторами. Регулярные аттракторы характеризуются устойчивостью фазовых траекторий и по Ляпунову и по Пуассону (определение устойчивости по 241 з 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия так как Л = 2~~Я- 1 — комплексные числа. Аналогично, лри с < 0 начало координат — устойчивый фокус. Перейдя в исходной системе к полярным координатам г,ы, получаем < г = сг(1 — гз) э!пз1п, ф = — 1 + гг(1 — гз) з)их соэ1п, При с > 0 отсюда 1 = 0 даат начало координат и г ж 1 дает окружность, являющуюся предельным циклом, поскольку при 0 < г<1 получаем г>0, ф<0, а при г>1 получаем г<О и ф<0 при г < ~/2. При с < 0 картина аналогичная, меняется лишь направление движения по траекториям.
Таким образом, с = 0 является точкой бифуркации заданного уравнения. ,й 54. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия Как уже говорилось в З 3, в случае, когда линеарнзация автономной системы является сложной системой, то по ней нельзя классифвцировать положения равновесия нелинейной автономной системы. Приведенные ниже определения устойчивости положения равновесия автономной системы позволяют дать грубую классификацию качественного поведения траекторий в окрестностя положения равновесия для произвольных автономных сисгем. Пусть задана автономная система х(1) = Лх), (1) где 1 е В~в и у(х) — заданная непрерывно дифференцнруемая вектор- функция с и компонентами в некоторой области й евклидова пространства й".
Зададим начальное условие х(О) = хв Е П (2) и обозначим решение задачи Коши (1), (2) через х(1,хв). Пусть а Е й является положением равновесия системы (1). Без ограничения общности можно считать а = О, поскольку в случае а ~ 0 заменой х — а = у в (1) можно получить автономную систему, для которой уже у = О— положение равновесия. Итак, пусть х = 0 е й является положением равновесия (1). В дальнейшем считаем, что Эг > О такое, что при Ухо Е й, (гс( < г, решение х(с,хе) (1), (2) определено для всех 1 > О.
(Достаточные условия для этого см. в теореме 1 з 1 и в замечании к этой теореме.) Определение. Положение равновесия х = О автономной системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, селя для Чс > 0 найдется 0 < д = 242 Глава 7. Нормальные автономные системы дифференциальных уравнений б(е) < г такое, что из ~хе! < б следует 1х(1,хо)! < е для всех 1 > О. В противном случае положение равновесия х = О называется неустойчивым положением равновесия системы (1). Устойчивое по Ляпунову положение равновесия х = О системы (1) в случае и = 2 можно проиллкктрировать ца рис. 17.
Рис. 17 Любая траектория (1), начинающаяся в б(е)-окрестности точки О, остается в наперед заданной е-окрестности точки О при всех 1 > О. Определение. Устойчивое по Ляпунову положение равновесия х = О системы (1) называется аснмптотическн устойчивым, если Эгм такое, что О с г| < г и 1!ш х(дхо) = О при (хо) < гь Асимптотическая устойчи- в-н.ее вость х = О геометрически означает, что любая траектория (1), начинающаяся в некоторой окрестности х = О, прн 1 — ~ Есо стремится к х = О. Если рассмотреть простую линейную однородную систему при и = 2 х = Ах (см. З 2), то непосредственно нз определений следует, что устойчивые узел, фокус, дикритический узел и нырожденный узел являются асимптотнчески устойчквыми положениями равновесия, Центр является устойчивым по Ляпунову, но не асимптотически устойчивым положением равновесия.
Наконец, седло н неустойчивые узел, дикрнтический узел, вырожденный узел, фокус являются неустойчивыми положениями равновесия автономной линейной системы на плоскости. Отметим важность для практики понятия устойчивости по Ляпунову. Если задача Коши (1), (2) моделирует некоторый реальный процесс, то ее решение х(1,хе) пригодно для практики только в случае непрерывной зависимости решения х(е,хо) от начального условия (2) для бесконечного промежутка изменения 1, т.е. в случае устойчивости по Ляпунову.
Если бы нвс интересовал лишь малый промежуток (О,Т] времени е, то теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши (1), (2) (см. главу 4) гарантирует малое изменение решения х(дхе) при малом изменении хе. Для полуоси Ф > О непрерывной зависимости х(йхо) от хе может уже н не быть, в чем легко убедиться на примере уравнения х = х.
243 5 4. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия В дальнейшем будут указаны достаточные условия, обеспечивающие устойчивость по Ляпунову положений равновесия (1). Теория устойчивости была создана трудами многих математихов, но особенно важные результаты этой теории были получены язвестным русским ученым А.М.Ляпуновым. В его честь и введен термин»устойчивое по Ляпунову» положение равновесия.
Замечание. Введенные определения характеризуют типы устойчивости тривиального решения х = О автономной системы. Совершенно аналогично, для решения х = рр(1) неавтономной системы (3) х = 1(с,х) можно ввести понятие устойчивою по Ляпунову решения х = р»(р) системы (3), асимптотически устойчивого решения н неустойчивого решения. Вопрос об исследовании устойчивости решения х = <р(1) системы (1) путем замены х = у+ <р(р) сводится к исследованию тривиального решении у = О некоторой другой системы, получаемой из (3).
Кроме введенного понятия устойчивости относительно начального значения хр, можно ввести аналогичным образом понятие устойчивости положения равновесия относительно параметра Л для автономных систем с параметром х(1) = 1(х, Л). Исследуем теперь устойчивость положения равновесия х = 0 для автономной линейной однородной системы с постоянными коэффициентами х(») = Ах(»), (4) где А †заданн действительная числован квадратная матрица порядка и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
