1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Следствие. Если А — числовая матприцо, то йес сА еврА О Достаточно взять хе = О, х = 1 н применить теорему для Иг(х) = Йе1с* . замечание. поскольку матрица 1г(х) = [[р1(х),,ро(х)[[ является решением матричного дифференциальною уравнения (4), то формулу (6) можно интерпретировать в терминах решений (4). Именно, если 1'(х)— решение (4), то справедлива формула Лиувилля — Остроградского Х и А(ОАС г)есУ(х) = 1)езУ(хо) с*в, Чх б [о,д[.

166 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами Пример 1. Найти фуядамептальную матрипу линейной системы < у~1 — — У1 сов х + уз в1 и и, Уз = У1 31П х + Пз сов х, убедившись в том, что матрица системы перестановочна со своей первообразной. Ь Имеем л*) = ('.'* ""'), 1' кол - (, "",*, о ( ) / (~) ~ / (~) . ( ) (Совх — соо2х о о 1 — сов х) вшх сов х — сов 2х в1пх л Используя приведение матрицы 1'А(~)И~ к диагональной форме, на- о ходим фундаментальную матрицу заданной системы .1 л(11ос и„~сь(1 — сов х) вЦ1 — сов х)) ф(х) — ео сил л вЬ(1 — совх) СЦ1 — солт) найти общее решение этой системы. С1 Пусть у1 = 91(т), уз = Ф(х) — решение системы с начальным условием ~р(0) = О, 1Л(0) = 1, Согласно формуле Лиувилля — Остроградского тогда 1 + Л „ ( )) )1 О Лл11-*1е1л' — *ь13О Отсюда (1+хо)1У(х) — хьо(х) = е*. С учетом этого равенства из второго уравнения системы следует, что 4~'(х) = Оо(х) — хФ(х) + ел, а при х оо 0 ~/( ) ф(х) + (, 1)ел Учитывая, что ф(0) = 1, тогда получаем: 9(х) = е*, 1о(х) = х ел.

Приьвер 2. Зная одно решение У1(х) = 1+ хо, уз(х) = х линейной системы У1 — — х(1 — х)У1 + (хз — хз + х + 1)уо, Уо (1 х)У1 + (х х + 1)уз~ 1В2 З 3. Линейные неоднородные системы Значит, фундаментальная матрица системы и общее решение заданной системы где ст и сз — произвольные постоянные. З 3. Линейные неоднородные системы Рассмотрим линейную неоднородную систему у'(х) = А(х)у(х) -ь У(х), (1) где х Е [а,В[ — заданная непрерывная на [а,ф] квадратная матрица порядка и, /(х) — заданная непрерывная на [а,Д вектор-функция с и компонентами. Непосредственно проверяется следутощее предложение, называемое принципом суперпозиция для системы (1). Лемма.

Еслит(х) = (~(х)ЬУт(х),ут(х) — решение системы(1) при условии /(х) щ Л(х) и уг(х) — решение системы (1) при условии у(х) щ уг(х), то у(х) = у1(х) + ут(х) — решение системы (1). Если известно какое-либо частное решение (1), то интегрирование линейной неоднородной системы (1) сводится к интегрированию соответствующей (1) линейной однородной системы г'(х) = А(х)г(х). Теорема 1. Лусть ус(х) — некоторое частное решение (1) и Ф(х) — фундоментольнол маглрицо (2).

Тогда все решения системы (1) зодаютпся формулой у(х) = Ф(х)с+ уо(х), где с — произвольный числовой и-мерный вектор. О В системе (1) сделаем замену у(х) = г(х) + уо(х), Тогда получаем, что г(х) удовлетворяет системе (2). Общее решение системы (2), как установлено в з 2, имеет вид х(х) = Ф(х)с, (3) 188 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами где с — произвольный числовой и-мерный вектор. Из замены следует утверждение теоремы. Формулу решения (1) из теоремы 1 называют общим решением системы (1).

Если же частное решение уэ(х) системы (1) неизвестно, а известна лишь фундаментальная матрица системы (2), то все равно линейная неоднородная система (1) может быть решена в квадратурах. В этом случае общее решение (1) находится методом вариации постоянных (методом Лагранжа). При и = 1 метод Лагранжа был рассмотрен уже в главе 1.

Теорема 2. Если Ф(х) — $ундаметттольнал матрица линейной однородной системы (2), то общее решение линейной неоднородной системы (1) при всех х б [ст,)3! аадаетсл 4ормулой у(х) =Ф(х) д+ф(х) /Ф-'КШСИС, ье где ао б [и, )з] и д — произвольный числовой п-мерннй вектаор. О Согласно Лагранжу ищем решение (1) в таком же виде (3), что и решение однородной системы (2), но считаем с не постоянным, а нспре. рывно диффереицируемым вектором с(х), х б [а,р]: у(х) = Ф(х) с(х). При таком переходе от у(х) к с(х) потери репзений (1) пе происходит, так как <Ыф(х) 1Е О. Ниже будет видно, что такая замена неоднозначна. Функцию с(х) находим подстановкой у(х) в систему (1).

Используя формулу щюизэодной произведения матрицы н вектор-функции, получаем, что ф'(х)с(х) + Ф(х)С(х) = А(х)ф(х)с(х) + У(х). Поскольку (см. э' 1) Ф'(х) = А(х)Ф(х), то Ф(х)с'(х) = у(х). Так как матрица Ф(х) — невырожденна на [о,(т], то отсю а д с'(х) = Ф '(х) .у(х). Это уравнение можно интегрировать, поскольку ф '(х).1(х) — непрерывная вектор-функция на [а,)з]. Проинтегрировав последнее уравнение, по. лучаем утверясдение теоремы. Следствие. Решение задачи Коши длл линейной системы (1) при началь- ном условии у(хо) = уэ, где хо й [о,)т], имеет оид у(х) = Ф(х) ф '(хо)уэ + Ф(х)~ Ф '(~)7(Оса.

1бй $3, Линейные неоднородные сксгемы Замечании. 1) Если обозначить через уе(х) второе слагаемое в формуле общего решения системы (1), то йе(х) — решение системы (1), удовлетворяющее начальному условию уе(хе) = О. 2) Матрица К(х,~) = Ф(х) ° Ф ~(~) является матрнцантом системы (1), удовлетворяющим начальному условию К(~,~) = 8.

3) В случае, когда в системе (1) матрица А — числовая, фундаментальная матрица Ф(х) = евл и общее решение системы (1) зашюыввется уже известной из главы 3 формулой р(х) =евл 1+/ (* "" У(ОК 4) При решении конкретнык примеров методом вариации постоянных удобнее искать решение (1) не в виде у = Ф(х) ° с(х), а в виде р = с~(х)хг(х) + - + с„(х) 1с„(х), где хг(х),,1о„(х) — фундаментальнан система решений (2).

Пример. Методом вариации постояннык решить линейную неоднород- ную систему при х > О < р( — — 4уг — 2 уж рз = бщ — 4рз + и"х. Ь Найдем сначала общее решение соответствующей линейной однородной системы. Для нее матрица системы А-(а -4) имеет двукратное собственное значение Л = О и жорданов базис состоит из собственного вектора йг и к нему присоединенного вектора лз. ь = (,'), ь = (~).

Общее решение линейной однородной системы имеет вид ("') - (') - < (') (1)! где с~ и сз — произвольные постоянные. Ищем общее решение заданной системы в таком же виде, но считаем с~ —— сг(х), сз = сз(х)— непрерывно дифференцируемыми функциями х > О. Подставляя выражения для рмуз в искодную систему, получаем, что < с',(х) + (х + -')Щх) = О, 2с', (х) + 2х ~(х) = ~х. Отсюда находим, что с~э(х) = (2х+ ~~)т/х, сг(х) = — 2,/х, и, значит, /1 4 г'т 4 сэ(х) = ~-х+ -х ) тУх+ А, сг(х) = — -хтУх+В, 1,3 5 ) ' 3 где А и  — произвольные постоянные.

Следовательно, общее реше- ние исходной системы имеет вид 'Упражнения к главе б 1. Составить линейную однородную систему дифференциальных уравнений, имеющую решения ут(х)=( ), уг(х)=( ), х>0, 2. Может ли линейная система в у! — — хуэ + уг сов х, 1 уг = (х — 1)вуэ уг иметь два ограниченных на (О, +со) линейно независимых решения? 3. Найти при х > 0 все решения линейной снстеыы 1 ут + уг~ х 2 1 хг"'+ х"' ут = Ф уг = если известно одно ее решение ут = х, уг = 2. 4. Найти общее решение линейной системы при х Е (0,1) у' = А(х)у + у'(х), если уа(х) 1 0 А(х) = О а(х) 1 0 0 а(х) где а(х), 1(х) — непрерывные яа [0,1] функции. 5. Найти фундаментальную матрицу линейной системы < у', = — у1 в!пх+ узсовх, уг = ут сов х — уг в! и х, убедившись в том, гго матрица системы перестановочна со своей про- изводной. 170 Глава 5.

Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами Глава б Линейные дифференциальные уравнения порядка п с переменными коэффициентами е В Х. Общие свойства Линейным дифференциальным уравнением порядка и называется уравнение у1п) + а, (х)у(а-г) + " + ап(х) и = 1(х), (1) где х е [а,)3], аг(х), у = 1,п, — заданные непрерывные функции на [о,Д], называемые коэффициентами уравнения (1), и 1(х) -заданная непрерывная на [а,Я] функция, называемая правой частью уравнения (1). Если Дх) гв О на [а„В], то уравнение (1) называется линейным однородным уравнением. В противном случае уравнение (1) называется лянейным неоднородным уравнением. В этой главе коэффициенты а (х), у' = 1,п, и правая часть Дх) уравнения (1) могут принимать комплексные значения.

Комплекснозначная функция у = ~(х) называется решением уравнения (1) на [о,~З], если 1о(х) и рвз непрерывно дифференцируема на [о,Д и обращает (1) в тождество на всем [а,Д. Непосредственно проверяется следующее утверждение, называемое принципом суперпозицни для уравнении (Ц. Лемма 1.

Характеристики

Список файлов книги