1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 25
Текст из файла (страница 25)
По теореме 1 решение — "-~-' — этой задачи Коши является непрерывной функцией х, А. Переходя в этом решении к предев,ы,,л1 лу при ДЛл ~ О, получаем, что частная производная — ~-' определена ! и непрерывна при [х — хе[ < б, ]Л вЂ” Ле[ < г. Из тождества Адамара в силу непрерывности Р1 н Рз слевует, что Р1 — л Я, Рз — > 81(- при ДЛ1 — л О. Переходя к пределу в задаче (8) при ДЛл -+ О, получаем, что х1(х, Л) = бзлп удовлетворяет первому уравнению из (6) и условию гл(хэ,Л) = О. Это значит, что смешанная производная у.Я-.
непрерывна при [х — хе] < Э, э' [Л вЂ” Ло[ < г. Но р = ул(х, А) — решение уравнения иэ (5), т.е. др(х, Л) При ]х — хе] < б, [Л вЂ” Ло] < г правая часть этого тождества имеет непрерывную частную производную ег-, так как ~р(х,Л) в силу доказанаг ного выше имеет непрерывную производную 8~с и по условию теоремы ! 2 Я,Щ-, 1 = 1,т,— непрерывны. Таким образом, и левая часть ~ф — '1 55. Зависимость решения задачи Коши от параметров н начальных данных 139 тождества имеет непрерывную 5Д,—. В силу известной теоремы из курса анализа дзз, д21с дхдЛ~ дЛ~дх' Отметим, что уравнение в вариациях является линейным уравнением первого порядка. Замечание.
Аналогичные результаты имеют место для нормальной системы, для уравнений порядка и н,для непродолжимых решений (1) (см. [36], [47]). Пример 1. Найти производную по параметру Л от решения задачи Коши у'= Л(1 — х)+ р — уз, у(0) = О, прн Л=О. Ь Пусть у = ~р(х, Л) — решение задачи Коши и пусть я(х, Л) = 5Л'-.
По теореме 2 я(х,Л) — решение задачи Коши — = [1 — 2~р(х, Л)] х+ 1 — х, в[я=о = О. дх Поскольку у = ес(х,О) — решение задачи Коши р — у — р, у(0) =О, то ~р(х,О) ш О. Тогда для я(х,О) получаем задачу Коши х'=я+1-х, х(0) =О, откуда х = х. Можно установить и обобщеяие теоремы 2, касающееся существования н непрерывности производных высших порядков по параметрам. Молсно показать, что в случае, когда при (х,у) б С и ]Л вЂ” Ле[ < г непревы~ е,,А рывны функция /(х,у,Л) и все ее частные производные ]а[ = аз+ а~ + + аш, до порядка й > 1 включительно, то решение у = 1е(х,Л) задачи Коши (5) прн [х — хе[ < б, [Л вЂ” Ле[ < г имеет все непреамслюи рывные частные производные — з-,'"-''-е,„-, [д[ = А + + Аа, до порядка в~л, ...вл'„- ' 5 > 1 включительно.
Более того, решение у = ~р(х, Л) можно разлшать по формуле Тейлора по степеням (Л-Ло) в окрестности Л = Ле с остаточным членом О ((Л вЂ” Ле)ь). Если же функция У(х,у, Л) является аналитической функцией у,Л в некоторой окрестности у = ре, Л = Ло, то можно доказать, что и решение р = 1с(х, Л) задачи Коши (5) нвляется аналитической функцией Л в некоторой окрестности Л = Ло.
140 Глава 4. Исследование задачи Коши Теорема 2 и ее обобщения позволяют получать асимптотическое по параметру Л представление решения задачи Коши (5) при Л ~ Ле. Ме. год получения асимптотических при Л -+ 0 представлений решения задачи Коши в физических задачах обычно называют методом малого па раметра. Итак, пусть требуется решить задачу Коши у' = У(х,у,л), у~ = = уе, (9) где У(х, у, Л) удовлетворяет условиям теоремы 2 при т(х, у) б С и [Л[ < э, г > О.
В этом случае задача Коши (9) яазывается регулярно возмущенной. Рассмотрим задачу Коши, получающуюся из (9) при Л = 0: у' = ~(х, у, О), у(хо) = уе (10) Зэлача Коши (10) называется иевозмущенной. Задача Коши (10) проще задачи (9). Пусть ее решение у = у(х) нами найдено для х б Х (хо б 2). При выполнении условий теоремы 2 решение у = <р(х,Л) возмущенной задачи Коши (9) можно разложить па формуле Тейлора при Л = 0 с остаточным членом в форме Пеано (для простоты считаем Л скаляром): у(х,л) = ~р(х,о) + ' Л+ 0(х, Л). ду(х, 0) (11) В силу теоремы 1 р(х,о) ш 1о(х), а в силу теоремы 2 э(х) сн -ф-) однозначно находится как решение задачи Коши длл уравнения в вариация:с дУ[х,~р(х),0) а~[х,х(х),0[ ау Таким образом, формула (11) дает асимптотическое при Л -~ 0 рвало. жение решения регулярно возмущенной задачи Коши (9). Если у(х,у,Л) имеет непрерывные производные по у, Л высших порядков, то разложение (11) можно уточнить.
Теория регулярных возмущений, которая обосновывает асимптотические формулы по малому параметру, является теоретической базой для общепринятой в физике техники отбрасывания малых членов уравнения. Метод малого параметра применяется не только для решения задачи Коши, ио и для решения других задач. Например, для получения периодических решений нормальных систем, регулярно возмущенных параметром Л, метод малого параметра тоже является эффективным. Пример 2. Найти асимптотическую формулу при Л ~ 0 до 0(х, Лз) ре- шения задачи Коши у' = у — ут + Л(1 — х), у[ =э = О.
Ь Для тх б Вэ и при Л -+ 0 решение у = ~р(х,Л) ищем в виде: ч~(х, л) = ~р ( ) + л р, (. ) + Вр (х) + О(х, Лз), р аЛ" ' 1с = 0,1,2. 1 дакар(х, 0) 33. Зависимость решеяяя задачи Коши от параметров и начальных данных 141 После подстановки ьс(х, Л) в исходное уравнение и начальное условие получаем, что ре()с), у1(х), у~(х) — соответственно решения следующих задач Коши: у'=у — у', у(О) =О, у~ = у+ 1 — х, у(0) = О, у~ = у — х~, у(0) = О. Отсюда находим, что ро(х) н О, р1(х) =х, рз(х) = — 2е*+хз+2х+2 и, значит, р(х, Л) = Лх + Лз( — 2е*+ хз + 2х + 2) + О(х, Лз), Л ~ О, 2.
Зависимость решении задачи Коши от начальных данных Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы у (х) = у(х,у), у(хе) = уо, (12) где Дх,у) — заданная вектор-функция с и компонентами в области 0 С Й"„+„'Р а начальная точка (хо,уо) принадлежит некоторому шару Я„с С радиуса г > О: Я, = ((хо,уо) 6 Су: !хо — хе)~+ )уо — уо1~ < г~): Теорема 3. Если у(х,у) — непрерывно е области С и удовлетворяет е С условию Липшица по у равномерно по х, то найдется число б > 0 такое, что решение у = р(х, хо,уо) задачи Коши (12) является непрсрыеноа функциее х,хо,уе при )х — хо! < б, (хо,уа) е Я„.
О Прн замене переменных х — хо = С, у — уо — — е задача Коши (12) лере- ходит в эквивалентную задачу Коши е (Е) = У(хо+1, ус+ е) ш Г(е,е,хо,уа), е(0) =О. (13) В задаче (13) параметры хш уо уже входят в правую часть системы. Из условий теоремы 3 следует, что Е непрерывна и удовлетворяет условию липшица по з равномерно по е,хо,уо при всех (1,л) е 0 (Π— область, полученная яз области ьу при замене переменных) и всех (ха,уо) к Я,. Поэтому для зэдачи Коши (13) применима теорема 1. В силу этой теоремы решение е = тс(Ф,хо,уо) задачи Коши (13) является непрермвной функцией с,хо,уо прн )Ф! < б, где б > О, и всех (хо,уо) 6 Я,. Следовательно, и решение задачи Коши (12) р(х,хе,уо) = уо+Ф(х — хе,хо уо)— непрерывная функция х,хо,уо при )х — хо) < б, (хо,уо) б Ег ° 142 Глава 4.
Исследование задачи Коши Вопрос о дифференцируемости по начальным данным рассмотрим для простоты в случае скалярною уравнения первого порядка в нормальной форме. Пусть задана задача Коши у' = Пх, у), у(хо) = уо (14) Теорема 4. Пусть функции 1(х,у), -"фУ) мепрерывмы в области С и пусть (хо, уо) Е Я„. Тогда найдется такое число б ) О, что при [х — го[ < б, (хо,уо) б Я«для решения у = гь(х,хо,уо) задачи Коши (14): 1) частмые производные ~~-, ф непрерывны, аь вь 2) смешанные частные производные ~-Я-, у„-ф непрерывны, 3) частная производная у»"-,- = и(х,хо,уо) удовлетворяет «уравнемию в в вариациях по хо» ди д~ [х, р(х,хо,уо)] дх ду и начальному условию и[ -щ = — Дхо> уо), 4) частная производная ф = и(х,хо,уо) удовлетворяет «уравнению в вариациях по уо» ди дУ [х, у(х, хо, уо)] дх ду и начальному условию и[«=ее = 1. О при замене х — хо г, у — уо = г задача коши (14) примет вид г'(1) = у(хо+ 8, уо+ з) ш р(Е г хшус) «(О) = О (15) для которой выполнены условия теоремы 2.
Если х = гб(е,хо,уо) — роше. ние задача Коши (15), то ьь(х,хо,уо) = уо+ьб(х-хо,хо, уо) — решение звдочи Коши (14). Тогда из выполнения для «Р(е,хо,уо) утверждений теоремы 2 получаем для р(х,хо,уо) утверждения теоремы 4, если учесть, что др дР дб др дР + — =1+— дхо д1 дхо * дуо дуо Замечания. 1) Уравнения в вариациях в теореме 4 формально получаются путем подстановки в (14) решения у = 1о(х,хо,уо) и дифференцирования по хо,уо полученного тождества. Поскольку уравнения в вариапиях в теореме 4 являются линейными уравнениями первого порядка, то можно выписать явные формулы для Я~. и ф.
а Утб 2) Аналогичные результаты справедливы для уравнений порядка п в нормальной форме н для непродолжимых решений задачи Коши (см. [Зб], [47]). 15. Зависимость решения задачи Коши от параметров в начальных данных 143 3. Корректность зццачи Коши Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы у'(х) = У(х, у), у(ха) = уо, (16) где г'(х,у) — заданная вектор-функция с и компонентами в некоторой области С С В~+„)Р (хе,уо) Е О. Определение.
Задача Коши (16) называется корректной, если найдется такой промежуток т (хг е т), что при тх е т решение у = эт(х) задачи Коши (16) существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи Коши (правой части системы и начальных данных хо,уе) в том смысле, что для тг > О можно найти такое б > О, что как только ~Их,у) — У(х,у)( < б, !ха — хо) < б, (уе — уо) < б то прн ттх Е Т )ф(х) — ю(х)! < г. В этом определении считается, что Дх,у) определена в С, (хшуе) Е С и у = Чт(х) — решение задачи Коши (1) прк 7(х,у) и г'(х,у)т хе = хг, уо = уо.
Рассмотренная в пп. 1, 2 непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и началькых данных является частным случаем вопроса о корректности задачи Коши. Именно корректные задачи Коши могут служить математической моделью реальных физических процессов, так как данные этих процессов, как правило, определяются лишь приближенно и, следовательно, необходимо быть уверенным в том, что решение задачи Коши мапо изменяется при малых изменениях исходных данных задачи Коши. Установим достаточные условия корректностя задачи Коши (16). За метим, что в и. 2 при п = 1 корректность задачи Коши (16) по отношению к возмущению начальных данных уже была доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
