1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(2) Точка (хо,уе) е С называется начальной точкой, а ее координаты хо, ус называются начальными данными. Глава 4. Исследование эалачк Коше 118 Определение. Задача нахождения решения нормальной системы (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называется задачей Коши или начальной задачей. Геометрический смысл решения задачи Коши (1), (2] состоит в том, что ищется интегральная кривая нормальной системы (1) в области 6, проходящая через заданную точку (хо,уо) б 6'.
Система уравнений вида у(х) = ус+ / 1 [6 у(0] «~, го (3) где (хо уо) б 6, У(х,у) б С„(6), называется системой интегральных урав- нений. Вектор-функция у = ~р(х) называется решением на промежутке Х системы (3), если: 1. у(х) б С„(Т), 2. точка (х,~р(х)) б 6, Чх б Т, 3. у(х) ж уо + ( 1 ](, у(~)] д~, 'гх б Т. го Покажем, что разрешимость задачи Коши (1), (2) эквивалентна раз- решимости системы интегральных уравнений (3), Лемма об эквивалентности, Вектор-функция у = гг(х) — реигение зада- чи Коши (1), (2) на промежутке Т тогда и только тогда, когда у = у>(х)— решение на Х системы интегральных уравнений (3).
О Если у = ~р(х) — решение на Т задачи Коши (1), (2), то ~[к,ьг(х)]— непрерывная на Х вектор-функция. 'Гогда интегрирование от хо до х тождества ~'(х) и г'[х,у(х)] на Т с учетом (2) дает тождество из п. 3 определения решения (3), т. е. у = гг(х) — решение (3) на Х. Обратно, если у = гэ(х) — решенке (3) на Т, то у [х,р(х)] — непрерывная на Т функция.
Тогда, как еле,густ из курса анализа, можно дифференцировать тождество из п. 3 определения решения (3). Полученное в результате дифференцирования тождество показывает, что у = 1о(х) — решение уравнения (1). Полагая х = хо в тождестве и. 3 определения решения (3), находим, что у = ~р(х) удовлетворяет начальному условию (2). 2.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши Теперь сформулируем и докажем теорему, дающую достаточные уело. вия существования и единственности решения задачи Коши (1), (2). Эта теорема является основным теоретическим инструментом при изучении нормальных систем дифференциальных уравнений, которые, как правило, не допускают решений в квадратурах. б 2. Существование н единственность решения задачи Коши Теорема 1. Пусть вектор-функция у(х,у) Е Сп(С) удовлетворяет на находом компакте (ограниченном замкнутом множестве) области С условию Липшица по у равномерно по х и преть, кроме того, (хо, уо) Е С. Тогда: 1. найдется пгакое число б > О, что при [х — хе! < б решение задачи Коши (1), (2) суигествует, 2.
решение задачи Когаи (1), (2) единственно в том смысле, что если р = ьо(х) и у = чг(х) — два какие-либо решения задачи Коши (1), (2), то 1о(х) ш гр(х) на пересечении Х промезгсртков определения этих решений (хо б Х). [уг(х) — уо(х)! = г У[У уо]К < г т / !) [ч уо[(дь < М[х — хо! < Мб < Ч, о так как б < ~~. Значит, (х,у~(х)) Е С О В силу леммы об эквивалентности доказательство теоремы сводится к доказательству существования и единственности решения эквивалентной задаче Коши (1), (2) системы интегральных уравнений (3).
А) Доказательство существования решення системы (3). Поскольку (хо,уо) е С и С вЂ” открытое множество, то В такие числа р > О, о > О, что замкнутый ограниченный цилиндр С ((х, у) к С: [х — хо! < р, [р — уо! < о) пРинадлежит С.
Цилиндр Сгг представляет собой выпуклую по у область. В силу того, что цилиндр Сгг— компакт, найдется такое число М > О, что [у(х,у)! < М, У(х,у) б Ся . По условяю теоремы 1 вектор-функция у(х,у) в области С, удовлетворяет условию Липшица по у равномерно по х, т.е. Б число Ь > О, зависящее от цилиндра Ср, такое что [у(х~у!) 1(я~уз)! < Ь[у! уг[, У(х,уг) (х,уг) Е Срг (4) Будем строить решение системы интегральных уравнений (3) методом последовательных приближений Пикара при [х — хо! < б, где б пбп (р, 1гу). Определим последовательные приближения следующим рекуррентным образом орн [х — ха! < б: г уе(х) = уо ргы(х) =уо+ ~УЫ,уг(0! К 1=О 1 2* (3) гг Убедимся сначала в том, что при [х — хо! < б каждая функция уг(х)— непрерывна и что (х,уг(х)) Е Срг, г = О, 1,2,,...
Применим метод математической индукции. Ясно, что уг(х) непрерывна. По лемме 1 3 1 имеем, что при [х — хо! < б Глава 4. Исследование задачи Коши Пусть при !х — хс! < б функция Гл(х) непрерывна и пусть (хИЛ(х)) е Син Докажем, что при )х — хе! < б функцяя угы(х) непрерывна н (х,ыоы(х)) е Сж. Так как у,(х) непрерывка при !х — хе! < б н (х,ул(х)) б Сге, то при !х — хе! < б функции у (х,рн(х)! непрерывна.
Тогда из (5) следует непрерывность угь~(х) при (х — хе! < б. Кроме того, УК,р Ы))<К < о ь, м - ~ ~ = '(1 / (У((,у~(ДК < М(х — хо! < Мб < д. е Итак, при (х — хс! < б все последовательные приближения ГЛ(х) непрерывны н их графяки лежат внутри цилиндра Сж. Покъжем, что последовательность (у,(х))~е сходится равномерно для !х — хс! < б прн 1-+ оо. Как известно из курса анализа, равномерная скоднмость (1л(х))~~р зквивалентна равномерной сходямости нри )х — хе! < б ряда вида рс( ) + ~, (раы(х) - уд(х)!. (6) =е )х — хо)г+' (1 + 1)! Проверим для ряда (б) выполнение условий признака Вейерштрасса равномерной скодимости.
С помощью метода математической яндукцин установим справедливость оценки прн !х — хе! < б: !х — хе!'+ )~ы1(х) ул(х)! < Х~М ., $ = 0,1,2, (1 + 1)! (7) При 1 = О оценка (7) была установлена выше. Пусть !з !Кл(*) — ул г(х)! < Ь' 'М Так как (х,у;(х)) Е Сге, (х — хе! < б, то из неравенства (4) получаем: 122 Глава 4. Исслелованке задачи Коши В) Доказательство единственности решения системы (3).
Пусть у = ~р(х) — решение системы (3) па промежутке Х1 (хе Е Хг) н у = ол(х) — решенне системы (3) на промежутке Хз (хо е Хз), т.е. ~о(х) = 1(с+/ у[б,~р(()]о(~, Чх Е Хь оо ор(х) = УО + / 1 [<, ор(б)] о(б, Чх Е Хз. оо Тогда на любом отрезке [а,)3] промежутка Х = Х1 г) Хз, содержащем хе, справедлива оценка: [<о(х) — ор(х)] = / (у [ь, (о(б)] — у [б, ор(~)]) о<ь < о о <б /] (О-Ф(0]К, о поскольку прн х б [а,(3] ннтегральные кривые — компактные множества в С. По лемме Гронуолла ](о(х) — Ч(х)] = О, Чх Е [а,(1], т.е. <о(х) н о()(х) на [со,)3]. Так как [о,)3] — любой отрезок Х, то оо(х) ш о()(х) на всем проме- жутке Х.
Ф Геометрически теорема 1 означает, что через каждую точку (хе,уе) Е С в некоторой ее окрестности проходит единственная интегральная крввая системы (1). В качестве следствия теоремы 1 получим теорему существования н единственности решения задачи Коши для дифференциального уравне. ння поркала п в нормальной форме. 3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения порядка и в нормальной форме Рассмотрим дифференциальное уравнение (о) у [ о (ч-1)) (8) где у(х,уь...,рв) — заданная непрерывная функция в некоторой непустой области С о В"+„1 „, н начальные условия Мхе) = у(, у(хо) =((з, -,у„= у„, <о) о <о) ( — И <о) (9) где (хо,уо уз,,ро ) Е С.
<о) <в) <е) 128 $2. Сушествоваиие и единственность решения задачи Коши Теорема 2. Пусть функция )г(х,ум...,У„) непрерывна е области О, удовлетворяет па каждом компакте С условию Липшица по у), уз,, у» раеиомерио по х и пусть (хе,у,,...,У» ~ Е С. Тогда: )о) (е)1 1. найдется такое число б > О, что при )х — хе/ < б решение задачи Коши (8), (9) суи)естеует, 2. решение задачи Коши (8), (9) единстве»по е том смысле, чгло если у = аг(х) и у = гр(х) — деа какие-либо решения задачи Коши (8), (9), то ~р(х) ш у)(х) иа пересечении промежутков определения этих решений.
О Покажем сначала, что задача Коши (8), (9) редуцируется к задаче Коши для некоторой иормапьиой системы уравнений. Сделаем в задаче Коши (8), (9) следующую замену переменных; у = уы у' = уз, у" = уз,...,у(» ") = у„. Тогда уравнение (8) перейдет в нормальную систему вида у1 =уъ уг уз (10) У» — 1 = у»1 у'„=. з (х, ум у»), а начальные условия (9) примут вид: У1(хо) — уг ~ уэ(хэ) Уг ° ° У»(хэ) = у» (о) (о) <е) (11) Очевидна эквивалентность задачи Коши (8), (9) и задачи Коши (10), (11) в том смысле, что если у = Эз(х) — решение (8), (9) при х Е Х, то вектор-функция с компонентами )а(х), ф(х),...,~р~» г>(х) — решение (10), (11) при х Е Х в обратно, если вектор-функция с компонентами )з1(х),...,)р»(х) — решение (10), (11) при х Е Х, то функция у = )з1(х)— решеиие (8), (9) при х Е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
