1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 23
Текст из файла (страница 23)
хотя бы одна из координат М стремится к оо), либо расстояние от М до границы дС области С р(М,ОС) -+ О. О Пусть для определенности обяасть С не совпадает со всем пространством )1 "~1 и пусть Ао(хмуо) б С. Построим цилиндр Со = ((х,у) б С: [х — хо[ < ро,[у — уо[ < чо), где ро, уо < 44е и до = р(Ао, дС). Если А(х, у) б Со, то [ААо[ < [а — хо[+[у — ус[ < ро+ оо < ф. Следовательно, Со С С и по теореме 1 существует единственное решение задачи Коши (1), (2) у = ~ро(х) прн [х — хо) < Бо, где О < бо = пйп (ре, й;) Мо = и~ах)У(х,у)[ при (х,у) б Со Положим хг = хо+ бо, у) = 1оо(хе) и возьмем точку А~(хну~).
Построим цилицдр С~ = ((х,у) б С: [т — х~) < рм [у — у~[ < щ), $3. Непродолжимое решение задачи Коши где рыб < -~» н о» = р(АпдС). Так как С~ с С, го по теореме 1 $ 2 существуег единственное решение у = ЭЧ(х) системы (1) с начальным условием р(х~) = уэ, определенное при ]х — х~[ < бы 4 = ппп рп — ) > О, М» = шах[1(х,у)], (х,у) ч Сп о» ~ 1 В силу единственности решения на пересечении отрезков [хо — бэ, хо+бе], [х~ — бы х» + б~] решения д = Ээо(х) н у = 1э»(х) совпадают.
Поэтому вектор-функция 1гэ(х), [х — хо] < бэ у = Ф»(х) = эч(х), [х — х~] < бп является единственным решением задачи Коши (1), (2) из 3 2 на [хе — бо, х~ + б~], х~ = хо+ бе. Продолжая этот процесс дальше, на й-м шаге получим единственное решение у = Ф»(х) задачи Коша (1), (2) из 3 2 на [хс — бс, х»+ б»], где х» = хе+бе+б~+-. +б» „б, = ппп(р,, ~ф-), М = шах[Дх,у)[, (х,у) 6 Сб, б = 1, й.
При )с -» оо придем к единственному решению д = Ф(х) задачи Коши (1), (2) нэ 3 2, определенному на [хе — бэ,)3), где 13 = !1ш (х»+б»). »-+оо Покажем, что у = Ф(х) яепродолжимо вправо. Если )3 = оо, то вопрос о продолжения Ф(х) отпадает. Пусть [13[ < оо. Если 1пп Ф(х) не существует или равен хсо, то Ф(х) нельзя доопрег-чэ-0 делить в точке )3 и, значит, нельзя получить решение (1), (2) из з 2 на [хо — б» В], т.е. Ф(х) непродолжимо на этот отрезок. Если В 1пп Ф(х) = В, то положим Ф()3) = В.
Рассмотрим у = Ф(х) х-чэ-с для х й [хэ — бэ,)3] и покажем, что точка (ДВ) е дС н, следовательно, у = Ф(х) непродолжимо на [хо — бе,В]. Рассуждаем от противного. Пусть ЩВ) е С и Ф'(13) = ~[)3, Ф(13)]. Тогда интегральная кривая для у = Ф(х) на [хе — бэ,)3] — компактное множество Е ~ С. Из курса анализа известно, что тогда расстояние между В и дС р(В,ВС) = б > О. Рассмотрим точку Я(х,у) Е Ю н построим цилиндр С(1б) с центром в точке С: СЯ) = ((х,у) Е В: ]х — х[ < р, ]у — у[ < о), р = р(С(1б)), о = д(С(())), где р,о < -~~р®,дС), М(С(Я)) = шея[7(х,у)], 'э(х,у) й СЯ). В замкнутой области С= [] СМ,) Яэея ь-27б9 130 Глава 4.
Исследование ззлачя Коше !1(х,у)) < М(С) = шахйЩх,у)(, причем М(С) > М(С(Я»)); р(СЩ)) я ч(СЯ»)) > -тзИ. Но зто значит, что ' (в. <д' ) ' (д ' ) 0. Это противоречит условию В=*о+'5 б» <оо. »»н Итак, предположение (В,В) Е С неверно н решеяие у = Ф(я) непро. должимо в точку (~З,В).
Остается показать, что решение у = Ф(х) покидает всякий компакт К ~ С. Пусть р(К,дС) = с > О. Обозначим через К, замкнутое множество, полученное присоединением к К всех тех точек 0 б С, для которых л(О,ВК) < ~1. Пусть М, = шах(У(х,у)) прк г(х,у) е Кю Тогда при раяее проведенном построении неравенство справедливо до тех пор, пока Я» Е К. 'Гаким образом, каждый шаг продолжения продвигает решение Ф(х) больше, чем на се. Следовательно, конечное число продолжений реп»ения р = уе(з) с шагом Б» > се выведет интегральную кривую для у = Ф(х) из компакта К.
Аналогично строится продолжение решения р = Чм(х) влево от точки хе, Полученное иепродолжимое решение у = Ф(х) будет, таким образом, определено в некотором максимальном (а,л). Модификация проведенных рассуждений для случая, когда С совпз дает со всем Я~+„р очевидна. При условиях доказанной теоремы через халслую точку (хе,уе) Е С проходит единственная интегральная кривая Г системы (1) от границы н до границы области С (см. рис. 1). Рис. 1 З 3. Непрололжимое решение задачи Коши С учетом зависимости кривой Г от начальных данных (хе,уе) будем обозначать соответствующее Г единственное непродолжимое решение задачи Коши (Ц, (2) из З 2 через У = Ф(х,хо,Уо).
При фиксированных (хс, Уо) Е С функция Ф определена на максимальном интервале (с«,13), концы которого зависят, конечно, от начальных данных хс,уо. и = п(хо Уо), Р = 1у(хо Уо). Оказанное означает, что область С сплошь покрыта непересекающимися интегральными кривымн, если в С выполнены условия теоремы 1 нз з 2. Как будет показано в следующей главе, решение задачи Коши для нормальной линейной системы дифференциальных уравнений у'(х) = А(х)у(х) + г'(х) с заданными непрерывными на (а,11) квадратной матрнцей А(х) порядка и и вектор-функцией Дх) с и компонентамн существует и единственно на всем (а,)3), если только хе Е («г,р).
Это значит, тго решение такой задачи Коши является непродолжимым с областью определения (а,Р). Аналогичный результат можно установить н для «почти линейныхэ систем (1) в полосе. Именно, если /(х,у) Е С(С), С = ((х, у): х Е («г, 11),у Е ГС"), Дх,у) удовлетворяет в С условию Лнпшица по у равномерно по х, то решение задачи Коши (1), (2) нз $ 2 существует н единственно иа всем (а, ф), если только хо Е (а,)9). Условие Липшица по у является условием линейности роста у'(х,у) по у.
Оказывается, что при большем росте 1(х,у) по у ситуация меняется. Пример. Рассмотрим задачу Коши (у(х) — скалярная функция) у=у ~ у(о) =ус>1. Здесь функция Г(х,у) = уз имеет квадратичный рост по у и определена на всей плоскости Я1 ьр На пеРвый взглЯд нет видимык препятствий для неограниченного продолжения решения задачи Коши иа всю ось Ох. Однако зто не так. Искомое решение задачи Коши имеет вид у= уо 1 — уох и определено лишь при х > —.
1 ио' 132 Глава 4. Исследование задачи Коши 24. Общее решение дифференциального уравнения Ограничимся для простоты задачей Коши для скалярного уравнения у' = У(х,у), у(хо) = уе. (1) Будем считать, что в плоской области 6' выполнены условия теоремы 1 з 2. 'Гогда при У(хо,уо) б С зацача Коши (1) имеет единственное непродолжнмое решение (см. з 3) р = Ф(х,хо,уо), определенное в открытом множестве Й = ((х,хе,уе): х б (сг,13),(хо,уе) б О), где а = а(хе ро) )з' = д(хо уо) Как будет установлено в з 5, если У(х,р), уи е С(С), то решение Ф(х,хе,уе) является в Й непрерывно дифференцнруемой функцией.
Определение. Функция у = Ф(х,хс,рс), где (х,хо,ре) б Й, называется общим решением в форме Коши уравнения у' = у(х,у). Итак, общее решение в форме Коши содержит два параметра хо,уз. Параметры хо,ус общею решеыня имеют простой геометрический смысл; соответствующая ынтегральная кривая проходит через точку (хе, ре) б С.
Однако понятно, что параметры хо,ро не являются незавнсимымн, зшпример, уо = Ф(хе,хо,уе). Различные значения параметров могут давать одну и ту же интегральную кривую уравнения. Это будет так, когда точка (хо,уе) перемещается по фиксированной интегральной кривой. Если можно установить зависимость между хс и уо вида хе = хе(С), уе = ро(1) такую, что разным значениям $ соответствуют разные интегральные крввые н при изменении с точка (хо,уа) пробегает все интегральные кривые, то общее решение в форме Коши становится функцией только одного параметра й р = Ф(х,хе(г),ре(с)) = Ф(х,с).
(2) Например, для линейного уравнения первого порядка р = а(х)у+ Дх), где а(х),Ь(х) б ь.(а,13), при перемещении точки (хо,уо), хе б (а,р), по вертикальной примой хо = сопис общее решение в форме Коши становит. ся функцией только одного параметра уо. Таким образом, общее решение в форме Коши, задающее двухпараметрическое семейство ыепродолжнмых решений всевозможных задач Коши (1), в некоторых случаях может быть получено как однопараметрнческое семейство непродолжимых решений всевозможных задач Коши (1). з 4.
Общее решение дифференциального уравнения Определение. Непрерывяая функция у = Ф(х, С), где С вЂ” параметр, называется общим решением уравнения у' =,г"(х,у) в некоторой области Со С С, если для Ч(хо, уо) б Са уравнение уо = Ф(хо, С) имеет единственное решение Со = Со(хо, уо) и функция у = Ф(х, Со) является непродолжимым решением задачи Коши (1) в Со. Если хш уо связаны зависимостью хо = хо(с), уо = уо(1), удовлетворяющей выше сформулированным требованиям, то общее решение в форме Коши (2) при С = С становится общим решением уравнения.
Существование общего решения для проязвольнык уравнений у' = г(х,у) можно гарантировать лишь локально, т.е. в некоторой окрестности точки (хо уо). Теорема. Пусть |(х,у) — непрерывна в области С С Вз1» 1, удовлетворяет условию Пикшица по у равномерно яо х на каждом компакте Х С С и (хо,уо) б С. Тогда каоюдая точка (хг,уо) к С обладает окрестностью У = У(хо, уо), в колигрой существует общее решение у = Ф(х, С) уравнения у' = Лх,у).
О Пусть прямоугольник П = ((х, у) н С: (х — хо) < а, (у — уо) < Ь) целиком расположен в С. Тогда в силу теоремы 1 з 2 существует решение у = Ф(х,хо,уо) задачи Коши (1) при ~х — хо( < б, б = пнп(а, бьг), М = гпах/Дх,у)! прн (х,у) б П. В качестве начальной точки возьмем точку (хо,г1), где (у — уо) < уь. Тогда теорема 1 З 2 применима в прямоугольнике П(г1) С П, Ы П(Н) = (х,у) б С: )х — хо( < а,(у — 4 < -~ . Таким образом, решение у = Ф(х,хо,г1) задачи Коши у' = у(х,у), у(хе) = о, определено при )х — хо( < Юм Ю1 = ш1п(а, 11г). Окрестность У определим как подмножество внутренних точек множества (Ф(х,хо,г1),эу б (уо — ф,ус+ ф]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
