1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Теорема. Общее решение системы (4) задоетсл формулой х(С) =е с+е / е С .~(()И~, (б) где со Е Т, еэл — матричная экспонента, с — произвольный п-мерный чи- словой вектор. Отсюда у(1) = е ~ Д1), у(С) = с+ / е 4,((~)д~. Подстановка найденного значения у(С) в формулу замены приводит к формуле (б). Следствие. Решение задачи Коши (4), (5) существует, единственно на всем промелсутке Т и задае|псл формулой х(1) = ер ~)~ хо+вне / е ~~ у(ь)И4. О В системе (4) сделаем замену х(Ф) = еьл у(1), где у(Ф) — новая неизвестная функция. Эта замена приводит систему (1) к эквивалентной системе, так как если х(Ф) — решение (1), то у(С) = е '4 х(1) — решение вовой системы, и наоборот.
Учитывая, что формула производной произведения матрицы на вектор-функцию аналогична формуле производной произведенип двух скалярных функций, подставляя замену в систему (4) и используя формулу производной е л, получаем: еэл Ау(с) + еэл . у(1) Аеэлу(1) + з'(4) 102 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений О Подставляя формулу (6) общего решения системы (4) в начальное условие (б), находим, что с = е ил хо.
Подставляя яайденное значение с в формулу (6), получаем утверждение следствия. В частности, решение на всем Н22 линейной однородной системы (1(1) ш 0 на Н,') х(1) = Ах(Е) при начальном условии (5) задается совсем простой формулой х(1) = е1 Ь') . хе. Пример. Спомощью матричной экспоненты решить задачу Коши: < х = Зх — у, Р = 2х, х(0) = у(0) = 1.
Ь Найдем сначала матричную зкспоненту. Для матрицы А заданной системы собственные значения Л| = 1, Лз = 2. Для них собственными векторами будут соответственно Взяв (2 1)' (2 — !)' находим, что .У=К АН= 0 2 Отсюда ы (е' 0 1 ье и -1 ( — е'+2ез', си е — е 2ег — е 22) ' Тогда вектор-функция где Сы Сз — произвольные постоянные, является общим решением заданной системы, а вектор-функция является искомым решением задачи Коши. Э 5.
Преобразование Лапласа н его применение Лля решения уравнений 103 В 5. Преобразование Лапласа и его применение для решения дифференциальных уравнений Преобразование Лапласа успешно применяется для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Метод решения линейных дифференциальных уравнений н линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, основанный на преобразовании Лапласа, называют операционным методом.
Операционный метод широко используется также для решения уравнений в частных производных. В этом параграфе приводятся элементарные сведения о свойствах преобразования Лапласа и его применении. Эти сведения приводятся часто без доказательства. Подробное изложение свойств преобразования Лапласа с доказательствами можно найти в курсах теории функций комплексного переменного (см.
(39)). Определение. комплекснозначная функция Дг), 1 б В(, называется оригиналом, если: 1, у(Ф) ж 0 при 8 < О. 2. На каждом отрезке полуоси 1 > 0 функция у'($) непрерывна за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода. 3. Существуют такие числа М > 0 н а, что (г'(Ф)( < Ме ' для всех г > О. В п. 3 этого определении действительные числа М и сг зависят от функции г(Г).
Из п. 3 определения следует, что прн Г -+ +со оригинал г'(1) растет не бысгрее некоторой экспоненты. Например, каждая нз фуПКцнй ги, Е', Э1П1, СОЭ1 Прн Г > 0 МОжЕт ЗадаВатЬ ОРИГННаЛ, а фуНКцня е' при Г > 0 уже не может определять оригинал. Условимся в дальнейшем задавать оригиналы только прн 1 > О, считая их всегда равными нулю при Ф < О. Рассмотрим несобственный интеграл вида е о~у(1)дГ, е где р — комплексный параметр, р = э+эх, а у(Ф) — оригинал. Лемма.
Если Д8) — оригинал и (у(э)( < Мео' для всех 1 > О, то несобстаенимй интеерал (1) сходится при всех тех комплексных р, для которих э = Вер > а. 104 влава 3. Методы ренвення систем линейных дифференциальных уравнений О Так как (е Яв! = е *' и 1нп е(" ')в = 0 при ю > св, то С Ню е вв)в(С)с(С < / )е Я~( )У(С)/ю(С < М / е(~ ~)~С(С = е ь-в ~ — Е(ь-в)' — ° в-а Р(р) = / е яс 1(С)с(С, Мер > св. (2) о Связь между оригиналом и его преобразованием Лапласа будем обозначать так: у(С) сн Р(р) или г (р) Ф у(С), Ке р > а. Отметим два простейшие свойства преобразования Лапласа.
1. Свойство линейности. если Л(с) сн Рс(р) при )сер > ас Ь(с) .= гз(Р) при кер > аз и см сз — произвольные числа, то функция с (с) = ос с с+се)с тоже является оригиналом н ,((С) снссГс(р) + сага(р) при Вор > а = щах(амат). (3) Это свойство слееует нз выполнения требований определения оригинала для С(С) и свойства линейности сходящегося несобственного интеграла. 2.
Дифференцирование оригинала. Пусть ((С) н ('(С) — оригиналы, причем (,((С)/ < Ме"', /у'(С)/ < Мсе"', М > О, Мс > О, для всех С > О. Если у(С) вн Р(р) для Кер > о, то 1'(С) ге рг'(р) — с'(+О), где у(+О) = 1пп ДС), Вер > а. Действительно, интегрируя по частям и используя тот факт, что прн 1(ер > св 1пп (е гсу(С)( = О, получаем В-в+ао у'(С) ,— —1 — С'(С) = ) — С(С)Д~+р 1 ™((С) = рК(р) — у(+0). е о Применяя свойство п. 2 и раз, нетрудно обобщить зтст результат. Именно, если ((С), ('(С),...,у(")(С), — оригиналы, причем (С(У)(С)! < М)ее', МС > О, для всех у = О,п и всех С > О, и ((С) в— и 'Р(р) прн йер > а, то ((н](С) .рвр(р) рп-~ у(+0) р~(я-~)(+О) ((а-С]( ( О) (4) Определение.
Пусть ((С) — оригинал и )((С)( < Мели для всех С > О. Преобразованием Лапласа ((С) (или изображением по Лапласу С(С)) на- зывается функция комплексной переменной О 5. Преобразование Лапласа н его применение для решения уравнений 105 где Кер > а, уО)(+0) = 1пп уО)(с), у = О,«с — 1. Особенно простой фар«-«+о мула (4) становится в случае, когда С«у)(+О) = О для всех у = О,и — 1, Тогда /«")(с) см р"Е(р) при Кер > а, т.е. каждому дифференцированию оригинала соответствует умножение на р его преобразования Лапласа, Для применения преобразования Лапласа важно уметь по заданному преобразованию Лапласа восстанавливать его оригинал.
В курсах теории функций комплексного переменного устанавливается формула обращении преобразования Лапласа. Мы ее приводить не будем, а сформулируем только свойство единственности оригинала, которое является следствием формулы обращения. 3. Свойство единственности оригинала. Оригинал у(г) однозначно определяется по его преобразованию Лапласа Е(р) во всех точках, где функция г(1) дифференцируема, Рассмотрим теперь квазимногочлен С»ел', где Сс > О и целое, Л вЂ” комплексное число, О > О. Этот квозимногочлен запоет оригинал, так как всегда существуют такие числа М > О н сс > Ке Л, что )О~с~с( < Ме'"« прн всех О > О.
Найдем преобразование Лапласа этого оригинала. Пусть Кер > а > Кел. Тогда Кер > КеА и, значит, 1!«и «Осе<» )') = О, 1= 0,)с. с~+«е Учитывая это обстоятельство, после интегрирования й раз по частям, приходим к результату: .еР э)с го С» лс е-с' — с С» м 1«1»е + е«л-г)с С»-с (1 л- ~,, ~-л/' о о +«с — е(л-в)с С»-«,1С р л1 ' ' "' (р-л)»+' о Итак, (р )«)»«-1 ' В частности, нз формулы (4) н свойства линейности (3) следует, что сов »«С = — (ею + е ' «) эе — ~ —, + =2 "'эе2~,р ..
р+~~=ро„„>а оспа«О = —. (еьм — е ю ) ее —. ~ 2« 2« р — сь«р+ со«ро + ь«с где ь« — действительный параметр, Кер > О. Разработаны справочные таблицы, содержащие преобразования Лапласа для широкого класса оригияаяов (см. (16)). Рассмотрим применение преобразования Лапласа для решенин линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 106 Глава 3. Методы решения систем пикейных дифференциальных уравнений Пусть задано уравнение В(В)у(1) ы (В" +ауВ" '+" +а„~В+а„)у(Г) = у(С), С> О, (6) где ам...,а„— заданные числа н 7'(Ф) — оригинал, и начальные угловия у(+О) = уа, у (+О) = ум,у(" ~(+О) = у„м (7) где ус,ум,у„-~ — заданные числа.
Можно доказать тогда, что и решение у(1) задачи Коша (6), (7) и его производные у'(Ф),...,УОО(г) являются оригиналами. Это очевидно в том случае, когда у(1) задает квазнмногочлен при 1 > О, так как в этом случае всякое решение уравнения (6) при 1 > О является линейной комбинацией квазимногочленов, которая в силу свойства линейности и (5) является оригиналом. Более того, если (ДФ)( < Ме ' для всех 1 > 0 прн некоторых М > 0 н а, то у(С),у'(1),...,У1"1(1) — оригиналы, для которых /УБ1(Г)! < Мгеа' для всех 1 > 0 и всех у = О,п прн М1 > 0 и а = тах(гь,Керн...,йер,„), где рм..., р, 1 < га < и, — корни характеристического многочлена В(р) = р" + агр" '+ ..
+ а„для дифференцнэльяого многочлена Х,(В). Прццолжим нулем Д1) и у(1) для 1 < О. Пусть у(1) Ф У(р) при Кер > б и пусть 7"(1) гв г'(р) при Кер > а. Применим к обеим частям уравнения (6) преобразование Лапласа. Используя свойство линейности, правило дифференцирования оригинала и начальные условия (7), получаем для определения изображения У(р) алгебраическое уравнение Ь(р)У(р) — М(р) = г'(р), Кер > а, (8) где М(р) р ус+'''+рун-3+ум-1+ +а~(Р Уо+ .+рун-з+У -з)+ +ан ~ус. Таким образом, операционный метод сводит решение задачи Коши (6), (7) к чисто алгебраической операции — решению линейного алгебраического уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
