1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пусть х(1) — решение задачи Коши х(1) = Ах(1) + 1 (1), х(0) = О, где А — числовая матрица порядка и я у(г) — непрерывная на всей оси л( вектор-функция, и пусть у(г,г) — решение задачи Коши у(1) = Ау(1) у(0) = Х(г) где г-параметр. Доказать формулу Дюамеля: с х(Г) = / у(1 — г,т)Йт. а 3. Доказать, что если собственные значения матрицы А не равны гл (п — целое), то линейная сястема х(Ф) = Ах(с) + ((г) имеет единственное 2я-периодическое решение при всякой непрерывной вектор-функции У(4) периода 21г.
4. Вычислив матрнпу е'", решить с ее помощью задачу Коши х=Ах, х(0)= ~ ), /1'1 ый если а)А= 2 2 О, б)А= 0 1 0 5. Операционным методом решать задачу ул(1) +а~у(4) = в1пыг, а > О, ы ф О, 6. Решить задачу Коши: Коши: 1>О, у(0) =О, у'(0) =1. х(0) =1, у(0) =х(0) =у(0) =О. Е х+ ьгб у — 8х = О, у — ~/6 ° я+ 2у = О, 112 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений Глава 4 Исследование задачи Коши ч В этой главе будут изучены разрешимость задачи Коши для так называемых нормальных систем дифференциальных уравнений н для уравнений передка и в нормальной форме, зависимосп решений задачи Коши от парамегров, а также разрешимость задачи Коши для уравнений первого порядка, ие разрешенных относительно производной.
Все функции в главе 4 предполагаются вещественнозначными. В 1. Вспомогательные предложения 1. Пусть С«(Х) обозначает множество всех вектор-функцяй ~р(х) с и заданными непрерывными компонентами на промежутке Х = [а, Д числовой осн Я«'. Если»о(х) е С«(У), то, по определению, (" »«Яд~, где хо,х е Х, «о « « означает вектор с компонентами 1' ~рк(~)д~,..., ] р„(()д~. Имеет место «о «о следующая лемма об оценке модуля интеграла от вектор-функции.
Лемма 1. Длл Мд(х) Е С«(Х) справедливо нерпеенстиео / «)дС < [[ «ж, о о где хо х е Х. О Из условия теоремы следует интегрируемость оо(х) и [ко(х)[. Получим требуемую оценку. Пусть для определенности хо < х. Разобьем [хо,х] на ш частей точками ьк: хо = (1 < ьз « ... С«+1 — — х и возьмем любое ггк е [ь»,~»+»], й = 1,гп. Составим интегральную сумму, где кок» = ь» — ь» 1 и воспользуемся неравенством треугольника.
ТОгда ! т «3 „Суг(ч») «ь»~ < ~~',]ко(ь)М». »=! »=к Глава 4. Исследование задачи Коши Рассматривая всевозможные разбиения [хв,х] на части точками Ьь и переходя в этом неравенстве к пределу при шах ЬСь -! О, получаем требуемое неравенство. Пусть иа [а,д] задана последовательность вектор-функций уи(х) б С„[а,Д, ! = 1,2,3,..., и вектор-функция !р(х) й С„[а„б]. Последовательность уь(х) называется равномерно сходящейся к !с(х) на [а,Д при ! -+ оо, если шэл е)„в) [ун(х) — )с(х)[ -+ О при ! — ! оо. В этом случае пишут, что )с!(х) =! у(х), зх б [а, Д, ! — ! оо.
Если задан ряд из вектор-функций 2 ~р!(х), где все ~р,(х) О С„[а,Д, в=! то, по определению, этот ряд нэзываетси равномерно сходящимся, если Ф последовательность его частичных сумм Фл(х) = 2 !о,(х) сходится рав- номерно на [сс,Д при Ф -+ оо. Имеет место следующий признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда из вектор-функций. Теорема.
Если [х!(х)[ < а! для всех ! = 1,2,... и всех х б [а, Д и числовой ряд 2 о! сходится, изо ряд 2 )в,(х) сходив!ся абсолютно и равномерно но [а, 11]. О Пусть !о!(х) имеет компоненты !р!1(х), У = 1,п. Так как [~р)у(х)[ < ап то по обычному признаку Вейерштрасса ряд Я ~р,.(х), 'Ф) = 1,п, сходится з=! абсолютно н равномерно. Отсюда следует утверждение теоремы. Ф 11, Об условии Липшица Пусть й"з' — (и+1)-мерное пространство с декартовыми прямоугольными )*и) координатами х,у),...,у„. Определение.
Область С С )з"+ называется выпуклой по переменной — 1в,э) у, если для любых двух точек (х,у!) й С, (х,уз) й С и любого д й [0,1] всякая точка (х,у) б С, где у = р! + В(уз — у!). В случае и = 1 это определение геометрически означает, что если две точки (х,у!),(х,уз) б С С Т~~ „), то весь вертикальный отрезок, их соединяющий, тоже принадлежит С.
На плоскости (х,у) круг аз+ у~ < 1— выпуклая по у область, а тот же круг с яыколотым центром является невыпуклой по у областью. Пусть 1(х,~) — вектор-функция с заданными и компонентами в области С С В"~„). $1. Вспомогательные предложения Определение. Говорят, что Дх,р) в области С удовлетворяет условя>о Липшица относительно р равномерно по х, если 3 число Ь > О такое, что ]((х,рг) — >(х,рг)] < ь]у1 — рг[, для любых точек (х,р>) й с и (х,уг) е с.
число ь назыве>от постоянной Липшица. Обозначим через ь.п(С) множество всех вектор-функций с и заданными непрерывными компонентами в С. Лемма 2. Пусть выполнени следующие условия! 1) С вЂ” вьигуклая по у область В"+1р 2) ~(х,у) Е С„(С), -физ) О С(С), %,2 = 1,п. 3) существуеп! число К > О такое, что ~Я~~~ < К для г>,у = 1,п, !>(Х,у) Е С. Тогда вектор-функция >'(х, р) удовлетворяет в области С условию Липшица отпносительно у равномерно по х с постоянное липшица ь = пг~гк, О Пусть вектор у> имеет компоненты у1>,...,ун>, д = 1,2. Используя условия леммы 2, для каждой компоненты >,(х,у) получаем оценку: д — Ух,уз+В(р> — уг)]дд = а>В ' о и )ж< д,(з[х, р2 + В(р! у2)] (Ул — У>1) < >=1 > [>1(х,у>) — >с(х,рг)] = п ч ( [дЛ[х уз+ В(у> — уг)] / [ д ]у>! — у>>'фВ < >'=1 — о у> < пК]у! — р2] Используя формулу длины вектора с и компонентами, отсюда ]> (х>у!) — ~(х, уг)[ < и у К]у! — уг~.
Из леммы 2 следует, например, что при и = 1 всякая непрерывно дифференцируемая скалярная функция у(х,у) в замкнутом прямоугольнике С = ((х,у): ]х — хо] < а, ]у — уо~ < 6), где числа а и 6 положительные, удовлетворяет условию Ляпшица по переменной у равномерно по х. Однако уже функция г"(у) = зги не удовлетворяет условию липшица в окрестности у = О. Требование выполнения условия Липшица по у более слабое, чем требование существования производной по у, Напрямер, функция >(р) =]у] удовлетворяет условию Липшица в окрестности у = О, ио не имеет при Глгэа 4.
Исследование задачи Коши у = О производной. Для фуикция одной переменной требование выпалив. иия условия Липшица заиимает промежуточное место между иепрерывиостью и диффереицироваииостью функции. 111. Лемма Гроиуолла Эта лемма ил«ест важные примеиепия в теории дифференциальных уравиеиий. Лемма 3 (лемма Гроиуолла). Пусть на прамеогсугпке Х С В' скалярная функция гр(х) > О непрерывна и удовлетворяет неравенству х р(х) < А+В ~«(адг, о где А > О, В > О, хе, х Е Х. Тогда для )гх Е Х „,(х) < А . еп( --о), О Пусть для определенности хо < х. Положим Ф(х) = ) (О(()дг',.
Из усло«о вий леммы следует, что Ф'(х) = гр(х), Ф(хо) = О, О < Ф'(х) < А + ВФ(х). умножив неравенство иа е гг(х «о), имеем г« дх ф(Х)Е-В(х-хо)1 < А;В(«-хо) — хе 1 е Интегрируя это Веравеиство от хе до х и учитывая, что Ф(хо) = О, получаем ф( ) -В(х-»о) < — В(х-*о) А г В Находя отсюда оценку для Ф(х) и подставляя ее в неравенство (о(х) < А+ Вф(х), получаем утверждение леммы. Ф Нам понадобится также так иазываемая усиленная лемма Гронуолла, которая доказывается по той же схеме, что и лемма Гроиуолла. Лемма 4 (усилеипая лемма Гронуолла). Пусть на промежутке Х» Вх« скалярная фуг»кцпя гр(х) > О непрерывна и удоолепюоряегл нераоепсгпву р(х) < А+ В / ~о(~)«К +С(х — хо), о где А > О, В > О, С > О, хо, х Е Х, ао >< х.
Тогда для )гх Е Х гр(х) < АеВ(» — хо) «„— ((еВ)х — хо( С г В з 2. Существование и единственность решения задачи Коши З 2. Существование и единственность решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений 1. Задача Коши для нормальной системы уравнений Нормальной системой порядка и > 2 дифференциальных уравнений называется система уравнений вида У[(х) = 11(х,У~ ...,У„), У (х) = 1 (х У1 У ) где х — аргумент, у1 (х),..., У„(х) — неизвестные функции, 1г(х, ум, .., ув) . (в(х, уь . уя) — заданяые непрерывные функции в некоторой непустой области С (и+ 1)-мерного пространства К~"'„', 1 с декартовыми прямоугольными координатвии х,уо...,ув.
Для сокращения записи нормальной систомы удобно перейти к векторным обозначениям. Пусть При таких обозначениях отождествляется точка у = (ум,у„) евклидова пространства г1" с вектором у, имеющим компоненты уь...,у„. Нормальная система в векторнь1х обозначениях примет вид у'(х) =1(х,у), (1) гле 1(х,У) Е С„(С). Определение.
Вектор-функция у = ~р(х) называется решением нормаль- ной системы (1) на промежутке Х С Я~., если; 1. у(х) Е С~,(Х) — множеству всех непрерывно дифференцируемык вектор-функцяй на промежутке Х, 2. точка (х,ш(х)) е 0 для всех х е Х, 3. ~'(х) и 1 [х,~р(х)] на Х.
График решения у = ш(х), х Е Х, системы (1), т.е. множество всех точек (х,1о(х)), Чх Е Т, называется интегральной кривой нормальной системы (1). Из определения решении (1) слелбчт, что интегральная кривая системы (1) является гладкой кривой, принадлежащей области С (и+1)- мерного пространства гс"+ . Рассмотрим начальное условие 1ьх) у(хо) = уо, (хе,уо) Е О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
