1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Любое решение задачи Коши в У д Ь 61 у=Ф(х,хо,С), Сб уо — —,уо+-!. Итак, для нелинейных уравнений у' = у'(х,у) при выполнении условий теоремы существует общее решение в форме Коши глобально в области С, но общее решение существует лишь локально. Например, для уравнения у' = уз функция у = ~'--, где С вЂ” постоянная интегрирования, не ЯвлЯетсЯ общим Решением иа всей плоскости Вг „р так как множество Глава 4. Исскедование задачи Коши всех частных решений имеет вцц 1 у(х)ш0, у(х)=, Сб( — со,+со), х<С, у>0 их>С> о<0 Но в областях у > 0 и у < 0 функция р = ~,~ — уже является общим решением.
В то же время общее решение в форме Коши имеет вид 1 + (хо — х)яе Если точку (хе,ро) перемещать по прямой ро = -хе, то она будет пере. ходить с одной интегральной кривой на другую и общее решение примет вид Р= Ро ре б ( — со,+со), = 1- (х+ ро)уо' где х < ~~ — ро при ро > О, х б ( — оо, +оо) при уо = 0 н х > — ' — дс при до < О. Таким образом, последняя формула дает общее решение у' = уз на всей плоскости. Из этого примера также видно, что постоянная интегрирования С не всегда обеспечивает метку всех частных решений.
Поэтому при интегрировании конкретного уравнения не всегда волучэегся его общее решение. Замечание. Доказанную выше теорему иногда называют теоремой о локальном выпрямлении решений задачи Коши (1), так как в каждой окрестности У = У(хс, ро) множество точек (х, С), где С = С(х, у), (х,р) б У, гомеоморфио (т.е. взаимно однозначно и взаимно непрерывно) отображается на множество точек (х, Ф(х, С)), т. е.
кусок интегральной кривой у = Ф(х, Со), лежащей в окрестности У, отображается в отрезок прямой С = Се. Аналогично уравнению р = у(х,у) вводится понятие общего решения для нормальных систем и для уравнений порядка н в нормальной форме. Для более же общих типов уравнений и систем уравнений, например, для уравнения первого порядка в симметричной форме, приходится расширять понятие общего решения, рассматривая общее параметрическое решение.
Кроме того, общее решение у = Ф(х,С) может задаваться и неявным образом с помощью уравнения Ф(х,р,С) = О, "Зб. Зависимость решения запачи Коши от параметров и начальных данных 13$ З5. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных данных. Корректность задачи Коши Если задача Коши для дифференциального уравнения является математической моделью реального физического процесса, то уравнение и начальные условия могут содержать какие-либо параметры, характеризующие природу изучаемого явления. Значения параметров и начачьные данные обычно известны лишь приближенно, так как оии определяются экспериментально или вычисляются. В связи с этим возникает вопрос о характере зависимости решения задачи Коши при небольших изменениях параметров и начальных данных. Ясно, что для практики представляет интерес только такал эедача Коши, решение которой мало меняется при малом изменении параметров и начальных данных, В этом параграфе будут установлены достаточные условия непрерывности и дифференцируемости по параметрам н по начальным данным решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений.
1. Зависимость решения задачи Коши от параметров Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы у' = т'(х,у,Л), у(хо,Л) = уо, где Л вЂ” вектор параметров Лм..., Л, (Л вЂ” Ло/ < т, Ло — фиксирован- ный вектор, т — фиксированное положительное число, у(х,у, Л) — задан- ная вектор-функция с и компонентами. Теорема 1.
Пусть вектор-функция у(х,у,Л) непрерывна и удоелетпворяепт условию Липшица тю у равномерно по х, Л при всех (х,у) б С, где С— областпь В~'~„'Р и всех Л, длл которых (Л вЂ” Ло) < т, и пусть, кроме того, (хо, уе) й С. Тогда найдется такое число б ) О, что решение у = от(х, Л) задачи Коши (1) является непрерывной функцией при |х-хо) < Б, )Л-Ле! < т. у(х,Л) = ус+ / /(ь,у((,Л),Л) т(ь. (2) ео О Схема рассуждений в доказательстве теоремы 1 в точности повторяет схему доказательства существования решения задачи Коши для нормальных систем (см. теорему 1 з 2).
Поэтому остановимся лишь на основных моментах доказательства. По лемме об эквивалентности задача Коши (1) эквивалентна системе интегральных уравнений 136 Глава 4. Исследование задачи Коши Следовательно, утверждение теоремы 1 достаточно установить для решений (2). Так как (хо,уо) Е С и С вЂ” область, то найдутся такие числа р > О, д > О, что цилиндр Сро — — ((х у) Е С: ]х — хо[ < Р, [у — уо] < я) лежит в С.
Поскольку Сро — компакт, то существует число М > 0 такое, что 1((х, у, Л)1 < М, Ч(х, у) Е Сро, АгА Е [Ло — г, Ло + г]. Из условия теоремы следует существование числа Ь > 0 такого, что при Ч(х,уг),(х,уг) Е С и ЧЛ Е [Ао — г,Ло + г] 1г (х Ум А) г (хг уг~ Л)1 < Ь[уг Уг[ (3) Возьмем 6 = ш!п(р,мг-] и при ]х — хо[ < б, 1Л вЂ” Ао[ < г рассмотрим последовательные приближения уо(х,Л) = уо, угег(х,Л) = уо+ ~~[~,уг(С,Л),А]~Ц, г =0,1,2,...
(4) Как и при доказательстве существования решения задачи Коши, ава логично устанавливается, что все последовательные приближения у;(х,Л) непрерывны при ]х — хо[ < д, [Л вЂ” Ло[ < г и gх графика полностью лежат в области, для которой (х,у) Е Сро, ]Л вЂ” Ло[ < г. Используя условие Липшица (3), методом индукции для приближений (4) устаиавливаегся оценка вада ]увы(х, Л) — у;(х, Л)1 < МЬ',, 4 = 0,1,2, ; ]х — хо]ы (1+ Ц! Из признака Вейерштрасса тогда следует, что при [х — хо[ < Б, [Л вЂ” Ло[ < г у,(х, Л) =г ог(х, Л), 1 -+ оо.
По известной теореме из курса анализа вектор-функция у = ог(х, Л) ке. прерывна при [х — хо] < о, [Л вЂ” Ло[ < г. Повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 1 3 2, получаем, что у = ~р(х,л) прн [х — хо] < 6, [Л вЂ” Ло] < г является единственным решением системы интегральных уравнений (2), а, значит, и задачи Коши (1). Замечание. Аналогичная теорема справедлива для задачи Коши для уравнения порядка п в нормзльной форме, зависящего от вектора параметров Л с компонентамн Лы, ..,Лм УОО = Дх, у, у',..., У1" ИЛ), [Л вЂ” Ло] < г. з 5. Зависимость рыпеняя задачи Коши от параметров н начальных данных 1ЗТ Этот результат получается сведением этого уравнения к эквивалентной ему нормальной системе уравнений (см. п. 3 3 2).
Аналогичный результат имеет место и для непродолжимых решений (1) (см. [36)). Рассмотрим теперь вопрос о дифференцируемости по параметрам решения задачи Коши (1). Для простоты изложения ограничимся случаем задачи Коши для скалярного уравнения первого порядка в нормвльной форме: у' = 1(х,у,Л), у(хо,Л) = уз где вектор параметров Л с компонентами Лы..., Л задан при [Л вЂ” Ле[ < «, Ло и г > Π— фиксированы, 1(х,у,Л) — заданная функция, когда (х,у) пробегает область С С Вз1, 1 и [Л вЂ” Ло[ < г. 'Теорема 2.
Если при Ч(х,у) б С и [Л вЂ” Ло[ < г функции 1(х,у, Л), -сф-), ф', « = Т,т, непрерывны и (хо, уо) й С, гпо наодется такое число б > О, что при [х — хо[ < б, [Л вЂ” Ло[ < г для решения у = эо(х, Л) задачи Коши (5): 1) частные производные з;(х, Л) = ~~~~-'-"~, 1 = 7;т, непрерывны, 2) смешанные производные -ДЗЛ, 1 = 1,т, непрерывны и не завис,чт огп порядка дифференцирования 3) час«оная производная з;(х, Л) удовлетворяет так называемому «уравнению в вариациях по параметру Л« дз; д~ [х, Эг(х, Л), Л[ ду' [х, ~р(х, Л), Л) (б) и начальному условию «с(хо, Л) = О, 1 = 1, т. О Все рассуждения проведем для ф. Для остальных ф-, 1 = 2,т, рассуждения аналогичны.
Выберем, как н в теореме 1, цилиндр Сре и число б = шш [р, 1«1). Множество Сз~«~ = [(х,у, Л): (х, у) б Сш, [Л вЂ” Ло[ < г) образует выпуклый по у,Л компакт в пространстве В~~+„д1. Для [х — хо[ < б, [Л вЂ” Ло[ < г положим Л = (ЛцЛ), Ьд,1о(х, Л) = ы(х, Ле + ЬЛмЛ) — Ш(х,Л1,Л). Поскольку при [х — хо[ < б, [Л вЂ” Ле[ < г, [ЬЛ~[ < г дш(х, Л) шУ[х,~р(х,Л),Л], у(хо,Л) =ус, дсо(х, Л~ + ЬЛы Л) дх ш 1 [х, Р(х, Л~ + ЬЛ~, Л), Л~ + ЬЛп Л~, Ф(хо, Л3 + ЬЛм Л) = уе, 138 Глава 4. Исследование закачи Коши то вычитая эти тождества, получаем — Дл,ул(х, Л) ю,у '[х,ш(х, Л1+ ДАм А), Л1+ ДЛм Л| — ~[х,~о(х, Лм А),ЛмЛ], д Дл,у(х, А) = О.
(7) Обозначим правую часть первого равенства в (7) через Дл,У(х,Лэ,Л) и применим к ней так называемое тождество Адамара (см. [36], [36]) Дл,у'(х,~,Л) = 1~ —,7 [х,у (х,А, +СДЛ„Л),Л, + 1ДЛ„Л~ И = Г д = Р1(х,ул, Л,ДЛ1)Дл,ш(х, Л) + Рз(х, ул, Л,ДЛ,)дЛы где Р~ и Рз — непрерывные функции своих аргументов, получаемые в результате вычисления 87 от сложной функции. Применение тождесгва эг Адамара законно, так как при [х — хе[ < б, [Л вЂ” Ае] < г любое (х,ш(х, Л), Л) принадлежит С٠— выпуклому по у,Л множеству из 7(~~~~~Ау 'Гогда (7) дает задачу Коши вида д (Дл,эл(х,Л) ) (Дл,ул(х, Л) ) Дл,ю(х, Л) Коэффициенты Рл и Рз полученного линейного дифференциального уравнения первого порядка при ]х — хо[ < Б, [Л вЂ” Лэ] < т являются непрерывныа„и(*,л1 ми функциями х, Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
