1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Теорема. Пусть матрица А(х) и всктор-Яункцил у(х) непрерывны но [а, Д и пусть хо б [а, Д и уо — произвольный вектор. Тогда нв всем [а,)г] решение задачи Коши (1), (2) существует и единственно. у(х) = ув + / [А(0у((') + У(0]д~. (3) О По лемме об эквивалентности (она верна и для комплекснозначной задачи Коши) задача Коши (1), (2) эквивалентна системе интегральных уравнений на [а,)3] г 166 Глава 5. Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами Доказательство существования решения (3) проведем методом последова- тельных приближений. Пусть х,хо Е [а,Я, хо „-Е х, уо(х) =уо, ргы(х) = ро+ /[А(Ду(~) +~(~)](К, 4 = О 1,2,...
(4) го Все пряближения уг ы(х) непрерывны на [а,!З] в силу непрерывности А(х) и 1(х) иа [а,!3]. Докажем равномерную на [а,ф] сходнмость (у;(х));~о при 4 -) сю. Для этого достаточно установить равномерную схолимость иа [а,!3] ряда уо(х) + ~~~ [у;+1(х) — у;(х)]. (5) Пусть А(х) = [[о0(х)[[, 1,1 = 1,п.
Из непрерывности А(х) и 1(х) на [а,!3] следуег существование таких чисел К > 0 и М > О, что [оу(х)! < К при р1,1 = 1,п и [Г(х)! < М для всех х Е [а,Д. Тогда норма матрицы А(х) [[А(х)[! < пК, рх Е [а,)З]. Поскольку [А(х)уо! < [[А(х)[! . [уо! < иК[ро! для Рх е [а Р], то [уз(х) — уо(х)! < ~([АЫ)ро[+ [!(~)!) сК < (пК]уо[+ М) (Р— а) = С. о Методом математической индукции докажем, что нри всех х Е [а,1З] и всех 1 = 0,1,2,... справедлива оценка: ! — !' )! < С(пК) [х хо! (6) При 1 = О оценка (6) уже установлена. Пусть оценка (6) справедлива при 4 = гп — 1.
Докажем ее справедливость при 1 = тп. Учитывая, что [А(х)[у„,(х) — ут ~(х)][ < [[А(х)[! [рт(х) — ут ~(х)! < пК[ут(х) — у с(х)[, для Чх Е [а,!З] получаем: [утьг(х) — ут(х)! <» / [А(С)[рт(() — ут-1(Д]фС»< а <пК ~[ут(~)-ут.ЯЩ «» о - )"-'1 Р' *'" '~ ° (п )" *" ,7 (гп — 1) ! гп! о з 1. Исследование задачи Коши лля нормальной линейной системы уравнений 167 Неравенство (6) доказано. Иэ (6) следует, что для всех х б [а,р] и всех 1 = 0,1,2,.
[увы(х) — у;(х) ! < С(пК)' ; ( — а)' Следовательно, ряд (5) мажорнруется сходящимся числовым рядом оо ( — а)' [ус[+С~ (пК)' . = [ус[+Се"~(Р '). В а=о По признаку Вейерштрасса ряд (5) равномерно сходится на [а,р] к сумме ряда у = у(х). Это значит, что у1(х) =3 Зо(х), 1-+ оо, х 6 [а,р[. По известной из курса анализа теореме у = р(х) — непрерывная вектор- функция на [ег,)У]. Из оценки [А(х) [у,(х) — оо(х)] [ < пК]у,(х) — оо(х) [ и равномерной на [ю,В] сходнмости у,(х) к 1о(х) следует, что А(х)у;(х) ~ А(х)у(х), 1-в со, х 6 [а Ф].
Тогда по известной теореме из курса анализа можно перейти к пределу в (4) при 1 -+ оо. В пределе получаем, что у = оо(х) — решение (3) на [а,р] т.е. существование решения (1), (2) на всем [о,Ф] доказана. Единственность решения (1), (2) на [а,д] следует из теоремы 1 З 2 главы 4. ° Следствие. Задача Коши у'(х) = А(х)у, у(хе) = О, где хо 6 [а„9] и А(х) — непрерывная на [а, В] квадратная матрица порядка п„имеет единственное ретиение у(х) = 0 иа [п,~З].
О Очевидно у(х) ы О, х 6 [ег,р], решение нашей задачи Коши. В силу доказанной теоремы зто ее единственное решение. Замечание. Если /(х) ш 0 и А — числовая матрица, то метод последовательных приближений для задачи Коши (1), (2) дает ее решение е1е-*о)Я, у Доказанная теорема уточняет утверждения теоремы 1 З 2 главы 4 о существовании и единственности решения задачи Коши для нормальных систем общего вида у =У(х у) у(хе) =ус. Если А(х), у(х) — действительны, то при выполнении условий нашей теоремы выполнены все условия теоремы 1 з 2 главы 4. В силу теоремы 1 имеет место локальное существование решения задачи Коши, т.е. 1бй Глава Ь. Нормальные линейные системы с перененяымя коэффициентами лишь в некоторой окрестности хо, причем при некотором ограничении на уо ((хо,уо) б 0).
Доказанная теорема для нормальных линейных систем дает более сильное утверждение. Она гарантирует прн любом начальном значении уо существование решения задачи Коши (1), [2) на всем [а,р] т.е, глобально. При условиях доказанной теоремы можно доказать корректность задачи Коши (1), (2) на всем [а,Р]. Если рассмотреть задачу Коши для линейной системы с параметроле Л у' = А(х, Л)у+ у(х, Л) у[о=с, = уо хо е [а,~З], где А(х,Л) и 1(х,Л) — непрерывны при х Е [а,р], [Л вЂ” Ло[ ( г, то можно доказать, что ее решение у = <р(х,Л) — непрерывная функция при всех х Е [а,Р], [Л вЂ” Ло[( г. Если же А(х,Л) и 1'(х, Л) — непрерывно днфференцируемы по Л, то и решение у = <р(х, Л) — непрерывно дифференцируемо по Л при [Л вЂ” Ло[ < «. Есля А(х) и г(х) не являются непрерывными на [а,р], то решения задачи Коши (1), (2) может не существовать.
В таком случае можно расширить понятие решения (1), (2) и ввести понятие обобщенного решения задачи Коши (1), (2). Если А(х) и г(х) — измеримы и локально суммируемы на некотором промежутке Х числовой оси Ле, то можно доказать существование н единственность обобщенного решения задачи Коши (1), (2) на всем промежутке Х (см. [31]). И эти условия разрешимости задачи Коши можно существенно ослабить, если ввести покятие так называемой обобщенной задачи Коши (см.
[13]). Е 2. Линейные однородные системы Линейной однородной системой называется нормальная линейная система дифференциальных уравнений вида у'(х) = А(х)у(х), где А(х) — заданная непрерывная на [а,В] комплекснозначная квадратная матрица порядка и. Ее решениямн будут некоторые комплекснозначные вектор-функции с компонентами на [а,Ф]. Непосредственно проверяется следующее предложение, называемое принципом суперпозиции для системы (1). Лемма 1, Если у1(х), уз(х) — решения системы (1) и со со — произвольные 1сомялекснме число, то у(х) = с1уг(х)+сорт(х) также решение сисгпемм (1).
Пусть теперь на произвольном промежутке Х действительной оси В.' заданы комплекснозначные вектор-функции уг(х),...,уь(х) с н компонентам н. з 2. Линейные однородные системы 1. Линейнаи зависимость решений системы (1) Определение. Вектор-функции ут(х),,уь(х) называются линейно зависимыми на промежутке Х, если найдутся числа сь...,сы одновременно не равные нулю, такие, что стус(х) + ..
+ сьуь(х) и О, тх б Х. В противном случае, т. е. когда тождество на Х выполняется лишь при ст = . = сь = О, вектор-функции ут(х),...,уь(х) называются линейно независимыми на промежутке Х. Пример 1. а) Если ут(х) н О на Х, то ут(х),уз(х),...,уь(х) — линейно зависимые на Х. б) Вектор-функции являются линейно зависимыми на всей оси Яа. в) Пусть Лт,...,Ль — некоторые числа, Ьт,...,Ьь — линейяо независимые числовые векторы с и компонентами и Ь < и. Тогда е~'* Ьт,...,е""а Ьз — линейно независимые вектор-функции на всей оси Я,'.
Действительно, если предположить противное, то существуют числа см,.,,сю такие, что )ст( +... + )сь) ) О и сте саЬт+... +еле '*.Ьь иО, Ух 6 Е~~. При фиксированном х = хо из линейной независимости Ьы.,.,Ьь отсюда получаем ст — — ... = сз = О. Противоречие.
Заметим, что если ут(х),...,уь(х) линейно зависимы на Х и промежуток Хт С Х, то ут(х),...,уь(х), очевидно, линейно зависимы и на Х. Обратное утверждение неверно, в чем можно убедиться на примере Фиксирован хо б Х, получаем числовые векторы ут(хо), ° .,ук(ха). Непосредственно проверяется следующее предложение. Лемма 2. Если еектпор-функции у (х), т = 1, )с, линейно заеисилсн на пролмхсутпке Х, тпо при тхс 6 Х числовые еектпори ут(ха), у = 1,/с, линейно зависимы. Обратное утверждение к лемме 2, вообще говоря, неверно. Покажем на примере. 160 Глава 5, Нормальные лннейнме системы с переменными коэффициентами Пример 2, Вектор-функции ип) - (, ), ы*) - (, ) линейно независимы на осн йг, но при чхг б Я' числовые векторы уг(хг) и уг(хо) линейно зависимы, так квк уг(хо) = хо уг(хг).
Однако, как следует из доказанной ниже теоремы, для решений линейной однородной системы (1) такое явление невозможно. Теорема 1. Пусть уу(х), 1 = 1, й — решения линейной однородной систгми (1). Решения уу(х), 1 = 1, 1г — линейно независимы на [а, Я тогда и только тогда, когда Ухс б [о,Д числовые вахтой у (хс), 1 = 1,к линейно негаеисимм. 0 Пусть решения (1) уг(х), 1 = 1,1с — линейно независимы. Есвп Зхг б [а,)у], такое, что у (ха), г = 1,Й вЂ” линейно зависимые векторы, то найдутся числа сь, ..,сг, [сг[+ ... + [сг[ > О, такие, что слуг(хс) +... + сгуг(хо) = О.
Вектор-функция у(х) = сгуг(х) + ., + сеуг(х) по лемме 1 является решением системы (1) и удовлетворяет начальному условию у(хо) = О. По следствию из теоремы З 1 тогда у(х) = О на [а,р), т.е. у (х), 1 = 1,1, линейно зависимы. Противоречие. Наоборот. Пусть 1'хо б [о,Д векторы у (хс), 1 = 1,к, линейно независимы. Если бы вектор-функции уу(х), 1' = 1,1, были линейно зависимыми на [а,Д то из леммы 2 следовало бы, что векторы у (хо), 1 = 1,Й,— линейно зависимы. Противоречие. Ф Следствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
