1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 27
Текст из файла (страница 27)
2 Пример 2. Найти все решения, исследовать особые решения и нарисовать интегральные кривые уравнения Зр~ — 4е~*у'+ 4резх = О. Ь Перейдем к эквивалентной системе уравнений Е ду = рИх, Зрз — 4сгхр+ 4рез* = О, Находя др из второго уравнения и подставляя в первое уравнение системы, после упрощений получаем уравнение 1 — -ре ~ (ор — рсЬх) = О. 3 2 Если р = 2~ее*, то получаем решение р = 21ез*, если же Ир — р~Ь = О, то либо р = О, что дает решение у = О, либо р = Се*, где С з4 О— произвольная постояниая, что даст решения р = Се* — зСз. Если допустить С = О, то формула р = Се* — зС содержит и решение д = О.
Система уравнений Е Зрз — 4ез*р+ 4уеах = О, бр — 4езз = О определяет дискримииаитиую кривую р = 1ез*. Поскольку зта функция является решением, то оиа единственный кандидат в особые ре- 150 Глава 4. Исследование задачи Коши шения. Проверим для нее выполнение определения особого решения. Для Чх б В~1 должна быть: Е Се* — зСз = 1е~, з з Сей 2 язв з Эта система имеет решение С = у~с* при С > О. При С ( О система несовместна. Следовательно, у = ~1ез* — особое решение.
Картина поведения интегральных крявых показала на рис. 3. Рнс. 3 Замечание. Если уравнение (1) определено и иа границе области С, то, если часть границы или вся граница являются интегральными кривыми (1), они могут давать особые решения (1). Обобщением уравнения (1) служит система уравнений Р(х,р,р') = О, (5) где г — заданная вектор-функция с и компонентами в некоторой области С С В~+ 1, а у(х) — неизвестная вектор-функция с и компонентами.
Постановка задачя Коши и условия ее однозначной разрешимости для систем (5) аналогичны случаю скалярного уравнения (1). Общая система уравнений подходящей заменой (см. п. 3 3 2) сводится к системе вида (5). $ б. Разрешимость зааачи Коши для уравяения первого порядка в'прнжнення к главе 4 1. Показать, что из выполнения условия Липшица для функции одной переменной у = 1(х), х Е [а,Ь], следует непрерывность функции у = 1(х) на [а,Ь]. На примере функции у = ~/х убедиться, что обратное утверждение яеверно. 2.
Показать, что функция одной перемеяной у = хз удовлетворяет условию Липшкца на любом [а,Ь] и не удовлетворяет условию Липшнца на всей числовой оси Л,'. 3. Пусть функция Дх,у) иь ) 1 раз непрерывно днфференцируемая в плоской области С. Доказать, что всякое решение у = ~р(х) уравнения у' = у(х,у) имеет непрерывную производную (ги+1)-го порядка. 4. Оценить интервал, на котором сходятся последовательные приближения для задачи Коши у' = у~ + сов х, у(0) = О. 5. Доказать, что последовательность функций у„(х), определяемая соотношениями уо(х) н О, у„(х) =созх — 2 — / [уя ~(Д вЂ” сов~] з1пЩ, п = 1,2,3,... о сходится равномерно на [О; О,Ц и не сходится равномерно на [О; х]. 6, Пусть у = ~р(х,а,д) — решение задачи Коши у" = у — у'. у(О) = 1, у'(0) = ~.
Найти ду(х, 1, О) д~р(х, 1, 0) да ' дд — Главе $ Нормальные линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами Е 1. Исследование задачи Коши длн нормальной линейной системы уравнений с переменными коэффициентами 1, Вспомогательные сведения о матричных функциях Пусть Х-промежуток действительной оси Ох и пусть матрица А(х) ш Ц!чг(х)Ц, ! = 1,гп, г' = 1,п, задана при х й Х, причем ее элементы а!.(х) могут быть комплекснозначными, Для каждого фиксированного х Е Х и$ п (а!!(х) (г 1=! г=! назывветгл нормой матрицы А(х) и обозначается через !)А(х)((.
Очевидны следующие свойства нормы матрицы. Если Л вЂ” комплексное число, то при хЕХ ЦЛА(х)Ц = (Л! ЦА(х)Ц. Если Аг(х) и Аг(х) — две матрицы с гл строками н п столбцами при хек, то ЦА! (х) + Аг(х) Ц < ЦАг(х) Ц + ЦАг(х)Ц. Пусть теперь В(х) — матрица с и строками и 6 столбцами при х е Х.
Тогда ЦА(х) В(х)() ~ ~(А(х)Ц ЦВ(х)(1 В самом деле, если С(х) = А(х) В(х) = (/с, (х)Ц, ! = 1,гп, ! = 1,/с, то при х б Х в с;г(х) = ~ ап(х) 6! (х). !=! По неравенству Коши — Буняковского !с; (х)(г < ~ /а,!(х)$~ ~)6гу(х))~. р=! з 1, Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы уравнений 153 Тогда при х Е Х и! е ([С(хЦз = ~ ~ [с)т(х)[~ < а=! т=! тл и г < ~ ~~~ [аи(х)[т ) ~ ~[[Ьгт(х)[[з = [[А(х)[[ [[В(хЦ. г=! )=1 г=! т'=! В частности, если В(х) — столбец у(х) с компонентами у!(х),...,у„(х), то [[В(хЦ = [у(х)[ и при х Е Х )[А(х)у(хЦ < [[А(х)([ [у(х)[.
Заметим, что [а!(х)[ < [!А(х)Ц при х Е Х и всех ! = Т,г«Д = 1,«. Пусть теперь згдаиа последовательность матриц при х Е Х Аь(х) = [[а~.~(х)![, ! = 11,т«„д = 1, «, л = 1,2, 3,... Матричный ряд ~ Ал(х) г=! называется сходящимся при х Е Х (равломерпо сходящимся иа проме- !кутке Х), если все ряды а, (х), т=1,«т, т'=1,«, Вм! сходятся при х Е Х (равиомерио сходятся иа Х).
признак Вейершттрасс, Вустль для всех х е [о,Д,[[Ау„(х)[[ < сг и «ус«те ряд 2 св сходиглся, Тогда маглричнмп ряд Я Аь(х) сходи«тся абсолютно и г=! г=! равномерно на [а, Д. О Для а, (х) при всех х Е [ст,б), ! = 1,«т, у = 1,«, выполняется оцеика [а( )(х)[ < [[Аь(х)[) < сг и ряд ~ сь сходится. Тогда по обычному признаку Вейерштрасса все ь=! ряды 2 а! (х) сходятся абсолктгяо и равномерно иа [ст,Щ (г) Э г=! В частности, ряд В+ 2 ~~,А"(х) равномерно сходится иа [а,б). Его г=! сумма называется е"1*). 154 Глава 5.
Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами По определению, если все элементы аб(х) непрерывны прн х б Х, то матрица А(х) называется непрерывной прн х б Х. Есля же все элементы а,„.(х) — непрерывно днфференцируемы прн х б Х, то матрица, А(х) называется непрерывно дифференцируемой при т б Х и ее производная А~(х) = [[о' (х)[] 1 — 1 гп у — 1 и Имеют место следующие очевидные свойства непрерывно дифференцируемых матриц. Если Л вЂ” числовая матрица, для которой определено произведение Л А(х) и А(х) — дифференцируема на Х, то [Л.
А(х)]' = Л А'(х). Если же А~(х) и Аэ(х) — непрерывно дифференцируемые на Х матрицы с гп строками и и столбцами, то [А~(х) + Аэ(х)]' = А[(х) + А~~(х), х б Х. Кроме того, если А(х) и В(х) — непрерывно дифференцируемы прн х б 1 матрицы, для которых определено проязведение А(х) . В(х), то [А(х) ° В(х)]' = А'(т) В(х) + А(х) В'(х). Отметим, что в этой формуле нельзя переставлять сомножитези. Из этой формулы, в частности, следует, что для непрерывно дифференцируемой при х бХ матрицы А(х), для которой А(х) А'(х) = А'(х) А(х) (т.е. А(х) перестановочна с А'(х) ), при любом и б М [А"(х)]' = пА" ~(х) А'(х) = и А'(х). А" '(х), В свою очередь, отсюда вытекает, что при условии перестановочности непрерывно днфференцируемой прн х б [а,В] матрицы А(х) с А'(х) матрица ел1*~ непрерывно дифференцируема и [е~~*1]' = с~1*~ ° А'(т) = А'(х) е~<~~.
Пусть А(х) — непрерывная на [а,)У] матрица. Если Л вЂ” числовая матрица„ для которой определено Л А(х), то для эхэ, х б [гг,)э] х / Л А(~Щ =Л / А(~)4(', где под интегралом 1 А(~)<К понимается матрица с элементами ]'а; (()4~, гэ эо 1 = 1,гп, у = 1,п, Если же В(х) — непрерывная на [а,)3] матрица с гп строками и и столбцами, то х х / [А(~) + ВЯ]АГ, = ~ А(С)(1~+ / ВЯЧЕК *о аэ ха при хе, х б [сг,)3]. З 1. Исследование задачи Коши для нормальной линейной системы уравнений 15$ Если А(х) — непрерывно дифференцируемая на [а,д] матрица, то А'(х)дх = Аф) — А(а). а 2. Уточнение исследования задачи Коши Рассмотрим нормальную линейную систему уравнений у'(х) = А(х)у(х) + Дх), гдв х ~ [а,)3], А(х) — заданная непрерывная при х е [а, Д квадратная порядка п комплекснозначная матрица, у(х) — заданная непрерывная при х Е [а,д] вектор-функция с и комплекснозначными компонентами, у(х)— неизвестная комплексяозначная вектор-функция с и компонентами.
Система (1) называется линейной однородной, если у(х) ж 0 на [а,Д. В противном случае она называется линейной неоднородной системой. Решение системы (1) определяется аналогично тому, как оно было определено в главе 3 для системы (1) с постоянной матрицей А. Комплексная система поридкв и (1) эквивалентна некоторой действительной линейной системе порядка 2п.
В самом деле, если положить А(х) = Аг(х) + 1Аз(х), у(х) = Ях) + гуг(х), у(х) = и(х) + Ы(х), то система (1) примет вид < и'(х) = А ~(х)и(х) — Аз(х)е(х) + Л (т), в'(х) = Аз(х)и(х) + Аг(х)и(х) + )г(х). Зададим начальное условие у(хс) = уо, (2) где хе б [а,Д и уе — заданный и-мерный комплексный вектор. Задачей Коши для системы (1) называется задача нахождения решения (1), удовлетворяющего начальному условию (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
