1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ных жордановых цепочек равно числу линейно независимых векторов преобразования А. Кроме того, в жордановом базисе сумма длин всех жордановых цепочек для каждого кратною собственного значения Л равна кратности Л. В общем случае жорданов базис )1» является комплексным даже для действительного преобразования А. В частностя, жордаиов базис может быть базисом только из собственных векторов А.
Заметим также, что жорданов базис Я» строится не единственным образом. Используем теперь жорданов базис В» для получения формулы всех комплекснозначиых решений линейной однородной системы (1) в случае произвольной квадратной матрицы А. Пусть Л вЂ” собственное значение А и пусть йм...,Ьь — некоторая жорданова цепочка для Л. Покажем, что каждой жордановой цепочке длины Й соответствуег Ь решений системы (1) вида хз(З) = емйз ж е"' Рз(З), хз(з) = ем Щз + Ьз) гв ем Рз(з), хз(З) = ем ( р~й1 + ргйз + йз) ш е"' ' Рз(1) (4) хь(1) =ем(ф-цзйз+ + —,'Ьг з+йг) тем РЯ. $2. Общее решеяие нормальной линейкой однородной систеим 81 О При к = 1 утверждение леммы 3 доказано в лемме 2.
Пусть )г > 2, Тогда Р„(г) = Р, 1(1), а из определения жордановой цепочки (3) следует, что АР (1) = ЛР,(г) + Р, 1(1). Подставляя:с„(г) в систему (1), получа- ем, что хт — Ахт = Ле»тР + е~~рт — емАРт = = Ле~1 Рт + е~трт 1 — езт(ЛРт + Р„1) = О. Здесь был использован тот факт, что формула производной произведения скалярной функции и вектор-функции аналогична формуле производной произведения двух скалярных функций. Теперь уогвновим формулу любого решения системы (1).
Теорема 2. Пустпь хсорданов базис гг» состоит из Я жордановых цепочек )11,...,Ьг длин)т ()гт+ ° +ЙЗ =п) длЯ собственных значений Лг (сРеди О) (г) т Лг могут быть одинаковые) преобразования А, т' = 1, Я. Тогда: а) вектпор-функция х(г) вида х(8) = ~~ е~'~ '(С'г)Р~т)(1) + .. + Сг Р'г (1)~, ~т 1=1 (б) где Р111 (1),...,Рз')(г) — многочлены вида (4) и Сгт),..., Сг(т), т' = ГУ, — тарот 1 извом ные комплексные постоянные, является решением систпемы (1); б) если х(1) — какое-либо решение системы (1), пю найдется такой набор значений постоянных Сгтт,...,Сатт, т = 1,8, ири конторам х(г) задается фор.иулой (5).
О П. а) теоремы 2 немедленно следует из леммы 3 и принципа суперпоаиции для системы (1) (см. лемму 1). Докажем и. 6), Пусть х(1) — какое-либо решение системы (1). Пока жем, что оно имеет вид (5). При каждом 1 е Н11 решение х(1) можно разложить по жорданову базису А". Пусть х(г) = ~~ (сЯг))т",)+" +(г1г)(1))11г')]. гт г, ) . 1=1 Лемма 3. Каждая из вектор-функций х„(г) = е"' Р„(г), т = 1,Й, является решением систпемы (1), 82 Глава 3.
Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений Подставим х(с) в систему (1) и воспользуемся определением жордановой цепочки (3). Имеем: ~'>(С)Л1сс> + "+ Гь1с>(С)Л»'с>]>= с ! с=! (ь)с>(Ф)АЛ0с> + ° + ф>(с)Аф>1 = 1 ! ! с=! (Г0>(~)> ЛЫ ~0>(~) У> ЛО> ЛУ>) у=! + ~,'с>(С) (Л,Л<с> + Л1ь'>,)] . Из единственности разложения х(С) по жордановому базису отсюда находим Я систем вида С,Ы =Л,С,Ы+С,Ы, ф, =л,ф>,+<<с>, с 3 Решая каждую из этих систем снизу вверх, получаем: ((с>(с) = Сь0>ех~с ! ! (О> (с) [С0> +СЫс]ел!с (С) = !С! +Се -,т+ "+Се (~--!)с]е ! у = 1,о. О> ! О> 0>с, О> с'! '1 хс подставляя найденные значения С, (1),...с,с (с) в разложение х(Ф) и собирая члены возле каждого Сс0~,...,Сь0~, получим представление х(1) в виде (5).
Ф Замечания. 1) Можно доказать, что представление каждого решения линейной однородной системы (1) в виде (5) является единственным. Это делается так же, как и в случае линейных однородных уравнений порядка и (см. теорему 32 главы 2). 2) Так как /сс+ +>ся = сс, то формула (5) содержит и произвольных постоянных. 3) Если жорданов базис является базисом из собственных векторов преобразования А, то формула (5) совпадает с формулой решений системы (1) в теореме 1.
г 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы Определение, Вектор-функция х(г) вида (5) называется общим (комплекснозначным) решением нормальной линейной однородной системы (1). Решить систему означает найти ее общее решение. На практике процесс нахождения общего решения (1) сводится к нахождению собственных значений матрицы А, построению жорданового базиса гг" и использованию формулы (5). Для удобства пользования распишем формулу (5) для системы (1) при и = 2,3, за исключением тех случаев, которые охватываются теоремой 1. Если при и = 2 собственное значение Л двукратное и жорданова цепочка для Л состоит из собственного вектора Ь1 и присоединенного к нему вектора Ьг, то общее решеяие системы (1) задается формулой х(г) = СгслгИл + Сгем(1Ьг + Ьг).
Рассмотрим теперь случай и = 3. Если собственное значение Л1 простое и ему соответствует собственный вектор Ьы а собственное значение Лг двукратное и жорданова цепочка для Лг состоит из собственного вектора Ьг и к нему присоединенного вектора Ьз, то общее решение системы (1) в этом случае задается формулой х(г) = Сге~"Ьг + Сгел*'Лг + Сзелг'(гЬг + Ьз) Пусть теперь Л вЂ” трехкратное собственное значение А. Если жорданов базис состоит из двух жордановых серий, одна из которых состоит из собственного вектора Ьы а другая состоит нз собственного вектора Ьг и присоединенного к нему вектора Ьз, то общее решение (1) имеет вид х(г) = С1емЬг + СгемИг+ Сеем(гЬг+ Ьз). Если же жорданов базис состоит лишь из одной жордаиовой цепочки Ьы Ьг, Ьз где Ь| — собственный вектор, а Ьг и Из — присоединенные к нему векторы, то общее решение (1) задается формулой м уг' х(с) = Сге~'ьг + Сге (сьев + Из) +сеем '( — ь|+ гьг+ьз 'л 21 Пример 3.
Решить систему уравнений х = х — 2у, у = — х — у — 2г при начальных условиях х(0) = О, у(0) = -1, х(0) = 1 11 Выпишем матрицу А системы: 84 Тиава 3. Методы решения систем линейных дкфференцнаяьных уравнений Найдем ее собственные значения Ль = — 1, Лз = Лз = 1.
Для Л~ собственным вектором является, например, ь=(2), а для Лз собственным вектором является, например, И,= О а к нему присоединенным вектором, т.е. решением системы АИз = ЛзИз + Из служит, например, Иэ =- Векторы Им Иш Из образуют жорданов базис Л~ и, следовательно, общее решение системы имеет вид У(1) =С1е ' 2 +Сзе' О +Сзе' 1 О + — 1 где См Сз, Сз — произвольные постоянные. При заданных начальных условиях получаем решение у(1) = е' — 1 Пример 4. Решить систему уравнений х = 2х — бу — 8», у = 7х — 11у — 17х, х = -Зх+ 4у+бх. Ь Собственное значение матрицы А системы Л1 = Лз = Лз = — 1.
Множество всех собственных векторов матрицы системы задается формулой з 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы где С вЂ” произвольиая постоянная. Возьмем собственный вектор =И К нему присоединекным вектором, т.е. решением системы Айз = Л1Ьз+ Ьм является, папример, вектор Ьз= -2 Присоединенным вектором Ьз к вектору Ьз, т.е, решением системы АЬз = Л1Ьз+ Ьз, является, например, вектор Ьз=- 2 Векторы Ьм Ьз, Ьз образуют жорданов базис пространства Вэ. Значит, общее решение заданной системы задаетси формулой у(1) =С1е ~ -1 +Сзе ~ 1 — 1 — 2 +Сзе ' — -1 — 1 2 + 2 где См Сз, Сз — произвольвые постоянные. Если матрица А действительная, то решить систему (1) означает найти ее общее действительное решение.
Поэтому возникает вопрос о методе получепия всех действительных решений из формулы (5) общего комплеснозначного решения системы (1). Если Л вЂ” действительное собственное значение А, то и все жордановы цепочка (3) для пего действительные. Если же Л вЂ” комплексное собствонвое значение А, то, как устаиовлеио и 3 2 главы 2, число Л является также собственным значением А одинаковой с Л кратности. При этом из (3) следует, что если ЬмЬз,...,Ьь — жорданова цепочка для Л, то комплексно сопряженные векторы Ь1,Ьз,...,Ьь образуют жорданову цепочку для Л.
В формуле (5) каждому действительному значению Л будут соответствовать действительные решения х,(1) = ем. Р„(с), г = 1,Й, вида (4), а каждой паре комплексно сопряжениых значений Л и Л будут соответствовать комплексно сопряженяые решения х,(1) = ем Р,($), х,($) = е"' Р„(Ф), 86 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений т = 1,й, где )г — длина жордановой серии для Л. Нетрудно видеть, что в последнем случае вектор-функции х(')(1) = Ве ~емР„(1)], х(~)(!) = 1ш [е 'Р,(!)], 1 = 1,Й, будут действительными решениями системы (1). Теперь аналогично случаю линейного однородного уравнения порядка и (см.
$2 главы 2) можно показать, что формула (5) дает все действительные решения системы (1) с действительной матрицей А, если в формуле (5) считать все произвольные постоянные действительными, а каждую пару комплексно сопряженных решений х,(Г), х,(Ф), г = 1,к, (!) (2) заменить на действительную пару х, (!), х, (1), г = 1,Й. Пример 5. Найти все действительные решения линейной однородной системы, заданной в примере 1. Ь Используя формулу Эйлера, имеем е( '+')' -1 = е ' з(п! +(е ' -соз! Следовательно, общим действительным решением заданной системы является вектор-функция у(1) =С! 1 +Сз е ' юпг +Сз е ' -соэ! где См Сз, Сз — произвольные действительные постоянные.
Итак, если известен жорданов базис, то всегда можно найти общее решение (Ц. Однако нахождение жорданового базиса — весьма трудоемкая задача. Поэтому в ряде случаев решение системы (1) целесообразно находить другим методол| — методом неопределенных коэффициентов. Пусть Лм...,Лм (1 < гп < и) — попарно различные собственные значения матрицы А и пусть гм..,,г,„— максимальные длины жордаиовых цепочек соответственно для Лм...,Лм, Тогда нз теоремы 2 еле,сует, что всякое решение системы (1) имеет вид х(() = е "Р1(!) + . + е~ 'Р„,(1) где Р (!) — многочлен степени (г.
— 1), коэффициентами которого служат и-мерные числовые векторы, у = 1,п1. Это обстоятельство позволяет решать систему (1) методом неопределенных коэффициентов. Если собственные значения Лм...,Л„, имеют соответственно кратности 1м...,1м (1~+ .. + 1м = и), то ищут решение системы (1) в виде я(Г) = е~"ь),(1) + ° +с~ '(~ ((), з 2. Общее решение нормальной линейной однородной системы где !'„11(1) — вектор-многочлены степени (! — 1), у = 1,тп, с неопределенными векторными коэффициентамя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
