1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В силу принципа суперпозиции и теоремы 2 частное решение исходной системы следует искать в виде р(!) =е а! +е ' Ьз Подстановка этой вектор-функции в систему дает а! = аз = 2, аз = -4, Ь! = Ьз = — 2, Ьз = 4. Следовательно, общее (действительное) решение исходной системы имеет вид у(1) = С!е и 1 +Сзе ' — сбпе + + Сзе ' сов1 +в(!с 1 где С!, Сы Сз — произвольные действительные постоянные. 1 94 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений 2 4.
Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами с помощью матричной эксноненты Еще один метод интегрирования нормальных линейных систем с посто- янными коэффициентами основан на понятии матричной экспоненты, 1. Определение, свойства и алгебраический метод вычисления матричной экспоненты Пусть Ф б Л', А — квадратная комплексная матрица порядка и и пусть Š— единичная матрица порядка п. Рассмотрим матричный степенной ряд С 1' , сь Е+ — А+ -А'+ ".
+ — А'+ ". 1! 2! и! (1) Если матрица А = ))агг!), Аг = ))а, )(,...,Аь = !)а,. !(,..., где г,!' = 1,гг, то любой элемент матричного ряда (1) имеет вид (Б — символ Кронекера): (2) Определение. Матричный ряд (1) называется сходящимся (абсолютно сходящимся) при г б Лг, если степенные ряды (2) при всех г,! = 1,п сходятся (абсолютно сходятся) при Г б Лг!.
У сходящегося матричного ряда (1) суммой ряда служит квадратиэл матрица порядка о, элементами которой являются суммы сходящихся степенных рядов (2). Лемма 1. Длл любой маглриии А и колсдого 1 Е Лг! машричнио рлд (1) абсолюлгно сходи!пол. О Всегда существует такое число М > О, что )а,г( < М, Ж, ! = 1,п. Так как А = А А, то а;. = ~ огр ° ор и, следовательно, р=! (а; ( < ~)счр! )а ) < пМ, г,у = 1,п. р= ! Далее, по индукции, получаем, что при любых и б Ф и а,д = 1,г! )о( )) < „ь-гМг Поэтому каждый ряд (2) мажорируется рядом вида 1+ — М+ ° .+ — и М + 11) )1) е — ! к 1! и З4.
Решение нормальных линейнмх систем с постоянными коэффициентами 95 который сходится по признаку Кошм. Следовательно, каждый ряд (2) сходится абсолютно, а, значит, и ряд (1) сходится абсолютно для всех ! б В!!. Э Определение. Сумма абсолютно сходящегося ряда (1) называется матричной зкспонентой е!А; !" е!'! = Е+ ~ —,А", (3) ь=! Замечание.
Нетрудно видеть, что на каждом отри!ке (а,Д числовой оси В~! ряд для е!А сходится равномерно. Из (3) очевидно, что для ну- левой матрицы А е'А = Е и что для А = Е е'А = е' Е. Лемма 2. Если  — квадратная матрица порядка и и персстановочна с матрицей А: АВ = ВА, пю спраеедлиео сеойстео !А ФВ !В !А !!А+В] У! Вс! О Используя равенство АВ = ВА и метод математической индукции, как и в числовом случае, устанавливается формула бинома п А" В'" в=о Ь+т=п Тогда гп !ьАь п=о к=О ь+т=п ГьАь Р"Вт ' ге А' » =о в=о ' ' !=о !мВм т! !Н ФА !В !В ФА Замечание. Если АВ зЕ ВА, то утверждение леммы 2 может не иметь нес!и, в чем можно убедитьсл па примере матриц А = (О О) В = (О О)- Из леммы 2 при В = — А сразу следует, что матрица е !А является обратной к матрице е'А при всех ! б Вс!.
Отсюда, в свою очередь, вытекает, что е' — иевырожденная матрица при всех М б В!. Так как ряд для ейл+ 1 абсолютно сходится, то преобразования в при- веденных выше выкладках законны в силу теоремы из курса анализа о сходнмостн повторных рядов нли рядов, полученных перестановкой чле- нов данного ряда, если только абсолютно сходится двойной ряд. 96 Глава 3, Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений Из возможности почленного дифференцирования степенных рядов (2) при всех 1 б В~г получаем, что матрица е1А при всех Ф 6 В1 имеет производные всех порядков, которые находятся нз ряда (3) почленным дифференцированием.
При этом <1 е!А еФА А А ФА Тг Действительно, имеем — е = — (Ю+ — А+ — А+ ° + — А+ "Ы " 1 г г Г Ь Аг - а ~ 1! 2! Ь) А+ Аг+ + Аь Асье есл А 1! ()4 — 1)! Вычислять егл с помощью ряда (3) весьма непросто, если А — произвольная матрица. Поэтому сейчас изложим другой, алгебраический спо. соб вычисления е'". Посмотрим сначала, как изменяется матрица е'А прн линейном невырожденном преобразования Н (с)ег Н ~ О) матрицы А. Лемма 3. Если А = НВН ~, пго е'А = Не'вН ' яри всех 1 б В'. О Имеем А =А А=НВН ' НВН ~=НВ Н '.
По индукции легко показать, что прн любом 1' б Ф А =НВН Подставляя выражения для А" в ряд (3), получаем ~14 е'4 =Н.Н '+~ — НВьН ' = Н Е+ ч — В" Н ' = Не лН ' еэ к) Еу ь=~ 4=1 Итак, матрицы А и е'4 прн линейном невырожденном преобразовании Н меняются по одинаковому закону, Из курса алгебры известно, что если существует базис В" из собственных векторов Ьы ..,йлэ линейного преобразования А, то в этом базисе матрица В преобразования А оказывается диагональной: где по диагонали стоят собственные значении преобразования А.
Прн этом столбцами матрицы перехода Н служат столбцы из координат век- Э4. Решение нормалъиых линейных систем с востояннымк коэффивлентами йу торов Угм...,Ь„в исходном базисе ем,е„. В этом случае по формуле (3) находим, что "-Г 3 к тогда егл = Не'~Н ' по лемме 3. Однако, как известно, не всегда существует базис В" из собствеиных векторов линейного преобразования А. Но, как утверждает теорема Жордана, всегда существует жордаиов базис В", составленный из жордаиовых цепочек для всех собственных значений А. Обозначим матрицу преобразования А в жордановом базисе через У. Матрица,У называется жордановой нормальной формой матрицы А. Опишем структуру матрицы,7. Жордановой клеткой Уь(Л) порядка 7г для собственного значения Л преобразования А назывмтся квадратная матрица порядка к вида Л 1 О ...
О Л 1 ... О .Уе(Л) = Л ... О 0 т.е. матрица, у которой по главной диагонали стоят числа Л, следующая диагональ после главной состоит из единиц, а все остальные элементы матрицы — нули. Например, Л 1 О 71 (Л) — (Л),,Уз(Л) = Уз(Л) = О Л 1 О О Л Пусть жорданов базис В" состоит из э (1 ( э ( и) жордановых цепочек для собственных значений Лм...,Л, (среди иих могут быть одинаковые) и пусть 7гм...,)г, — длины этих цепочек (Уг~+ .-+к, = и). Тогда .7 является комплексной клеточно-диагональной матрицей вида У (Л,) 0 ,7» (Лг) , — ) 0 ГЗ,.(Л,) Если 7с~ = кз = ° = Й, = 1, то матрица,7 имеет диагональный вид. Клеточно-диагональную матрицу,7 будем коротко обозначать так: У = ж б(У,,(Л,)',Уь,(Л,),...,Уэь(Л,)).
Матрица,У определяется единственным образом с точностью до перестановок жордановых клеток Уь,(Лг),, Уэ,(Л,) по главной диагонали. 4 4769 96 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений Если обозначить через Н матрицу перехода от исходного базиса ем...,е„к жордановому базису Я" (в столбцах этой матрицы стоят координаты векторов жорданова базиса по базису ем.,.,е„), то,У = Н гАН. Из леммы 3 вытекает, что гл НеыН-! Из матричного ряда (3) и свойств клеточно-диагональных матриц еле. дуег, что ы,1 У' ы,,ри) ым<л.)) т.е.
матрица е'~ является клеточно-диагональной матрицей, где по главной диагонали стоят матрицы е'~'~(~'),...,еым(~ 1. Итак, вопрос вычисления матрицы е" сводится к вычислению матрицы е'~И~), где,Уь(Л)— клетка Жордана порядка и для собственного значения Л. Введем в рассмотрение матрипу,Уь(0) порядка и вида 0 1 О 0 1 0 1 ,Уь(0) = О т.е. матрицу, у которой следующая диагональ после главной диагонали состоит из единиц, а все остальные элементы — нули, и единичную ма трицу Еь порядка Й. Тогда Г,Уь(Л) = аЛЕь + С,Уь(0), Еь.Уь(0) = Уь(0)Еь и по лемме 2 еиь(л> — еже, еыИо) и и,(е) 0 0 1 0 0 . О 1 0 0 0 1 0 4(0) = ,...,.у„ь '(О) = 0 0 О О ,Уь (0) = О, пт > й.
Матрица е'~'1е> находится с помощью матричного ряда (1). Нетрудно видеть, что при возведении матрицы,Уь(0) в степень, единицы переме. щаются каждый раз параллельно вверх на следующую диагональ, т.е. 100 Глава 3. Методы решения систем линейных дифференциальных уравнений Замечание. Определение (3) матричной экспоненты е" было получено, исходя из разложения е* в степенной ряд на всей действительной оси х; ОО ь=е Аналогичным способом, рассмотрев произвольную действительную анали- тическую функцию у(х), задаваемую степенным рядом Цх) = ~~~ аьх ь=е с радиусом сходимосги Я > О, можно определить функцию Г'(А) от ква- дратной матрицы А с помощью матричного ряда о„Аь, Ао = о.
э=е Именно можно доказать, что этот матричный ряд будет абсолютно сходящимся для такой матрицы А, для которой все собственные значения Л удовлетворяют неравенству ~Л~ ( Л. Таким обрхюм, например, получаем, что для любой матрицы А определены матричные функции эшА, спА; ( — 1)" Ам~ 1 (2й + 1)! ' "-~ (2к)! Алгебраический метод вычисления у(А) основан на аналоге леммы 3 для ДА). 2.Применение матричной экспоненты для решения нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами Пусть задана линейная неоднородная система *( ) = *(1) + Х(г), (4) где А — числовая квадратная матрица порядка и, у(4) — некоторая вектор-функция с и непрерывными компонентами на промежутке Т оси Я~, и начальное условие х(ее) = хэ, (3) где Гэ Е Т, а хе — произвольный и-мерный числовой вектор.
Как известно из главы 1, все решения линейного уравнения первого порядка д'(г) = ар(г) + ~(4), 14. Решение нормальных линейных систем с постоянными коэффициентами 101 где а — число и у(Ф) — заданная скалярная непрерывная функция на про- межутке Т оси В,', задаются формулой у(1) Сеа1 + еа / е-аСУ(Дд( где $о Е Т, С вЂ” произвольная постоянная. Сейчас будет показано, что формула всех решений линейной системы (4) внешне совершенно аналогична этой простой формуле, если заменить числовую экспоненту ем на матричную экспоненту е1л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
