1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 49
Текст из файла (страница 49)
и = х у. 2 2 2 2 А Замечание. Если кривая Г задана как пересечение двух гладких по- верхностей Ф1(х,у,и) = О, Фз(х,у,и) =О, то внд функции г" определяется исключением переменных х,у,и из си- стемы уравнений Фс(х, у, и) = О, Фз(х, у, и) = О, их(х, у, и) = иы из(х, у, и) = иы где им их — независимые первые интегралы характеристической системы (б) Пример 3. Решить задачу Коши для уравнения примера 2, если и = 1 при хо+ уг = 4 Ь Исключая х,у,и из системы и=1, х +у =4, ху=им уи=из, з з З 2.
Квазялввейвь1е уравнения получаем е~~ + ез1 = 4изз. Таким образом, решение задачи Коши задается уравнением у~и~ + хзуз — 4узиз А Пример 4. Решить уравнение ди ди — +и — =1 Ох ау = при начальном условии: а) х = т, у = утз„ и = т, б) х = 2т у = тт, и =.т. Ь Характеристическая система х(С) =1, у(1) =и, и(Г) =1, имеет независимые первые интегралы сч = х — и, из = у — чи . Слег г довательно, общий интьтрал исходного уравнения имеет вид 1 г' х — и,у — -и) =О, 2 ) где Рф, Ьз) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. В случае а) вид функции с' определяется исключением х,у,и из системы уравнений х — и=иг у — -и =~~ х=и, у=-и.
2 3 Отсюда получаем сч = из = О, т.е. Е(0,0) = О. Итак, любая функция Р(х — и у — -и) =0 1 з'1 2 ) для которой г'(0,0) = О, определяет решение задачи Коши в этом случае. Заметим, что кривая 2 у= -т, и =т, 2 х=т, является характеристикой уравнения. Зкачит, в этом случае имеем бесконечно много решений задачи Коши. В случае б) кривая Г, заданная уравнениями, х=2т, у=те, и=т, Замечание, Если условие теоремы 3 не выполнено, то решение задачи Коши (5), (11) может либо не существовать, либо быть не единственным. В частности, если кривая Г является характеристикой уравнения (5), то задача Коши имеет бесконечно много решений.
280 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных пронзволных не является характеристикой. Решение характеристической системы при начальных условиях х(с=о = 2т у!а=о = г, М=о = г, 2 задается формулами 1 2 х=Ф+2т, у=-1~+т1+гз и=с+т. 2 Условие теоремы 3 не выполняется, так как дх ду дх ду Ы = — — — — — ы О. дг дт дг до Исключая из предыдущих формул Ф и т, получаем, что х / и(х,у) = — х 1/у — —. 2 э' 4 При у > 4 полученная функция и(х,у) не дает решения задачи Коши в случае б), так как ф, ф неограничены при приближении к кривой Г. ж В заключение отметим существенность требования непрерывности производных для коэффициентов а(х,у,и), Ь(х,у1и), с(х,у,и) уравненяя (5).
Например, решение уравнения ди ди — — — = Пх+у) дх ду при начальном условии и = 0 прн х = О, как нетрудно проверить, задается формулой и = х /(х+у). Если До) не имеет непрерывной производной, то задача Коши не имеет решений. В тех случаях, когда коэффициенты уравнения (1), начальная поверхность у и начальная функция оэ(х) в (10) не являются достаточно глэо~- кими, приходится расширять понятие решения уравнения (1) и решения задачи Коши (1), (10) и вводить так называемые обобщеняые решения уравненяя (1) и обобщенные решения задачи Коши (1), (10).
Подробнее об обобщенных решениях линейных и квэзилинейных уравнеяий и обобщенных решениях задачи Коши для этих уравнений см. в [35]. Отметим также, что уравнение (1) с комплекснозначными коэффициентами ау(х,и), у = 1,п, вообще может не иметь решений. Это показано в (30) на примере, принадлежащего Г.Леви, следующего уравнения: ди .
ди .. ди — + 4 — + 21(хо + 1хэ) — = /(хэ) д*, дх, дх, где 1 — мнимая единица, у (хэ) — действительная, бесконечно дифференцируемэл функция. гв1 З 3. Нелвяейвые уравмевяя 5 3, Нелинейные уравнения В области С пятимерного пространства с прямоугольными декартовыми координатами х, у, и, р, д рассмотрим уравнение Р(х,у,и —,— ) =О, получаем дР др дР до дР дР— — + — — + — р+ — =О, др дх дд дх ди дх дР др дР де дР дР— — + — — + — у+ — = О. др ду дсс ду ди ду Поскольку в силу условий на и(х,у) др до дзи ду дх дхду ' то полученные равенства можно записать в следующем виде: дР др дР др дР дР + — — + — 'р+ — = О, др дх дд ду ди дх дР дд дР до дР дР— — + — — + —.у+ — =О.
др дх до ду ди ду Рассмотрим систему уравнений дР х(с) = —, др' дР дР . дР дР р(с) = — — — р —, д(с) = — — — сс —. дх д ' ду ди' (г) и 27м где Р(х, у, и,р, о) — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция в области С, и в каждой точке С ( )'"(-")'" Решением уравнения (1) называется дважды непрерывно дифференцируемая в некоторой области Й плоскости Все, 1 функция и = и(х,у), удовлетворяющая уравнению (1). График и = и(х,у) называется инте. грэльной поверхностью уравнения (1). Изложим метод характеристик (метод Коши) решения нелинейного уравнения (1). С этой целью введем понятие характеристической системы уравнений для уравнения (1).
Пусть и = и(х,у) — решение (1). Дифференцируя по х,у тождество Р х,у,и(х,у), ', ~ ш О, Ч(х,у) Е й, ди(х,у) ди(х,у)1 дх ' ду 5 3. Нелинейные уравнения 2ВЗ 7: х = хе(т) У = уе(т) где т Е Х вЂ” некоторому промежутку оси В,', функции ха(г), уе(т) — дважды непрерывно дифференцируемы и хеэ(т) + уаэ(т) ) О, тт е Х. Пусть, кроме того, заданы дважды непрерывно дифференцируемые функции ие(т), ро(т), уе(т), тт Е Х.
Начальное условие для уравнения (1) имеет вид: и(х~ У)](аж)ет —— ие(т), т б Т, где функпии хо(т), уе(т), ра(т), уа(т), ие(т) таковы, что при эт Е Х (5) Р(хе(т),уе( -),ж(т), р (т),уе(т)] = О, ио(т) = ре(т)*'в(т) + Чэ(т)уе(т). Первое требование к начальному условию (5) согласует начальную паласу хэ(т), уе(т), ие(т), ре(т), де(т) прн всех т Е 1 с уравнением (1), а второе требование к условию (5) означает, чта функции начальной по. лесы между собой связаны укаэанной зависимостью. Задача Коши для уравнения (1).
Найти решение уравнения (1), удо- влетворяющее начальному условию (5). (хе,уо ие,ра ао) Н частности, если две интегральные поверхности уравнения (1) соприкасаются в некоторой точке, то они соприкасаются вдоль всей характеристики, проходящей через эту точку. Из предыдущих рассмотрений следует, что всякое дважды непрерывно дифференцируемое решение (1) определяет поверхность, состоящую из характеристических полос уравнения (1). Оказываетгя, что и, наоборот, из характеристических полос уравнения (1) можно строить интегральные поверхности уравнения (1). Таким образом, задача нахолсдения решения нелинейного уравнения (1) может быть сведена к решению характеристической системы (2), (3).
Покажем, как методом Коши можно построить интегральную поверхность уравнения (1) при заданном начальном условии, т.е. как решать задачу Каши для уравнения (1). Постановка задачи Коши для нелинейного уравнения (1) принципиально отличается ат постановки задачи Коши для линейных и квази- линейных уравнений в частных произвццных первого порядка. Различие здесь аналогично различию в постановке задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений у' = /(х,у) и Р(х,у,у') = О, для уравнения Р(х,у,у') = О начальные данные хе,уе,уе должны быть согласованы с уравнением, т.е. Р(хе,уе,уе) = О. Для нелинейного уравнения (1) ситуация аналогичная, начальные значения неизвестной функции и(х,у) и ее градиента должны быть согласованы с уравнением (1) и друг с другом. Пусть на плоскости Н(э „задана начальная кривая 284 Глава 8.
Дифференциальные уравнения о частных производных Геометрически начальное условие (5) задает гладкую пространственную кривую Г: х = хо(т), у = уо(т), и = ио(т), т Е Т, для которой должны выполняться указанные в условии (5) два уело.
вия согласования. Решить задачу Коши (1), (5) геометрически означает найти такую интегральную поверхность уравнения (1), которая проходят через заданную кривую Г. Приведем достаточные условия лекальной разрешимости зодачи Коши (1), (5). Задача Коши (1), (5) решается методом характеристик (методом Коши). Рассмотрим точку М(хо(то) уо(то),ио(то)) Е Г, то Е Х, н пусть Мо(хо,уо) Е т — проекция точки М на плоскость Я( Определение.
'Гочка Мо Е у называется характеристической точкой уравнения (1), если ь'дР . дР б = ~ — уо — — - хо~ = 8. 1,дро дуо /, „, Тот факт, что Мо Е Г является характеристической точкой уравнения (1), геометрически означает, что проекция на плоскость ьЧз1 „характеристической полосы уравнения (1) является касательной в точке Мо к начальной кривой т. Теорема. Если гпочка Мо Е т не явяяегпся харакгперистпи ьсской ьпочкой уравнения (1), тпо в некоторой окрестности Мо решение задачи Коши (1), (5) существует и единстпвенно.
О Решение характеристической системьь (2), (3), удовлетворяющее на. чельным условиям х!ь=о = хо(т) уй=о = уо(т) ив=о = ио(т)ь р)ь=о =ро(т), Ч!ь=о = Чо(т)ь обозначим через х = х(Ф, т), у = у(ь, т), и = и(ь', т), р = р(1, т), й = о(Г, т).
В силу условий теоремы зто решение существует, единственно и дважды непрерывно днфференцируемо прн ф ( б, где б > О, и при всех т Е Х. Отметим, что при этом используется то обстоятельство, что Р, хо(т), уо(т), ис(т), ро(т), Оо(т) — дважды непрерывно дифференцируемые функции. Поскольку якобиан д(х, у) д(гот) ь=о, 28$ $3. Нелинейные уравнения то систему уравнений х = х(йт), р = у(э,т) по теореме о системе неявных функций в окрестности 1 = О, т = тэ можно разрешить относительно С,т и в результате получаются дважды непрерывно дифференцируемые функции» = »(х,у), т = т(х,у) е окрестяостн точки Мэ. Покажем, что функция и = и[1(х,у),т(х,у)) = и(х,у) является решением задачи Коши (1), (5) в некоторой окрестности точки Ме Сначала установим, что ди ди Р= ~ »= дх' ду Если показать, что в окрестности 1 = О, т = тэ ди дх ду 5г= — -р — -й — =О, дт дт дт ди дх ду Р= — — р — — е — — = О, дс дс дс то из этой линейной системы можно однозначно определить р = ~, д» д = »ээ, так как определителем системы при $ = О, т = те служит И ,-Е О и, значит, в окрестности 1= О, т = те этот определитель д ~ О.
То, что т' ш О, непосредственно следует из характеристической системы (2), (3). Чтобы доказать, что У ш О, рассмотрим тождество дУ дУ др дх др дх до ду ду ду д1 дт дт д1 д1 дт дт Ж де дт' Если воспользоваться характеристической системой (2), (3) и тем, что ф = О, то, дифференцируя по $ и т тождество г ш О, отсюда получаем уравнение дУ дР— — — У, дс ди При фиксированном т это уравнение является линейным уравнением для У как функции а Так как по условию У = О при С = О, то отсвша при всех Таким образом, установлено, что р = в,=, й = т» в окрестности точа» э» ки Мо.
В силу начального условия (5) и в силу того, что Р является первым интегралом характеристической системы (2), (3), выражение Р(х,у, и,р, О) тождественно по С,т обращается в нуль на поверхности и(х,у). Следовательно, г' ш О тождественно по (х,у) из окрестности Мо, т.е. и = и(х,у)-решение задачи Коши (1), (5), Построенное решение единственно, так как решение характеристической системы однозначно определяется начальными условиями. Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных произвааиых 286 Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
