1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

иие. Пусть й — некоторая область плоскости Ггз (е г1 Теорема 1. Всякая непрерывно диффереицируемая поверхность и и(х,у), где (х,у) б Й, (х,у,и) 6 С, является интегральной поверхностью уравнения (5) тогда и только пюгда, когда она образована характеристиками уравнения (5). О Необходимость. Пусть и = и(х,у) — интегральная поверхность (5). Если М вЂ” произвольная точка этой поверхности, то обозначим через М' ее проекцию на плоскость (х,у). 273 $2, Квазилинейные уравнения Рассмотрим систему уравнений < х(С) = а[х,у,и(х,у)], у(С) = Ь[х,у,и(х,у)], и ее решение (х(С),у(С)), проходящее через точку М'.

Если положить и(С) = и[х(С) у(С)] то кривая у: х = х(С), у = у(С), и = и(С), по определению, лежит на интегральной поверхности. Покажем, что кривая у — характеристика уравнения (5). В самом деле, первые два уравнения характеристической системы для (5) и х(С) = а(х,у,и), у(С) = Ь(х,у,и), и(С) = с(х,у,и), (6) удовлетворяются в силу определения х(С), у(С), Кроме того, и(С) = †. х+ — у = — а[х(С),у(С),и(С)]+ — Ь[х(С),у(С),и(С)] = ди, ди, ди ди Вх ау ' Вх ' ' Ву ' = с [х(С), у(С),и(С)], так как по условию и — решевие (5). Достаточность. Пусть непрерывно дифференцируемая поверхность и = и(х,у) образована характеристиками уравнения (5). Покажем, что она является интегральной поверхностью (5).

В самом деле, пусть х = х(С), у = у(С), и = и(С), характеристика (5), проходящая через точку М заданной поверхности. По условию оиа целиком лежит на поверхности, т,е. и(С) си и[х(С),у(С)]. Отсюда имеем, что ди, ди и(С) ы — ° х+ — у. дх ду Но тогда из системы (6) получаем, что с [х(С), у(С), и(С)] се — а [а(С), у(С), и(С)] + — Ь [х(С), у(С), и(С)] . ди ди дх В частности, последнее равенство имеет место в точке М, т.е. уравнение (5) удовлетворяется в точке М.

Поскольку точка М вЂ” яроизвольяая точка поверхности, то заданная поверхность является иитегральиой для уравнения (5). Ф 274 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных Вернемся к общему уравнению (1). Его решение можно свести к решению следующего линейного однородного уравнения: до д. "~ а (х,и) — + Ь(х,и) — = О. д*у ' д (7) Теорема 2. Пусгаь функция о = У(х, и) — решение уравнения (7) в некоторой подобласти Со С С и пусть У(х,и) = О в некоторой точке М б бо и — ~~ ф О. Тогда в некооюрой окрестности проекции М' точки М на аШМ1 пространство г1".

ууювнение У(х, и) = О определяет решение и = уг(х) уравнения (1). а зто в силу уравнения (7) есть Ь[х,уг(х)), т.е. уравнение (1) удовлетво- рено. Таким образом, из теоремы 2 вытекает следующий способ решения уравнения (1). Находим из характеристической системы (4) независимые в точке М б 0 первые интегралы (они существуют в силу (2)): ог(х,и),...,о„(х,и). Тогда решекием уравнения (1) в некоторой окрестности М будет функ- ция о = 1г [ог (х, и),..., о„(х, и) [, где г'(г,ы..., ~„) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция и, следовательно, решения уравнения (1) определяются как неявные функции из уравнения Р' [о г (х, и),..., о„(х, и) [ = О.

(8) Выражение (8) называется общим интегралом уравнения (1). Замечание. Формула (8) может не содержать всех решений (1). Именно, не исключена возможность того, что могут быть такие решения (1), для которых уравнение (7) удовлетворяется не тождественно по (х,и), а только при и = ~р(х) тождественно по х. Такого рода решения (1) О По теореме о неявной функции уравнение У(х,и) = О определяет в окрестности точки М единственную непрерывно дифференцируемую функцию и = р(х) такую, что в окрестности М' дуг(х) дУ [х,1о(х)[ l дУ [х,уг(х)) дхг дху Тогда левая часть уравнения (1) в окрестности М' равна ч дУ[х,~р(х)[ /дУ[х,р(х)) — аг [х, 1о(х)[ дх; / ди З 2. Квазнлинеаные уравнения называются специальными решениями (1).

Специальные решения (1)— случай исключительный, и в дальнейшем они во внимание приниматься не будут. Пример 1. Найти решения уравнения Е' ди х — = гпи, У дху (9) где п1 — заданное число, х = (хм...,х„) ~ О. Ь Характеристическая система ху — — ху, 2=1,п, и=па, имеет и независимых первых интегралов, которые прн х„> О можно записать в виде и (х,и) = —, 1 =Т,п. — 1, е„(х,и) = —. Следовательно, решения заданного уравнения (9) определяются из уравнения Разрешив это уравнение относительно последнего аргумента, полу- чаем, что и(х) = х„Ф ~ —, 1 х1 х„11 хп хл Это однородная функция степени гп. Можно показать, что заданное уравнение (9) не имеет специальных решений. гем самым доказана обратная теорема к теореме Эйлера об однородной функции: если и(хм...,х„) — однородная функция степени гл, т.е, при всех х у1 О и при всех допустимых значениях параметра Л и(Лхм...,Лх„) = Лми(хы...,х„), то и(х) — реп|ение уравнения (9).

Как известно, теорема Эйлера доказывается дифференцированием тождества из определения однородной функции степени пь А Как н в случае линейного однородного уравнения, для выделения какого-либо частного решения квазилинейного уравнения (1) необходимо задать дополнительные условии. Чаще всего такими угловиямн являются начальные условия. В области 11 пространства В" задается гладкая (и- 1)-мерная начальная поверхность т н в точках поверхности т задана непрерывно дифференцируемая функция 1о(х).

278 Глава В. Дифференциальные уравнения в частных производных Начальное условие для уравнения (1) имеет внд и(х)! е, = р(х) (10) Задача Коши для уравнения (1). Найти такое решение уравнения (1), которое удовлетворяет качальному условию (10). Таким образом, задача Коши для (1) ставится в точности так же, как и для легенейного однородного уравнения. Условия разрешимости ее также аналогичны условиям разрешимости задачи Коши для линейного однородного уравнения.

Решается задача Коши (1), (10) методом характеристик (методом Коши). Для простоты ограничимся задачей Коши для уравнения (5). Пусть гладкая кривая у на плоскости Н(з Н задается параметрическими уравнениями х = х(т), у = у(т), где т 8 Х вЂ” промежутку оси Й', н пусть и(х, уЦ~ Нет — — ие(т), т 0 Х. (11) Кривая у называется начальной кривой. Предполагается, что на Х функции х(т), у(т), ио(т) — непрерывно дифферепцнруемы и (х'(т))~+[у'(т))~>0 для всех т 8 Х. Начальное условие (11) задает гладкую кривую Г в пространстве х,у,и: Г: х=х(т), у=у(т), и=по(т), т01.

Решение задачи Коши (5), (11) задает интегральную поверхность уравнения (5), проходящую через кривую Г. Пусть точка Мо(хо,уо)— проекция на плоскость Я(~ „точки М(хо,уо,ио) 6 Г. Определение. Точка Мо(хо уо) 8 у, где хо=х(то), ус=у(те) ив=и(то) называется характеристической точкой уравнения (5), если И = а(го уо ие) у(то) — Ь(хо,уо,ио) х(то) = О. Тот факт, что Мо 0 у — характеристическая точка (5), геометрически означает, что начальная кривая Т касается проекций характеристик (5) на плоскость Я(з „в точке Ме(хо,уо) 8 'у.

Теорема 3. Если точка Мо 0 т не леляетсл характеристической точкой уравнения (5), то о некопюрой окрестности точки Мо решение задачи Коши (5), (11) сущеспзоуетл и единсгаеенно. О Пусть М(хо,уо,ио) й Г и пусть (12) т = х($, т), у = у(1, т), и = и(Ф, т), гну э 2. Квазилявейные уравнения решение характеристической системы (б), удовлетворяющее начальным условиям х[~=о = хИ, у]~=о = у(т), и]~=о = ис(т), т б Т. Это решение существует для ]1] < 6 при некотором б ) О. Уравнения (12) определяют в пространстве (х,у,и) некоторую поверхность, образованную характеристиками и проходящую через кривую Г. Если показать что зта поверхность является гладкой, то согласно теореме 1 она будет интегральной и тем самым существование решении задачи Коши (б), (11) будет доказано. Все функции в (12) являются непрерывно дифференцируемыми при ]1[ < 6 и т й Х согласно теореме о непрерывной дифференцируемости решения задачи Коши по начальным значениям для системы (б).

Покажем, что в окрестности точки Мо(хо,уе) первые два уравнения (12) можно однозначно разрешить относительно г,т. В самом деле, так как в силу условия теоремы 3 якобиан д(х,у) ~ — = И = а(хо,уо,ио) у(те) — Ь(хо,ум ив)х(то) ~ О, д(с, т) (г=э, то по теореме о системе неявных функций первые два уравнения (12) можно в окрестности Мо(хо,ус) однозначно разрешить относительно 1,т. Пусть нх решениями будут Г = Ф(х,у), т = т(х,у).

Полученные функции являются непрерывно дифференцируемыми в окрестностя Ме(хе,уе). Подставив их в третье уравнение (12), получим непрерывно дифференцируемую в окрестности Ме(хо,уе) функцию и = и[с(х,у),т(х,у)]. График этой функции по теореме 1 н является искомой интегральной поверхностью (5), проходящей через кривую Г. Полученное решение является единственным, поскольку, если существует какая-либо другая интегральная поверхность (5), проходящая через кривую Г, то по теореме 1 она образована характеристиками. Но через каждую точку Г проходит лишь одна характеристика. Поэтому второе решение совпадает с уже построенным.

Пример 2. Найти интегральную поверхность уравнения ди ди х — — у — =и, дх ди проходящую через кривую, заданную уравнениями х=т, у=т, и=та, таей. Ь Первый метод решения. 278 Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных Характеристическая система и х(1) = х, у(ь) = — у, и(г) = и, при начальных условиях и)шо = т, з х)с=о = т у(с=о = г имеет решение х=ге, у=те, и=с е. Это параметрическое решение задачи Коши. Отсюда находим явное решение задачи Коши и = хзу. Второй метод решения заданной звдачк Коши основан на использовании не траекторий (5), а первых интегралов характеристической системы (6).

Нетрудно видеть, что функции — независимые первые интегралы характеристической системы. Тогда уравнение Г(ху,уи) = О, где г'(~м ~з) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, дает об|ций интеграл исходного уравнения. Из начальных условий находим вид функции г' хаким образом, чтобы г (и1 из) = г (ху, уи) = Е(т~, т ) ш О, йт б Л,'. Отсюда Г = и, — из = х у — уи = О, т.е.

Характеристики

Список файлов книги