1611689249-f49039a1c2b6a073c8debd6b9b28eda1 (826747), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Особые линии могут определять так называемые особые решения (3). В силу того, что переменные х,у равноправны в уравнении (3), для него удобно ставить задачу Коши в геометрических терминах. Задача Коши для (3). Найти интегральную кривую уравнения (3), проходящую через заданную точку (хэ,уэ) б С. Если Жзэ,уе) Ф О, (хо,уэ) с С, то можно установить в некоторой окрестности (хе,рэ) эквивалентность уравнений (3) и (1). Тем самым изучение задачи Коши для уравнения (3) сводится в такой окрестности к изучению задачи Коши для уравнения (1).
18 Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений В 2. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка Решения дифференциального уравнения Р(х, У)Их + «» (х, У) Ы1» = О, где Р(х, у) и 9(х, у) — заданные непрерывные функции в некоторой области С декартовой плоскости Яэ(х,у), не содержащей особых точек уравнения (1), сравнительно редко выражаются через элементарные функции. Даже простейшие уравнения вида (1) могут приводить к решениям, не выражающимся через элементарные функции. В качестве примера можно взять уравнение Все его решения задаются формулой у= /е *Их+С, -е» где ) е * <Ь обозначает фиксированную первообрэзную функции е *, а С вЂ” произвольная постоянная.
Иэ курса анализа известно, что перво— х» образная ) е * Их не выражается через элементарные функции. Тем не менее естественно считать, что найдены все решения уравнения. Замечание. В теории дифференциальных уравнений символом ( у(х)дх, где у (х) — заданная непрерь»виан функция на некотором промежутке, принято обозначать фиксированную первообразную, в отличие от анализа, где символ )'у(х)«Ь обозначает множество всех первообразных функции у(х). Из вышесказанного делается понятной необходимость расширения класса функций, через которые могут выражаться решения уравнения (1). Определение.
Говорят, что уравнение (1) разрешимо или интегрируемо в квадратурах, если все его решеяня выражаются явным или неявным образом через элементарные функции с помощью конечного числа арифметических операций, суперпозиций и операций нахождения перво- образных. Замечание. В прежние века первообразную )'у(х)Нх называни квадра- турой у(х). Отсюда и происходит название «решение в кв;щратурах». Уже простой пример уравнения Риккати у' = уз + я говорит о том, что в квадратурах интегрируется сравнительно небольшой класс уравнений (1).
Поэтому, наряду с методами нахождения точных решений, для практики важное значение имеют асимптотические и численные методы решения дифференциальных уравнений, которые широко применяются в тех случаях, когда точные решения уравнений нельзя найти или они малоэффективны. 12. Методы решения простейших дифференциальных уравнениЯ Укажем простые классы уравнений (1), интегрируемых в квадратурах. Отметим, что при решении конкретных уравиеиий нецелесообразно пользоваться выведенными ниже формулами решений.
Проще усвоить изложеииый метод решеиия и цримеиять его в каждом коикретиом случае. 1, Уравнения с разделенными переменными Так называют уравнение вида а(х)ах + Ь(у)ду = О, (2) где а(х)-задаииая непрерывная функция иа (а,В), Ь(у) — задаииая не. прерывная функция иа (у, О) и область С' = ((х,у): х б (а,1у),у б (у,д)) ие содержит особых точек уравнения (1). Если существует параметрическое решение уравнения (2), задаваемого функциями х = и(8), у = 4~(1), 1 б х то, подставив его в (2), получим тождество иа промежутке Т: а (И($)) йо(1) + Ь (ф(1)) с(1Ь(1) и О. (3) Пусть А(х) = 1 а(х)ах — какал-либо первооброзиая а(х) и пусть В(у) = ~Ь(у)Иу — какая-либо первообразиая Ь(у). Тогда интегрирование тождества (3) приводит к равенству А(о(1)!+В(Ф(1)) =С, 1бХ, где С вЂ” постояииая.
Следовательно, всякое параметрическое решение (2) удовлетворяет уравнению а(х)Их + / Ь(у)ду = С, (4) Нетрудно убедиться, что и обратио, если и = ~р(1), у = у(1), 1 б т, задают гладкую кривую, удовлетворяющую иа промежутке Х уравнению (4) при некотором значении постоянной С, то оиа определяет параметрическое решение (2). Таким образом, формула (4), где С вЂ” произвольная постояииая, если задает гладкую кривую при некотором С, то при каждом таком значении С определяет некоторое параметрическое решение уравнения (2) и содержит все параметрические решеиия уравнения (2). Если необходимо найти интегральную кривую (2), проходящую через точку (хо уо), где хо б (а Р], уо 6 (.у,б), то одиозиачио такая кривая в силу (4) задается формулой У ~ ак) К + / Ь(у)4О = О.
Уравнение вида р (х)41(у)4х + рз(х)уз(у) у = О 2О Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнения Рг(х) йз(У) — с(х+ — = О. рз(х) В(у) Из формулы (4) тогда получаем формулу решений уравнения (5) в рас- сматриваемой окрестности (хму1) б С вЂ” Их+~ =ду=С, р1( ) Г уз(у) рз(х) ,/ о1(у) (б) где С вЂ” произвольная постоянная, а знаком интеграла обозначаетсл фиксированная первообразная. Далее, если интегральные кривые (6) касаются примой х = хс илн примой у = ус, то путем чсклеиванияэ частей кривых (б) и частей прямых х = хе, у = уе в точках касания, получаем множество новых, так называемых составных решений уравнения (5).
Приведем пример. Пример 1. Решить уравнение у' = 3',/уз. В Заменив у' отношением дифференциалов, заданное уравнение пе- репишем в симметричной форме ду = 3 ~~~Их. Проверкой убеждаемся, что у = Π— решение уравнения. Предполагая теперь, что у ~ О, разделим обе части уравнения на Зфуз. В результате получаем уравнение с разделенными переменными еу 3з/ з Отсюда находим, что (гу = х+С или у = (х+С)з, где С вЂ” произвольная постоянная. Нетрудно проверить, что в точках ( — С,О) кривые у = (х+ С) касаются прямой у = О.
В силу этого наше уравнение, кроме решений у = О, у = (х + С)з, имеет бесконечное множество составных решений, составленных из частей ранее полученных решений. Например, (см. рис. 4) это решения АВН, РВЕ, ЕСВЕ и т.д. где рг(х) и рз(х) — заданные непрерывные функции х ч (а,В), а 41(у) и дв(у) — заданные непрерывные функции у б (у,д), называют уравнением с разделяюгдимися переменными. Здесь, как и для уравнения (2), предполагаем, что область С не содержит особых точек уравнения (5).
В случае, когда найдется такое хе б (а,В), что рз(хе) = О, проверкой убеждаемся, что х = хе является решением (5). Аналогично, если 41(уе) = О для некоторого уе б (у, В), то у = уе — решение (5). Если же д1(у1) Ф О и рз(х~) Ф О, то в некоторой окрестности (хму1) б С, как нетрудно проверить, уравнение (5) эквивалентно (т.е.
у них одно и то же множество решений) уравнению с разделенными переменными 12. Методы решения простейших дифференциальных уравмевнй Рьгс. 4 Уравнение вида у' = Дах+ Ьу+ с), где у(г) — заданная непрерывная функция на некотором промежутке, а, Ь, с — заданные числа, а +Ь > О, заменой х = ох+ Ьу+ с приводится к уравнению с разделяющимися пе. ременными в' = а+ ЬУ(х). в~~2. 2»ЬЬ2 2,: 1 = '42422=2, 12)=1. Й После замены х = 4х+ 2у — 1 уравнение примет вид х' = 4 + 2~й. Его интегрирование дает х+ С = ~Б — 21п(2+ ь)х), где С вЂ” произвольная постоянная. Возвращаясь к переменной у, получим формулу всех решений исходного уравнения С= 4*422 — 1 — 21 12': Л 422 — 1).
Из начального условия находим, что С = 1 — 21пЗ. Следовагельно, решеяне задачи Коши задается формулой 1 — 21 2 Й4 22 — 1 — 2! )2+ )Ь4 22 — 1). А 2. Однородные уравнения первого порядка Уравяение (1) будем называть однородяым уравнением первого порядка, если ею можно прн х ф О записать в виде у' =1(;), (7) где Дх) — задаш)ая непрерывная функция в на некотором промежутке. Уравнение (7) заменой у = хи, где п = и(х) — новая неизвестная функция, сводится к эквивалентному уравнению хи' + и = 7 (и) . (8) Глава 1. Методы решения дифференциальных уравнений 22 При решении уравнения (8) нужно различать три случая: а) у(и) ф и, б) 1"(«) ш и, в) у(«ь) = и» для некоторых точек иь, Уравнение (8) эквивалентно уравнению с разделенными переменными вида с(и Их ((и) — и х в случае а) и уравнению хи' = О в случае б). В случае в) проверкой можно убедиться, что «(х) = и» вЂ” решения (8). Получив все решения уравнения (8), обратной заменой находим все решения уравнения (7).
При этом возможны и составные решения. Онн появлянугся тогда, когда интегральные кривые (7) касаются интегральных прямых у = иах. Пример 3. При х > О, х+ у > О решить уравнение ха+уз ху' = х+у |+(х1' (1 Уравнение можно записать в виде у' = —, *,| и, следовательно, оно является однородным уравнением первого порядка. После замены у = хи получаем 1+ «э хй+и = !+и Отсюда находим, что 1 — и хи 1+« Проверкой убеждаемся, что и = 1 — решение этого уравнения. Если же и ф 1, то уравнение эквивалентно уравнению |(х 1+ и — = — |(и.
1 — и Решения последнего задаются формулой С+ 1п(х( = — 1п(и — 1) — и, где С вЂ” произвольная постоянная. Обратная замена дает все решения заданного уравнения С+1п |х( = — !п ~ — — 1) Пусть теперь задано уравнение вида (а|я+ Ь!у+ с| ') (9) \ азх+ Ьзу+ га/ где Дх) — непрерывная функция на некотором промежутке, а заданные числа а|, Ь|, с|, аз, Ь~, о| таковы, что (а|)+ (Ь|~ > О, (аэ(+ (Ьз) > О, $2. Методы решения простейших дяфференцнальных уравнений Рассмотрим на плоскости следующие две прямые: а1х+ Ь1у+ с1 = О, ага+ Ьгу+ сг = О. Если прямые имеют точку пересечения (хо,уо), то замена х = ( + хе, у = г1+ уо приводит (9) к однородному уравнению й~ (гаг~+ Ьгп'( сЬ," ! аг(+ Ьггг/ Если же этн прямые параллельны, то найдется такое число й ф О, что агх+ Ьгу = Ь(агх+ Ьгу). Следовательно, уравнение (9) принимает внд аг х + Ь1 у + с1 у'=У й(агх + Ьгу) + сг) '-'( и заменой г = а1х+ Ь1у приводится к уравнению с разделяющимися переменнымн.
Пример 4. Решить уравнение (у + 2)дх = (2х + у — 4)4у. 6 Прямые у+ 2 = О н 2х+ у — 4 = О пересекаются в точке (3, — 2). После замены х = ~+ 3, у = и — 2 получаем уравнение О<с =(2б+ )49. Проверкой убеждаемся, что и = Π— решение этого уравнения. При и ф О это уравнение является однородным. Ищем его решение в виде ~ = г! и, где и = и(О) — новая неизвестная функция. После упрощений находим, что П4н = (и+ 1)4гг.
Легко видеть, что и = — 1 — решение. При г! ф О, и г1 -1 находим остальные решения последнего уравнения 1н ]и+ 1] = 1п]п]+!псы где сг — произвольная положительная постоянная. Избавившись от логарифмов и положив с = сг э!бп [н(и + 1)], последнюю формулу можно записать в виде н + 1 = с~1, с Ф О. Но при с = О получаем решение и = — 1, поэтому можно считать в полученном равенстве с любым числом. Из проведенных выкладок получаем, что все решения задаяного уравнения задаются формулами у = -2, х+у — 1=с(у+2)г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
