1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 86
Текст из файла (страница 86)
(рис. 26). 4. Интересным примером двумерного многообра-. зия с краем в Кз является так называемый лист Мебиуса, Он выглядит как результат склеивания концов перекрученной полоски бумаги (рис. 27). Лист Мебиуса — простейшая односторонняя поверхность. Что зто значит? Обычно у поверхности две стороны: вы можете покрасить одну сторону, скажем, в синий цвет, а другую — в красный, так, что цвета нигде не будут граничить друг с другом, Начав же красить с любого места лист Мебиуса, вы непременно закрасите его целиком — «со всех сторон»! Две стороны исходной полоски бумаги отождествились прн склеивании. Инвариантность края многообразия. 1-1аше определение внутрснннх и краевых тОчек может вызвать резонный вопрос: не может ли внутренняя точка многообразия одновременно являться краевои? (Другими словами, не может ли многообразие без края иметь непустой край?) Он сводится к вопросу о том, существует ли у ° точки, лежащей на границе нь к многоовгкзия малых елзмееностеп В27 полупространства й~, окрестность в Й~, гомеоморфная евклидову пространству 11".
Ответ на этот вопрос отрицательный, как легко следует из теоремы Браэура об инварнантности области. В частности, край замкнутого полупространства совпадает с граничной гиперплоскостью: д11+ яи 11" '. Из этого следует, что край и-мерного многообразия с краем сам является (и — 1)-мерным многообразием без края. (Без обращения к теореме Брауэра легко показать, что имеются только две возможности: д11+ ям ц" ' или д(ч+ = =-11+. Во втором случае край любого и-мерного многообразия с ним совпадал бы.) Ряс.
27 Примеры.1. Край отрезка состоит из двух точек— его концов: д(0, 11=(0, 1). 2. Край круга есть окружность: д11г= 8'. 3. Более общим образом, край п-мерного шара есть (и — 1)-мерная сфера. 4. Край листа Мебиуса гомеоморфен окружности Б'. 5. Тор является краем ограниченной им части просгранства — иолнотория. $ 2. Топологнческие многообразия малых размерностей В топологии многообразий проблема гомеоморфизма (см. $ 6 гл. 1) является центральной. Здесь мы расскажем о ее решении в простейших случаях: опишем топологическую классификацию одномерных и компактных двумерных многообразий (или, иначе говоря„поверхностей).
При этом достаточно ограничиться связными многообразиями. ЧАСТЬ 6. ТОПОЛОГИЯ 528 Теорема !. Всякое связное одномерное многообразие без края гомеоморфно числовой прямой (!' или окружности 8'. Всякое связное одномерное многообразие с неяусгым краем гомеоморфно отрезку 1 = н=(О, !) или лучу 1!' =(О, + со), Э 'у теорему мы доказывать не будем. П С другой стороны, ясно, что У ф К' и ! ф К'„,— пространства Б' и ! компактны, а К' и К' — нет. Ручки, трубки, пленки.
Для описания возможных топологическнх типов замкнутых двумерных многообразий нам понадобятся термины «ручка», «трубка» Рис. 2в и «пленка». Ручкой будем называть часть двумерного многообразия, гомеоморфную тору с дыркой (рис. 28). Трубкой будем называть часть двумерного многообразия, гомеоморфную кольцу (кругу с дыркой). (Название зто связано с тем, что трубка гомеоморфна боковой поверхности прямого кругового цилиндра). Пленкой будем называть часть двумерного многообразия, гомеоморфную листу Мебиуса (рис.
29). Ориентируемость. Назовем двумер- ное многообразие неориентируемым, ра«2В если оно содеРжит хотЯ бы однУ нл< цку, н ориентнруемым и противном случае. Сферы с дырами. Напомним, что сферой с и дырами называется дополнение в сфере внутренности и попарно непересекающихся кругов. Сфера с одной дырой гомеоморфна кругу, сфера с двумя дырами гомеоморфна кольцу. Сфера с я дырами гомеоморфна кругу с п — ! дырами (рис. 30).
Все сферы с п дырами гомеоморфны. (Упражнение.) но к многооввкзия малых вхзмегностеи ава Сф ры с ручкамн. Замкнутое двумерное многообразие называется сферой с р ручками, если в нем можно выделить р попарно непересекающихся ручек, замыкание дополнения к которым гомеоморфно сфере Рис. 30 с р дырами (рис. 31). Оказывается, все сферы с ручками ориентируемы. (Этого мы доказывать не будем,) Все сферы с р ручками гомеоморфны. Вот другое их описание: ориентируемое двумерное многообразие гомеоморфно сфере с р ручками, если в нем можно Рис.
3! выделить р попарно нспересекаюи1ихся трубок, замыкание дополнения к которым гомеоморфно сфере с2р дырами (рис. 32). Примеры. 1. Тор гомеоморфен сфере с одной ручкой (рнс. 33). 2. Крендель гомсоморфсн сфере с двумя ручками (рис. 34). 3. Еще одна стандартная поверхность, гомеоморфная сфере с р ручками (р = 4), изображена на рис.
35 и 36. пь к многоовелзия малых елзмвеностви ВЗ~ Оказывается, что всякая замкнутая ориентируемая поверхность гомеоморфна сфере с несколькими ручками. Доказательство этого факта мы отложим до$ 4. Сферы с пленками. Замкнутое двумерное многообразие называется сферой с д пленками, если в ием можно выделить д попарно непересекающихся пленок, замыкание дополнения к которым гомеоморфно сфере с д дырами.
Очевидно, что при а ) 1 сфера с а пленками неориентируема. (Так как неориентируемость, по нашему определению, — это наличие на поверхности пленок.) Пример. Нарисовать сферу с пленками довольно трудно: будучи неориентируемой, она не вкладывается в трехмерное евклидова пространство. Однако изобразить ее все-таки можно. Например, вот так выглядит сфера с двумя пленками, иначе называемая Рис. 37 Рис. 38 бутылкой Клейна (рис. 37,а, б).
На рис. 37,а н б изображено множество — образ сферы с двумя пленками при некотором ее отображении в йз (образы пленок заштрихованы), В этом множестве содержится двойная окружность, образованная точками, прообразы которых состоят из двух точек. Бутылка Клейна состоит нз двух «половинок», гомеоморфиых листу Мебиуса (см. рис. 38, а, б). Труднее изобразить сферу с одной пленкой — хорошо знакомую нам проективную плоскость. Без доказательства отметим, что всякая замкнутая неориенгируемая поверхность гомеоморфна сфере с несколькими пленками.
Модельные поверхности с краем. Назовем поверхность сферой с р ручками (пленками) и г дырами, чАсть а то!!алою!я сс.!и в пей можно выделить р попарно неперссскаю!цихся ручек (плепок), не пересекающихся с краем поверхности, замыкание дополнения к которым гомеоморфпо сфсрс с р+ г дырами. Оказывается, что всякая ориенгнруемая компактная поверхность гомеоморфна сфере с несколькими ручками и дырами, а всякая неориентируемая— сфере с несколькими пленками и дырами.
Для полноты классификации нужно еще доказать, что сфера с пленками и дырами не гомеоморфна сфере с (!учками и дырами н что сферы с разным количеством ручек (соответственно пленок) и дыр негомеоморфны. Этого мы здесь делать не будем. Зато в следующем параграфе будет указан способ, позволяющий узнать, какой из модельных поверхностей гомеоморфна данная поверхность.
Многообразия большей размерности. О трехмерных многообразиях известно немало, но до сих пор не доказана и не опровергнута важная гипотеза, выдвинутая еще в начале ХХ в. французским математиком Анри Пуанкаре. Чтобы сформулировать ее, дадим одно определение. Топологическое пространство Х называется односвязным,если оио линейно связно и всякое непрерывное отображение 5!- Х окружности в пространство Х можно продолжить до непрерывного отображения Р'- Х всего круга Р'. Нетрудно видеть, что сфера 5" односвязна при и ) 2. Гипотеза Пуанкаре.
Всякоезамкнутое односвязное трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере. Как ни странно, аналоги гипотезы Пуанкаре, касающиеся многообразий размерности 5. и больше, доказаны. А недавно это сделано и для многообразий размерности 4. Более того, получена топологическая классификация вообще всех замкнутых односаязных четырехмерных многообразий. $3. Триангуляции, клеточные разбиения.
Теорема Эйлера В результате классификации каждая компактная поверхность должна быть отнесена к какому-то определенному типу. При этом мы получаем представление ее в некотором каноническом виде. Для этого 1п.з. ттихнгтляции, клеточные Рхзвивния взз исходная поверхность должна с самого начала быть задана каким-либо способом. Из нашего чисто деекриптивного (т. е. описательного) определения возможный вид такого задания не ясен. Оказывается, что удобно для представления поверхностей воспользоваться триангуляцией.
Триангуляции. Пусть Р— компактная поверхность. Толологическим треугольником Т назовем чусть поверхности Р, для которой установлен томеоморфизм цп Л- Т с некоторым плоским треугольником Л. Образы сторон треугольника А назовем сторонами треугольника Т, а образы вершин — его вершинами. Конечный набор треугольников Ть ..., Ть на компактной поверхности Р образует ее триангуляцию, если выполнены следующие условия: 1) треугольп..кп Ть ..., Т, покрывают поверхность Р: и Т,= — Р; 2) персссчение любых двух треугольников пусто нли являс1ся их общей' всршиной либо стороной; 3) если А =- Т, П Т~ — общая сторона треугольников Тг и Тл то отображение р-'оц~, линейно отображает отрезок ц~ (А) на отрезок щ '(А) (рис.
39). Условие 3 несущественно. Его выполнения всегда можно добиться, изменив гомеоморфизмы грь если условия ! и 2 уже выполнены. чАсть а тОпОлОГия 534 Примеры. Такие выпуклые многогранники, как тетраздр и октаэдр, дают триангуляцию двумерной сферы 8', см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
