1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 87

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 87)

40,а, б. Существует триангуляция тора, в которой участвует всего !4 треугольников. Это — наименьшее возможное число треугольников в триангуляции тора. Пользуясь теоремой Брауэра об Рис. 40, инвариантностн области ($ (, теорема 3) при п = 2, можно показать, что: а) три треугольника в триангуляции не могут иметь общую сторону (т. е. одна сторона может принадлежать только одному или двум треугольникам триангуляции); б) дополнение объединения всех треугольников с данной вершиной до самой этой вершины всегда (линейно) связно.

Эти условия вместе с условиями ! — 3 из определения триангуляции можно взять за основу при (чисто комбинаторном) аксиоматическом описании триангулированной поверхности. Как оказывается (Радо, (924 г.), любую компактную поверхность можно триангулировать (некомпактные поверхности тоже триангулируемы при надлежащем определении триангуляции). Особенно просто :го сделать в случае поверхностей геометрического происхождения, которые мы главным образом и имеем в виду. Впервые необходимость триангуляции появилась при проведении измерений на земной поверхности — в геодезии.

Клеточные разбиения поверхностей. Для наших целей удобнее воспользоваться не триангуляцией, а одним ее обобщением — клеточным разбиением. Открытой клеткой размерности п на поверхности иазы- п.з. ттихнгтляции. клеточные тазвиення ааа вается подмножество, гомеоморфное 11", где и=О 1, 2. (Заметим, что открытая клетка размерности и является открытым множеством тогда и только тогда, когда п = 21) Разбиение Р= Ц Х~ поверхности Р на 1 3 открытые клетки Хь ..., Хь называется клеточным, если выполняется следующее условие. Длл каждой одномерной клетки Х, существует непрерывное отображение отрезка 1=[0, 1) в поверхность Р, сужение которого на интервал (О, 1) есть гомеоморфизм интервала (О, 1) на Хь а образы концов отрезка 1 являются нульмерными клетками (которые, возможно, совпадают) .

Край поверхности при этом тоже получает клеточное разбиение, состоящее из пульмериых и одномерных клеток. Ряс. 41 Примеры. 1. Каждая триангуляция поверхности очевидным образом дает ее клеточное разбиение, 2. Выпуклые многогранники, такие как куб, пирамида, призма, додекаэдр и т. п., доставляют клеточные разбиения сферы (рис. 4!). 3.

Клеточные разбиения бывают намного более «экономными», чем триангуляция. Так, у сферы есть клеточное разбиение, состоящее из одной нульмерной и одной двумерной клетки, а у тора есть разбиение члсть ь. топология из одной нульмерной, двух одномерных и одной двумерной клетки (рис. 42). Замкнутые клетки.

Замыкание открытой клетки называется замкнутой клеткой. В отличие от случая триангуляции замкнутая двумерная клетка может быть не гомеоморфна многоугольнику. Так, в разбиениях из примера 3 замкнутая двумерная клетка совпадает со всей поверхностью (точно так же и замкнутая одномерная клетка может быть гомеоморфна Рис. 42 не отрезку 1, а окружности У). Тем не менее справедливо некоторое более слабое утверждение. Чтобы его сформулировать, нам понадобится понятие и-угольника при и = О, 1 и 2.

Впрочем, определение будет иметь смысл для любого п. СС ОО Ряс. 43 Определение. При и ) ! модельным и-угольником назовем круг, на границе которо~о отмечено а точек (рис. 43, а — г). Нульугольником назовем сферу с одной отмеченной точкой (рис. 43, д).

При к ) 3 для модельного и-угольника существует гомеоморфизм его на любой обычный п-угольник, при котором отмеченные точки переходят в вершины, а дуги с отмеченными концами — в стороны. Каждый модельный и-угольник очевидным образом снабжает- Нь 3. ТРИАНГУЛЯЦИИ. КЛЕТОЧНЫЕ РАЗБИЕНИЯ 537 ся клеточным разбиением, в котором участвуют и нульмерных, и одномерных и одна двумерная клетка (исключение представляет нульугольник — у него одна нульмерная, одна двумерная и ни одной одномерной клетки). Можно показать, что на всякую замкнутую двумерную клетку можно так отобразить некоторый модельный н-угольник, чтобы каждая его открытау клетка гомеоморфно отображалась на некоторую открытую клетку исходного разбиения (той же размерности), (При этом нульугольник может потребоваться только в том случае, если замкнутая клетка совпадает со всей поверхностью и гомеоморфна сфере 8'.) При желании это свойство можно включить в определение клеточного разбиения поверхности, тем более что в случае триангуляции оно выполнено автоматически.

Пример. Рассмотрим куб АВСОА'В'С'0'. Его поверхность, гомеоморфная сфере, обладает клеточным Рис. 44 разбиением, в котором нульмерными клетками служат вершины куба, а одномерными — ребра АА', А'Р', Р0, О'С', С'С, А'В', ВВ'. В этом разбиении всего одна двумерная клетка. Соответствующее отображение многоугольника на замкнутую двумерную клетку (совпадающую со всем кубом) нетрудно построить, взяв за основу хорошо известную развертку куба (р ис. 44) . Формула Эйлера. У одной и той же поверхности В может быть много различных триангуляций и еще больше клеточных разбиений.

Количество клеток в этих клеточных разбиениях тоже может быть самым различным. Но оказывается, что если нз общего числа нульмерных н двумерных клеток вычесть количество одномерных клеток, то результат не будет ЧАСТЬ 6. ТОПОЛОГИЯ зависеть от выбора разбиения, Полученное число называется эйлеровой характеристикой поверхности р и обозначается Х(Р). Если обозначить количество нуль- мерных, одномерных и двумерных клеток разбиения через ао, а| и ао соответственно, то получим ао — 01+ а2=Х(р). Эйлер впервые заметил, что в случае сферы всегда ао — а~+ ао — — 2, т, е.

Х(Зо) = 2. В частности, имеет место Теорема. Если дан выпуклый многогранник, у которого В вершин, Р ребер и Г граней, то будет выполнятося равенство  — Р + Г = 2. Эта формула была известна еще Ферма и Декарту. Нетрудно проверить на конкретных примерах клеточных разбиений, что зйлерова характеристика сферы с р ручками и г дырами равна 2 — 2р — г, а зйлерова характеристика сферы с д пленками и г дырами равна 2 — д — г. Таким образом, эйлерова характеристика Х(р), число компонент края г и ориентируемость или неориентируемость связной поверхности Р образуют полный набор ее топологических инвариантов.

Доказательство топологической инвариантностн эйлеровой характеристики поверхности выходит за рамки теоретико-множественной топологии. Здесь мы ограничимся тем, что докажем формулу Эйлера В— — Р+ Г = 2 для выпуклых многогранников. Доказательство теорем ы. Будем последовательно изменять разбиение сферы, соответствующее данному многограннику, стирая некоторые ребра и вершины и следя при этом за изменением чисел ао, а~ и ао. В первый момент ао = В, а~ = Р, ао — — Г. Далее будем поступать так. Каждый раз будем брать какое-нибудь ребро и начинать строить простую ломаную, добавляя к нему по очереди еще не стертые ребра.

Если в некоторый момент мы не сможем добавить к ломаной ребро, значит, мы нашли такую вершину, что все выходящие из нее ребра, кроме одного, уже стерты. Тогда сотрем зту вершину и зто ребро. При этом соответствующая двумерная клетка пе 4. кляссиФикАция поверхностей изменится (см. рнс. 45), но общее количество двумерных клеток останется прежним. Если обозначить через а', количество Рмерных клеток в получившемся разбиении, то мы получим а'=аа — 1, а',=а, — 1, а'=а.

е о Легко видеть, что ао' — а', + а'=а, — а, +а. Если же мы сможем построить из нестертых ребер простую замкнутую ломаную, то после стирания Рис. 45 Рис. 46 любого из входящих в нее ребер разделяемые ими двумерные клетки') «сольются» в одну (рис. 46), и мы получим: а' =а, а, =а, — 1, а'=а — !. По-прежнему а — и, +а =по — а, +а. Повторяя эту операцию, мы в конце концов придем к нульугольнику, у которого аа — — 1, а~ = О, ах = =1, и, следовательно, ао — сс1 + аз =2. Поскольку значение рассматриваемого выражения ае — а~+ах при переходе от исходного клеточного разбиения к нульугольнику нигде не менялось, то и для исходного многогранника имеет место равенство ао — а, + + сха = 2, что и требовалось доказать.

П 5 4. Топологическая классификация ориентируемых замкнутых поверхностей Наша цель здесь состоит в том, чтобы доказать следующую основную теорему. Теорема 1. Всякая замкнутая ориентируемая поверхность гомеоморфна сфере с несколькими ручками. Для доказательства воспользуемся очень удобным средством описания поверхностей, которое дают в наше распоряжение клеточныс разбиения. Чтобы ') Это хлетхи, лежащие в равных частих сферы, иа которые ее разбивает лоиаиаи. ЧАСТЫ.

ТОПОЛОГИЯ описать клеточное разбиение поверхности Р, изобразим на плосКости (отдельно друг от друга) все многоугольники,соответствующие различным замкнутым клеткам, и пометим у этих многоугольников пары сторон, отображающиеся в одну и ту же одномерную клетку. Если одна из сторон в такой паре ориентирована, то сквозной гомеоморфизм определит согласованную ориентацию второй стороны, Такое семейство многоугольников, некоторые стороны которых объединены в пары и при этом согласованно ориентированны; будем называть выкройкой поверхности а с а Ь с Ь а е е Рис.

Характеристики

Список файлов книги