1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Определение. Мы говорим, что отрезок с есть разность Отрезков а и Ь, и пишем с = а — Ь, если а = = с+ Ь. Если отрезок Ь отложить вдоль а, то остаток н представляет разность а — Ь (рис. 3). Лемма. Если а ) Ь и а1 — — а, Ь1 — — Ь, то также а1 ) Ь! и а~ — Ь!= а — Ь (т. е. если от равных отнять равные, то получаются равные). Ь с л АГ м Рис. 4 Рис.
3 Доказательство. Пусть а) Ь, так что есть такой отрезок с, что а = Ь + с. Пусть а~ — — а, Ь, = Ь. Тогда, по аксиоме сложения, а = Ь+ с = Ьа + с. Так как а1 — — а, то аа — — Ь|+ с, т.е.а1 ) Ь| и аа — Ьа — — с. Поэтому а1 — Ь1 = а — Ь, что и требовалось доказать. П Кратные отрезки и деление отрезка. Если и — натуральное число, то определяем на=а+ ... +а; л раа 1 а также определяем — а как такой отрезок Ь, что » /1 »а нЬ=а, т. е, и ~-а) =а. Далее, определяем — а= = ш ~ — а!. При этом гн 1А — а) — та (доказатель» ~» г» ство этого равенства оставляем читателю). Теорема 4. Для всякого отрезка а и всякого нату- 1 рального п существует отрезок — а.
1» Докажем это для а=2, т. е. что у всякого отрезка АВ есть середина — такая точка С, что АС = = СВ. Для этого заметим следующее: на всяком отрезке АВ есть такие точки М, У, что 2АМ ~ АВ ° 2АУ ) ) АВ (рис. 4). Действительно, возьмем иа отрезке АВ кинув-нибудь точку Р. Если 2АР «~ АВ (рис. б,а), то примем ь к АлГББРА ОТРезков за М любую точку на АР.
Тогда заведомо будет 2АМ ( АВ. Допустим, 2АР ) АВ, т. е. РВ ( АР, так что 2РВ АВ. Тогда если отложить вдоль АВ отрезок АМ, равный РВ. то и получим 2АМ ( АВ (рис. 5, б). Если 2АМ АВ, то 2ВМ) АВ, и поэтому, отложив от А отрезок АУ, равный ВМ, получим, что 2АУ ) АВ. л м В А и Р а а 3 Рис. 5 Теперьобратимся к нахождению середины какого- либо данного отрезка А В.
Разделим все точки на АВ на два класса Рь Рз: в Р~ отнесем те точки М, для которых 2АМ( АВ', в Рэ отнесем все остальные точки, т. е. те У, для которых 2АУ) АВ. Очевидно, при любых таких М, У будет АМ с: АУ. Из доказанного только что замечания следует, что в обоих классах есть точки. Таким образом, наши" 1 классы Рь Рэ — такие, о Рнс. б которых говорится в аксиоме непрерывности. По этой аксиоме существует такая точка С, что для всех М ен Р~ н всех Уев Рэ АМ с АС с АУ. ()) Отрезок АС и будет половиной АВ, т, е.
2АС=АВ. Допустим, 2АСФ АВ, и пуст 2АС(АВ. По доказанному замечанию можно взять такой отрезок с, что 2с (А — 2АС. Отложим от точки С вдоль СВ отрезок СМь равный с (рнс. 6). Получаем отрезок АМ~ = АС + + СМ~ ) АС, т. е. АМ~ зАС, и М~ ~РБ Вместе с тем (так как СМ~ = с и 2с ( АВ— — 2АС), 2АМ1 —— 2(АС+ СМ,)=2АС+ 2с ( 2АС+ + А — 2АС = АВ, т. е. 2АМ1 ( АВ, н, по определению класса Рь М~ ~ Рь (?1). Это противоречие доказывает, что ие может быть 2АС ( АВ.
ЧАСТЬ 6. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ Допустим, 2АС) АВ. Это равносильно тому, что 2ВС ( АВ. Поэтому так же, как только что сделано, придем к противоречию. (Именно, укажем такую точку Х, что В)У:з ВС и вместе с тем 2В(ч' < ВА. Первое равносильно АйГ с: АС, второе райносильно 2А1ч' > АВ, т. е. Лl ~ Рь так что из (!» АЛ~ ~АС. Противоречие.) Таким образом, существование середины у вся- 1 кого отрезка и тем самым существование — а дока- 2 вано. 1 Существование — а устанавливается аналогично. Но нам оно пока не понадобится, а потому оставляем его здесь без доказательства.
Потом существо- 1 ванне — а автоматически последует из существоваи ния отрезка любой данной длины. П й 3. Измерение длины Сколь угодно большие и сколь угодно малые отрезки. Практический прием измерения длины состоит в откладывании масштаба и его долей. При этом возможность измерить, в принципе, любой отрезок любым масштабом с любой точностью обусловлена двумя фундаментальными обстоятельствами. (!) Любой отрезок, каким бы большим он ни был, можно перекрыть данным масштабом, откладывая его достаточное число раз.
(2) Любой данный масштаб (отрезок) можно разделить на сколь угодно малые доли, так что ими можно измерять сколь угодно малые отрезки и тем самым измерять любые отрезки с любой точностью. В геометрии это выражается двумя теоремами. Теорема !. При любых двух отрезках а, Ь найдется такое натуральное п, что па ) Ь. Теорема 2. При любык двух отрезках а, Ь найдет- 1 ся такое натуральное п, что — а~(Ь (как доказано, 1 отрезок — а существует по крайней мере для н и =2").
Доказательство теоремы !. Пусть а, Ь— данные отрезки. Допустим, вопреки доказываемому, ь х измееениВ' длины что при всяком п будет па ( Ь. Это значит, что если откладывать на отрезке Ь, начиная от одного его конца А, отрезки, равные а, то будем получать отрезки ААь Л ~Ах, ..., содержащиеся в Ь. Все их точки, кроме А, лежат на Ь. Покажем, что существует такой отрезок АС, который содержит все эти отрезки Я;А~+и причем они исчерпывают все его точки, кроме С.
Может оказаться, что таким будет сам отрезок Ь. Если же это не так, то на Ь есть точки, не попадающие в отрезки А;А,+ь Соответственно разделим точки на отрезке Ь на два класса: в класс Р~ отнесем точки всех отрезков А~А~+и в класс гх — все остальные точки. Очевидно, эти классы удовлетворяют условиям аксиомы непрерывности. Поэтому, согласно этой аксиоме, есть такой отрезок АС, что он содержит все точки класса Р, и на нем нет других точек. Так что любой отложенный вдоль СЯ отрезок СО содержит точки Аь Возьмем такой отрезок С!1, равный а. Тогда окажется, что отрезок С0, равный а, содержит внутри какой-то отрезок А;А;+ь тоже равный а.
Но это противоречит аксиоме меньшего отрезка. Следовательно, не может быть, чтобы отрезками ла нельзя было покрыть отрезок Ь. Теорема 1 доказана. П Доказательство теорем ы 2. Пусть а, Ь— данные отрезки. По теореме 1 существует такое п, что 1 пЬ ~ а. А это равносильно тому, что ЬЪ вЂ” а. Теол рема 2 доказана. П Существование длины. Измерение длины путем откладывания масштаба и его долей, представленное в идеализированном виде, приводит к следующему результату. Теорема 3 (о длине отрезка).
При произвольно выбранном отрезке е каждому отрезку а одноаначно сопоставляется число 1(а) так, что выполняются условия: (а) 1(и) ) О, (б) если а = Ь, то 1(а) = 1(Ь), (в) 1(а + Ь) = 1(а) + 1(Ь), (г) 1(е) = !. ЧАСТЬ 6. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ Число Ца) называется численной длиной отрезка а в масштабе е (как говорят: «длина 5 см» я т, п.). «Число» всегда означает действительное число. Теорема состоит из двух утверждений: существование длины и ее единственность прн данном масштабе. Докажем первое.
Теорема За. При данном отрезке е каждому Отрезку а можно сопоставит»положительное число Ца) так, что будут выполнены условия (б) — (г). Дока з а тельство. Пусть выбран отрезок е. 1 Обозначим его доли: е„= — „е. » з» Определим численную длину отрезков е,: Це) =1, 1 1(е ) =зг, для отрезков йе„, составленных из е„, полагаем 1(йе„) = — „. А Возьмем какой-либо отрезок а и, по теореме 2, найдем такое пм что е» - а при п ) пь, так что отрезок е„укладывается на а. Вместе с тем, по теореме 1, при любом л ~ пь найдется такое лг„что (2) а„=т„е„(а < (т„+ 1)е .
Если перейти от и к и + 1, то к отрезку а„могут прибавиться некоторые отрезки е„+ь содержащиеся в а. Поэтому Ца +~)) Ца„). Таким образом, последовательность чисел Ца„)— неубываю1цая и ограниченная. Следовательно, она имеет предел; мы принимаем его за длину отрезка а: 1(а) =!1гп 1(а ). »-»» Если отрезок а' равен а, то на ием укладывается столько же отрезков, равных е„, и не более (как это непосредственно следует из выводов «алгебры отрезков»). Стало быть, для а' отрезки а'„равны а„.
Тем самым 1(а ) = 1пп1(а„') = Вш1(а„) =1(а). Итак, если а'= а, то Ца')= Е(а). 1. з. изме»ение длины Пусть теперь а=Ь+с. Отложив на Ь н с отрезки, равные е„, получим отрезки Ь„с„, причем Ь = Ь„+ й„, с = с„+ у„„ где р„у,— «остаткн» после откладывания отрезков, равных е„так что й, и у, меньше е,. Не исключено, что отрезков р„у, нет; можно тогда считать нх «нулевыми» отрезками. По правилам алгебры отрезков, Ь+ с = Ь«+ си+ (Рл+ ув)' н так как йл.
Тл с ел. То ~и+у« «2ел. Поэтому еслн откладывать отрезки е, на отрезке а = Ь+ с, то их уложится максимум на один больше, чем на Ь н с в сумме, т. е. Ь„+с„(~а„«:',Ь„+ с„+е„, и, переходя к длннам„ получаем !(Ь„)+!(с„) е.-.!(а„) а ЦЬ„)+ Цс„)+-,1 . Поэтому в пределе при и-~со получим ! (а) = ! (Ь) + ! (с). Таким образом, условие (в) для длины выполнено, н теорема За доказана. П Теорема 4. Всякие две функции отрезка 1, !', удовлетворяющие условиям (а) — (в), отличаются только постоянным мкожителем, т. е. !'(а) = Ь.!(а), Ь = сопя(. Доказательство. Пусть 1, !' — функции с условнямн (в) — (в).
Возьмем какой-нибудь отрезок е н положим е = — „е. Из свойства (в) (аддитивности) 1 «за следует, что 2"!(е„) =1(2"е„) и !(еф (3) н то же для !'. Пусть а — какой-либо отрезок. Откладывая на нем отрезки е„, получим, по формуле (2), лт„е„:6,'а < (т„+ 1) е„. Поэтому (пользуясь аддитнвностью !) имеем т !(е„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
