1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (824988), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Какую из сторон мы продолжим — не важно: углы, прибавляемые в каждом случае к развернутому,— вертикальные, а потому равны. Вообще, определяем два сверхтупых угла как равные, если они получаются прибавлением к развернутым углам равных углов, Мы получаем возможность складывать углы и тогда, когда в сумме получается сверхтупой угол. При этом аналогично теореме 4 выполняется ТеОРема 8. Если Равные Углы а = аь (~ = Р, обРазУют в сУмме свеРхтУпые Углы Т = а+ Р, Тч = = а~+ Рь то У=ТИ Доказательство читатель получит сам, пользуясь определением равенства сверхтупых углов и свойствами сложения и вычитания обычных углов. П Сверхтупой угол, как и обычный угол, можно еще представлять как «часть плоскости» вЂ” как фигуру, образованную отрезками (лучами) с общим концом (когда говорят о том, чтобы вырезать угол из бумаги, угол понимают в этом смысле).
Сложение углов заключается тогда в том, что сумма составляется из слагаемых. Угол Т является суммой углов а, р, если он служит их объединением и они имеют только общую сторону. Стороны настоящего угла делят все отрезки„ исходящие из его вершины (не считая самих сторон), на два класса: те, которые проходят в угле, т. е. пересекают его поперечину, и все остальные. Каждый из этих классов вместе со сторонами угла образует «плоский угол»: один меньше развернутого, содержащийся в полуплоскости, другой больше развернутого, содержащий полуплоскость, — сверхтупой. Термин «плоский угол» выражает здесь то, что речь идет о «части плоскости». Измерение углов. Для углов выполняется утверждение, совершенно аналогичное аксиоме непрерывности, Теорема 9. Пусть отрезки, проходящие в данном (настоящем) угле аЬ, разбиты на два класса Рь Рз так, что если де= Р1 и его Р,, то угол ад не больше угла ае.
Тогда существует такой идущий внутри угла аЬ отрезок с, что для всех д е= Р~ и е ен Р» х. ад ( .б ас (.~ ае. як пяостгхнстввнныв аксиомы 573 Доказательство. Проведем в угле аЬ поперечину АВ. Отрезки, проходящие в угле, пересекают ее, и этим осуществляется взаимно однозначное соответствие между отрезками, идущими в угле, и точками поперечины. При этом соотношения углов ас( и отрезков АР с:АВ соответствуют друг другу. Поэтому сказанное в теореме 9 автоматически следует из аксиомы непрерывности.
П Доказанное также автоматически приводит ктому, что измерение углов осуществляется подобно измерению отрезков. Достаточно повторить выводы $ 3, заменяя отрезки углами. Так обосновывается измерение настоящих углов (поскольку лишь такие углы фигурируют в доказанной теореме). Но отсюда измерение развернутого и сверхтупых углов получаются тем, что мы представляем их как суммы настоящих углов. За единицу измерения углов принимают градус: 1 — прямого угла. Это чистая условность, и включать 90 ее в аксиомы, как порой делают, нелепо, как будто геометрия зависит от единицы измерения углов. Задача. Сформулировать для углов теоремы, аналогичные теоремам об отрезках: о существовании половины из $ 2 и, далее, об измерении — все теоремы $3.
Приведите их доказательства. (Не забудьте о том, что углы ограничены.) 9 8. Пространственные аксиомы Пространственные аксиомы были изложены в $8 гл. 1 ч. 2, и затем для пространства любого числа измерений — в 9 ! гл. Ч ч. 3, Здесь мы повторим, а затем дополним это изложение. В пространственной аксиоматике наряду с основными понятиями планиметрии вводятся новые объектыы: плоскости и отношение — точка принадлежит плоскости, или, что то же, плоскость проходит через точку. Вводится определение: отрезок содержится (лежит) в плоскости, если все его точки принадлежат этой плоскости; так же определяется, что прямая содержится в плоскости. Аксиомы делятся на: !) линейные, 2) плоскостные, 3) пространственные.
чАсть 6. ОснОВАния геоматьии Линейные аксиомы дословно повторяют аксиомы21. Плоскостные аксиомы повторяют аксиомы $4 с той разницей, что теперь к трем из них (ЧНЧ1ьЧ1ь)! добавляется указание, что она относится к каждой плоскости. Пространственные аксиомы. Их мы делим здесь на две группы:1) аксиомы плоскости и 2) аксиомы размерности, Аксиомы плоскости. ЧРП» Через каждые три точки проходит плоскость.
Ч1!1м Если две плоскости имеют две общие точки, то их пересечение есть прямая (т. е. в них обеих содержится прямая, которая содержит все их общие точки и никакие другие). Аксиомы размерности. 1Х. Существует и и не более взаимно перпендикулярных прямых. Для трехмерного пространства аксиомы размерности можно формулировать так: !Х» Существуют 4 точки, не лежащие в одной плоскости. !Хь Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку.
Другими словами: две плоскости не могут иметь только одну общую точку. Первая из этих аксиом Означает, что пространство не сводится к плоскости н, стало быть, не менее чем трехмерно. Вторая означает, что пространство не более чем трехмерно. Аксиома 1Х тоже содержит два утверждения. !Х. 1. Существует п взаимно перпендикулярных прямых. 1Х.
2. Существует не более и взаимно перпендикулярных прямых. (Согласно определению равенства углов и прямого угла, две прямые а, Ь взаимно перпендикулярны, если у них есть единственная общая точка О и на а точки А, А1 и на Ь точка ВФО такие, что ОА = ОА» ВА = ВА») В аксиомах стереометрин (гл. 1 ч. 2) вместо двух аксиом Ч1Пх и 1Хз была одна: Пр. 3, Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.
ь к пРОстРАнственные АксиОмы 675 Это очевидно следует из аксиом Ч1П, и 1Хь Так же очевидно аксиомы ЧП16 и 1Х6 следуют из Пр. З. Таким образом, аксиомы трехмерного пространства, изложенные здесь, и аксиомы стереометрни, изложенные раньше, равносильны. Дополнение.
Вводя в качестве основных объектов плоскости, мы отходим от той установки, что основные понятия должны как можно ближе соответствовать практике. Плоскость во всем ее бесконечном протяжении не только не имеет прямого прообраза в практике, но, собственно говоря, и не доступна прямому наглядному представлению. Можно, однако, дать аксноматику пространства, в которой основные объекты только те же, что в планиметрин, а плоскость определяется через них. Это можно сделать следующим образом. Определение. Пусть А, В, С вЂ” три точки, не лежащие на одном отрезке, так что имеется треугольник АВС. Будем говорить, что точка М принадлежит плоскости (АВС), если существует содержащий ее отрезок, имеющий с треугольником АВС две общие точки.
Плоскостью (АВС) называем фигуру, образованную указанными точками М; другими словами, плоскость — это геометрическое место точек с указанным свойством. Поскольку плоскость не включается в число основных объектов, аксиомы надо формулировать без нее. В такой аксиоматике плоскостные аксиомы являются одновременно аксиомами стереометрни. Линейные аксиомы те же, что н раньше, но плоскостные аксиомы изменяются. Определяем понятие угла так же, как и раньше. Дальше имеется в виду настоящий (не развернутый) угол.
Вводим следующие аксиомы. У. Аксиомы угла. Ун Существуют три точки, не принадлежащие одному отрезку (эта аксиома гарантирует существование настоящего угла). Чь Если отрезок, проведенный иа вершины угла, пересекает какую-либо поперечину, то он или его продолжение пересекают любую другую. Р1ы говорим, что отрезок проходит внутри данного угла. ЧАСТЬ 6.
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ Уз. Если у двух углов есть равные соответственные поперечины, то все их соответственные поперечин ы раен ы. 7ь Какие два угла аЬ, сй ни заданы, существует . такой угол ае, равный сд, что либо его сторона е проходит в угле аЬ, либо Ь проходит в угле ае, либо е совпадает с Ь.
Угол откладывается, так сказать, в пространстве. Аксиома параллельных отрезков. Если отрезки АС, ВО равны и перпендикулярны АВ, и АО, ВС пересекаются, то СО = АВ (оговорка о пересечении АО и ВС заменит условие, что отрезки АС, ВО лежат в плоскости). Аксиома размерности. Существуют три и не больше взаимно перпендикулярных отрезка, т.
е. три отрезка, пересекающихся в одной точке и образующих прямые угльь Сформулированные аксиомы позволяют доказать, что если плоскость понимается в смысле данного выше определения, то для плоскостей выполняются все аксиомы стереометрии, как плоскостные, так и пространственные, Однако доказательство этого не просто. И это естественно: чем меньше мы требуем в аксиомах, тем более длинный путь выводов надо пройти, чтобы прийти к нужным результатам. й 7. Понятие фигуры Аксиоматическое определение понятия фигуры уже было изложено в $ 5 гл. 1 ч. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
